Números Triangulares, também denominados de números figurados, são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas de trângulos.
Obtem-se número triangular por meio do produto de 2 números consecutivos dividido por 2.
Números Retangulares / Oblongos, também denominados de números figurados, são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas de retângulos.
Obtem-se número retangular por meio do produto de 2 números consecutivos.
Pierre de Fermat, jurista e Entusiasta Matemático francês, (1601-1665), entre várias contribuições à Matemática, em carta a Marin Mersenne (1588-1648), datada de 25 de dezembro de 1640, afirma que números da forma 4x + 1 podem ser escritos como a soma de 2 quadrados enquanto números da forma 4x + 3 não podem ser escritos como a soma de 2 quadrados.
Todo número quadrado perfeito ímpar subtraído 1 unidade quando dividido por 4 tem como quociente um número retangular.
Todo número quadrado perfeito ímpar subtraído 1 unidade quando dividido por 8 tem como quociente um número triangular.
O presente estudo demonstram conexões e regularidades numéricas entre números triangulares, retangulares e o número 4 com números de Fermat da forma 4x + 1.
A tabela a seguir apresenta os 50 primeiros produtos de números naturais (triangulares, retangulares, quadrados e outros) por 4 somados 1 unidade.
O produto de um número natural por 4 somado 1 unidade tem como resultado Número de Fermat da forma 4x + 1.
Determinados números da forma 4x + 1 podem ser escritos como soma de 2 quadrados.
Números Triangulares (cor laranja).
Números Retangulares (cor verde).
Números Quadrados (cor rosa).
| Produtos de Números Naturais | |||||||
| pelo Número 4 | |||||||
| A | B | C | D | E | F | G | H |
| número | |||||||
| números | número | 1 | forma | raiz | soma | raiz | |
| naturais | quatro | produto | unidade | 4x + 1 | quadrada | C e E | quadrada |
| 1 | 4 | 4 | 1 | 5 | 2,236 | 9 | 3,000 |
| 2 | 4 | 8 | 1 | 9 | 3,000 | 17 | 4,123 |
| 3 | 4 | 12 | 1 | 13 | 3,606 | 25 | 5,000 |
| 4 | 4 | 16 | 1 | 17 | 4,123 | 33 | 5,745 |
| 5 | 4 | 20 | 1 | 21 | 4,583 | 41 | 6,403 |
| 6 | 4 | 24 | 1 | 25 | 5,000 | 49 | 7,000 |
| 7 | 4 | 28 | 1 | 29 | 5,385 | 57 | 7,550 |
| 8 | 4 | 32 | 1 | 33 | 5,745 | 65 | 8,062 |
| 9 | 4 | 36 | 1 | 37 | 6,083 | 73 | 8,544 |
| 10 | 4 | 40 | 1 | 41 | 6,403 | 81 | 9,000 |
| 11 | 4 | 44 | 1 | 45 | 6,708 | 89 | 9,434 |
| 12 | 4 | 48 | 1 | 49 | 7,000 | 97 | 9,849 |
| 13 | 4 | 52 | 1 | 53 | 7,280 | 105 | 10,247 |
| 14 | 4 | 56 | 1 | 57 | 7,550 | 113 | 10,630 |
| 15 | 4 | 60 | 1 | 61 | 7,810 | 121 | 11,000 |
| 16 | 4 | 64 | 1 | 65 | 8,062 | 129 | 11,358 |
| 17 | 4 | 68 | 1 | 69 | 8,307 | 137 | 11,705 |
| 18 | 4 | 72 | 1 | 73 | 8,544 | 145 | 12,042 |
| 19 | 4 | 76 | 1 | 77 | 8,775 | 153 | 12,369 |
| 20 | 4 | 80 | 1 | 81 | 9,000 | 161 | 12,689 |
| 21 | 4 | 84 | 1 | 85 | 9,220 | 169 | 13,000 |
| 22 | 4 | 88 | 1 | 89 | 9,434 | 177 | 13,304 |
| 23 | 4 | 92 | 1 | 93 | 9,644 | 185 | 13,601 |
| 24 | 4 | 96 | 1 | 97 | 9,849 | 193 | 13,892 |
| 25 | 4 | 100 | 1 | 101 | 10,050 | 201 | 14,177 |
| 26 | 4 | 104 | 1 | 105 | 10,247 | 209 | 14,457 |
| 27 | 4 | 108 | 1 | 109 | 10,440 | 217 | 14,731 |
| 28 | 4 | 112 | 1 | 113 | 10,630 | 225 | 15,000 |
| 29 | 4 | 116 | 1 | 117 | 10,817 | 233 | 15,264 |
| 30 | 4 | 120 | 1 | 121 | 11,000 | 241 | 15,524 |
| 31 | 4 | 124 | 1 | 125 | 11,180 | 249 | 15,780 |
| 32 | 4 | 128 | 1 | 129 | 11,358 | 257 | 16,031 |
| 33 | 4 | 132 | 1 | 133 | 11,533 | 265 | 16,279 |
| 34 | 4 | 136 | 1 | 137 | 11,705 | 273 | 16,523 |
| 35 | 4 | 140 | 1 | 141 | 11,874 | 281 | 16,763 |
| 36 | 4 | 144 | 1 | 145 | 12,042 | 289 | 17,000 |
| 37 | 4 | 148 | 1 | 149 | 12,207 | 297 | 17,234 |
| 38 | 4 | 152 | 1 | 153 | 12,369 | 305 | 17,464 |
| 39 | 4 | 156 | 1 | 157 | 12,530 | 313 | 17,692 |
| 40 | 4 | 160 | 1 | 161 | 12,689 | 321 | 17,916 |
| 41 | 4 | 164 | 1 | 165 | 12,845 | 329 | 18,138 |
| 42 | 4 | 168 | 1 | 169 | 13,000 | 337 | 18,358 |
| 43 | 4 | 172 | 1 | 173 | 13,153 | 345 | 18,574 |
| 44 | 4 | 176 | 1 | 177 | 13,304 | 353 | 18,788 |
| 45 | 4 | 180 | 1 | 181 | 13,454 | 361 | 19,000 |
| 46 | 4 | 184 | 1 | 185 | 13,601 | 369 | 19,209 |
| 47 | 4 | 188 | 1 | 189 | 13,748 | 377 | 19,416 |
| 48 | 4 | 192 | 1 | 193 | 13,892 | 385 | 19,621 |
| 49 | 4 | 196 | 1 | 197 | 14,036 | 393 | 19,824 |
| 50 | 4 | 200 | 1 | 201 | 14,177 | 401 | 20,025 |
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Os produtos de números naturais por 4 somados 1 unidade apresentam regularidades entre sequências de números triangulares, retangulares, bem como, com números da forma 4x + 1, vejamos:
| A | B | C | D | E | F | G | H |
| números | número | 1 | forma | raiz | soma | raiz | |
| naturais | quatro | produto | unidade | 4x + 1 | quadrada | C e E | quadrada |
| 1 | 4 | 4 | 1 | 5 | 2,236 | 9 | 3,000 |
| 2 | 4 | 8 | 1 | 9 | 3,000 | 17 | 4,123 |
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a) o produto do triangular 1 por 4 somado 1 unidade gera número ímpar que não é quadrado perfeito, o 5;
b) 5 como soma de 2 números consecutivos;
2 + 3 = 5
c) a parcela 2 é um número retangular e é produto de 2 números consecutivos;
1 x 2 = 2
d) soma dos quadrados dos fatores é igual a 5;
12 + 22 = 1 + 4 = 5
e) a soma do produto 4 com 5 é 9;
f) 9 é um número da forma 4x + 1.
| A | B | C | D | E | F | G | H |
| números | número | 1 | forma | raiz | soma | raiz | |
| naturais | quatro | produto | unidade | 4x + 1 | quadrada | C e E | quadrada |
| 1 | 4 | 4 | 1 | 5 | 2,236 | 9 | 3,000 |
| 2 | 4 | 8 | 1 | 9 | 3,000 | 17 | 4,123 |
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a) o produto do retangular 2 por 4 somado 1 unidade gera número ímpar que é quadrado perfeito, o 9;
b) 9 como soma de 2 números consecutivos;
4 + 5 = 9
c) parcela 5 como soma de 2 números consecutivos;
2 + 3 = 5
d) a parcela 2 é um número retangular e é produto de 2 consecutivos;
1 x 2 = 2
e) soma dos quadrados dos fatores é igual a 5;
12 + 22 = 1 + 4 = 5
f) a soma do produto 8 com 9 é 17;
g) 17 é um número da forma 4x + 1.
| A | B | C | D | E | F | G | H |
| número | |||||||
| números | número | 1 | forma | raiz | soma | raiz | |
| naturais | quatro | produto | unidade | 4x + 1 | quadrada | C e E | quadrada |
| 3 | 4 | 12 | 1 | 13 | 3,606 | 25 | 5,000 |
| 6 | 4 | 24 | 1 | 25 | 5,000 | 49 | 7,000 |
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a) o produto do triangular 3 por 4 somado 1 unidade gera número ímpar que não é quadrado perfeito, o 13;
b) 13 como soma de 2 números consecutivos;
6 + 7 = 13
c) a parcela 6 é um número retangular e é produto de 2 números consecutivos;
2 x 3 = 2
d) soma dos quadrados dos fatores é igual a 13;
22 + 32 = 4 + 9 = 13
e) a soma do produto 12 com 13 é 25;
f) 25 é um número da forma 4x + 1.
| A | B | C | D | E | F | G | H |
| número | |||||||
| números | número | 1 | forma | raiz | soma | raiz | |
| naturais | quatro | produto | unidade | 4x + 1 | quadrada | C e E | quadrada |
| 3 | 4 | 12 | 1 | 13 | 3,606 | 25 | 5,000 |
| 6 | 4 | 24 | 1 | 25 | 5,000 | 49 | 7,000 |
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Observação: o número 6 é triangular e retangular.
a) o produto do retangular 6 por 4 somado 1 unidade gera número ímpar que é quadrado perfeito, o 25;
b) 25 como soma de 2 números consecutivos;
12 + 13 = 25
c) parcela 13 como soma de 2 números consecutivos;
6 + 7 = 13
d) a parcela 6 é um número retangular e é produto de 2 consecutivos;
2 x 3 = 6
e) soma dos quadrados dos fatores é igual a 13;
22 + 32 = 4 + 9 = 13
f) a soma do produto 24 com 25 é 49;
g) 49 é um número da forma 4x + 1.
| A | B | C | D | E | F | G | H |
| número | |||||||
| números | número | 1 | forma | raiz | soma | raiz | |
| naturais | quatro | produto | unidade | 4x + 1 | quadrada | C e E | quadrada |
| 1 | 4 | 4 | 1 | 5 | 2,236 | 9 | 3,000 |
| 2 | 4 | 8 | 1 | 9 | 3,000 | 17 | 4,123 |
| 3 | 4 | 12 | 1 | 13 | 3,606 | 25 | 5,000 |
| 4 | 4 | 16 | 1 | 17 | 4,123 | 33 | 5,745 |
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Números quadrados perfeitos multiplicados por quadrados têm como produtos também números quadrados perfeitos.
Exemplos:
1 x 4 = 4
4 x 4 = 16
4 x 9 = 36
Os quadrados produtos de 4 por outro quadrado somados 1 unidade tem como resultados números da forma 4x + 1.
Na prática, é um quadrado par somado 1 unidade.
Os números 21, 33, 57 e ou tros não podem ser soma de 2 quadrados e o interessante que eles estão em ordens / posições que formam uma progressão aritmética de razão 3, a comerçar por 5: 5, 8, 11, 14, 17,...
Outros números estão em ordens / posições que formam P.A de razão 7: 5, 7, 19, 26,...
A soma de um múltiplo de 4 (coluna c) com seu consecutivo (coluna 5) tem como resultado número da forma 4x + 1.
Exemplos:
4 + 5 = 9
8 + 9 = 17
12 + 13 = 25
| A | B | C | D | E | F | G | H |
| número | |||||||
| números | número | 1 | forma | raiz | soma | raiz | |
| naturais | quatro | produto | unidade | 4x + 1 | quadrada | C e E | quadrada |
| 1 | 4 | 4 | 1 | 5 | 2,236 | 9 | 3,000 |
| 2 | 4 | 8 | 1 | 9 | 3,000 | 17 | 4,123 |
| 3 | 4 | 12 | 1 | 13 | 3,606 | 25 | 5,000 |
| 4 | 4 | 16 | 1 | 17 | 4,123 | 33 | 5,745 |
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Autor: Ricardo Silva - outubro/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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