Número Retangular / Oblongo é um número que é produto de 2 números consecutivos.
Números retangulares / Oblongos também denominados de números figurados, isto é, são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas de retângulos.
Números retangulares divididos por 2 têm como quocientes números triangulares.
O presente estudo demonstram que determinadas somas de números retangulares / oblongos com fatores consecutivos que os geram têm como resultados números ímpares e, entre eles, números de Fermat da forma 4x + 1.
A tabela a seguir apresenta as 30 primeiras somas de números retangulares com seus fatores consecutivos.
A soma de número retangular com seus fatores consecutivos tem como resultado um número 1 unidade menor que um retangular consecutivo.
a) 5 é 1 unidade menor que o retangular consecutivo 6;
b) 11 é 1 unidade menor que o retangular consecutivo 12;
c) 11 é 1 unidade menor que o retangular consecutivo 12.
A partir desta regularidade deduziu-se a Fórmula da Soma de Retangular com Seus Fatores Consecutivos:
| [ n ( n + 1 ) ] + [ n + ( n + 1 ) ] |
| Tabela - 1 | |||
| Soma de Número Retangular | |||
| com seus fatores consecutivos | |||
| números | produto | soma | |
| consecutivos | (retangular) | ||
| 1 | 2 | 2 | 5 |
| 2 | 3 | 6 | 11 |
| 3 | 4 | 12 | 19 |
| 4 | 5 | 20 | 29 |
| 5 | 6 | 30 | 41 |
| 6 | 7 | 42 | 55 |
| 7 | 8 | 56 | 71 |
| 8 | 9 | 72 | 89 |
| 9 | 10 | 90 | 109 |
| 10 | 11 | 110 | 131 |
| 11 | 12 | 132 | 155 |
| 12 | 13 | 156 | 181 |
| 0 | |||
| 13 | 14 | 182 | 209 |
| 14 | 15 | 210 | 239 |
| 15 | 16 | 240 | 271 |
| 16 | 17 | 272 | 305 |
| 17 | 18 | 306 | 341 |
| 18 | 19 | 342 | 379 |
| 19 | 20 | 380 | 419 |
| 20 | 21 | 420 | 461 |
| 21 | 22 | 462 | 505 |
| 22 | 23 | 506 | 551 |
| 23 | 24 | 552 | 599 |
| 24 | 25 | 600 | 649 |
| 25 | 26 | 650 | 701 |
| 26 | 27 | 702 | 755 |
| 27 | 28 | 756 | 811 |
| 28 | 29 | 812 | 869 |
| 29 | 30 | 870 | 929 |
| 30 | 31 | 930 | 991 |
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As somas de números retangulares com seus fatores consecutivos têm como resultados números ímpares e, entre eles, números da forma 4x + 1: números primos e semiprimos (coluna D e E).
As diferenças entre somas de números retangulares com seus fatores consecutivos tem como resultado a sequência de números pares a partir do número 6 (coluna G).
Interessante observar que:
a) determinadas duplas de fatores consecutivos em que o primeiro fator é múltiplo de 4, há ocorrências de somas que são números primos e semiprimos da forma 4x + 1 (células laranjas);
b) determinadas duplas de fatores consecutivos em que o primeiro fator é 1 unidade maior que um múltiplo de 4, há ocorrências de somas que são números primos e semiprimos da forma 4x + 1 (células azuis);
Regularidades que acontecem entre as diferenças (coluna G) e as somas (coluna D) são que:
a) as diferenças são o dobros dos segundos fatores;
b) as diferenças são 1 unidade maiores que as somas dos dois fatores;
Exemplo:
1)
| números | produto | soma | tipo | fatores | diferença | |
| consecutivos | (retangular) | (número | entre | |||
| ímpar) | soma | |||||
| 1 | 2 | 2 | 5 | primo | ||
| 2 | 3 | 6 | 11 | primo | 6 | |
6 é o dobro do segundo fator 3
2 + 3 = 5
6 é 1 unidade maior que a soma 5
| Tabela-2 | ||||||
| Soma de Número Retangular | ||||||
| com seus fatores consecutivos | ||||||
| A | B | C | D | E | F | G |
| números | produto | soma | tipo | fatores | diferença | |
| consecutivos | (retangular) | (número | entre | |||
| ímpar) | soma | |||||
| 1 | 2 | 2 | 5 | primo | ||
| 2 | 3 | 6 | 11 | primo | 6 | |
| 3 | 4 | 12 | 19 | primo | 8 | |
| 4 | 5 | 20 | 29 | primo | 10 | |
| 5 | 6 | 30 | 41 | primo | 12 | |
| 6 | 7 | 42 | 55 | semiprimo | 5x11 | 14 |
| 7 | 8 | 56 | 71 | primo | 16 | |
| 8 | 9 | 72 | 89 | primo | 18 | |
| 9 | 10 | 90 | 109 | primo | 20 | |
| 10 | 11 | 110 | 131 | primo | 22 | |
| 11 | 12 | 132 | 155 | semiprimo | 5x31 | 24 |
| 12 | 13 | 156 | 181 | primo | 26 | |
| 13 | 14 | 182 | 209 | semiprimo | 11x19 | 28 |
| 14 | 15 | 210 | 239 | primo | 30 | |
| 15 | 16 | 240 | 271 | primo | 32 | |
| 16 | 17 | 272 | 305 | semiprimo | 5x61 | 34 |
| 17 | 18 | 306 | 341 | semiprimo | 11x31 | 36 |
| 18 | 19 | 342 | 379 | primo | 38 | |
| 19 | 20 | 380 | 419 | primo | 40 | |
| 20 | 21 | 420 | 461 | primo | 42 | |
| 21 | 22 | 462 | 505 | semiprimo | 5x101 | 44 |
| 22 | 23 | 506 | 551 | semiprimo | 19x29 | 46 |
| 23 | 24 | 552 | 599 | primo | 48 | |
| 24 | 25 | 600 | 649 | semiprimo | 11x59 | 50 |
| 25 | 26 | 650 | 701 | primo | 52 | |
| 26 | 27 | 702 | 755 | semiprimo | 5x151 | 54 |
| 27 | 28 | 756 | 811 | primo | 56 | |
| 28 | 29 | 812 | 869 | semiprimo | 11x79 | 58 |
| 29 | 30 | 870 | 929 | primo | 60 | |
| 30 | 31 | 930 | 991 | primo | 62 | |
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Autor: Ricardo Silva - outubro/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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