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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números de Fermat 4x + 1 e o Triângulo Numérico 15 - 599

Números de Fermat da forma 4x + 1 são números que podem ser escritos como soma de 2 quadrados.

Número primo da forma 4x + 1 tem uma única dupla de soma de 2 quadrados enquanto números compostos têm mais de 1 dupla de soma de 2 quadrados.

Números de Fermat da forma 4x + 3 não podem ser escritos como soma de 2 quadrados.

Números de Fermat 4x + 1 e o Triângulo Numérico 15

O presente estudo demonstra o Triângulo Numérico 15, um dispositivo numérico no qual números da forma 4x + 1 aparecem alinhados e números da forma 4x + 3 aparecem alinhados e movimentos "zigue-zague"

Triângulo Numérico 15 - características construtivas

O Triângulo Numérico 15 possue as seguintes características construtivas:

a) o ângulo reto (90 graus) se encontra à direira superior;

b) linha das raízes quadradas;

c) linha dos números quadrados perfeitos (azul);

d) as colunas são formadas por progressões aritméticas a partir de cada número quadrado perfeito, somando-se sempre 1 unidade, isto é, razão 1 e terminando em um número antessor a um quadrado perfeito.

Números de Fermat
4x + 1
e o Triângulo Numérico 15
                                 
                                 
raízes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
quadrados 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225
                             
linha                              
1 02 05 10 17 26 37 50 65 82 101 122 145 170 197 226
2 03 06 11 18 27 38 51 66 83 102 123 146 171 198 227
3 07 12 19 28 39 52 67 84 103 124 147 172 199 228
4 08 13 20 29 40 53 68 85 104 125 148 173 200 229
5 14 21 30 41 54 69 86 105 126 149 174 201 230
6 15 22 31 42 55 70 87 106 127 150 175 202 231
7 23 32 43 56 71 88 107 128 151 176 203 232
8 24 33 44 57 72 89 108 129 152 177 204 233
9 34 45 58 73 90 109 130 153 178 205 234
10 35 46 59 74 91 110 131 154 179 206 235
11 47 60 75 92 111 132 155 180 207 236
12 48 61 76 93 112 133 156 181 208 237
13 62 77 94 113 134 157 182 209 238
14 63 78 95 114 135 158 183 210 239
15 79 96 115 136 159 184 211 240
16 80 97 116 137 160 185 212 241
17 98 117 138 161 186 213 242
18 99 118 139 162 187 214 243
19 119 140 163 188 215 244
20 120 141 164 189 216 245
21 142 165 190 217 246
22 143 166 191 218 247
23 167 192 219 248
24 168 193 220 249
25 194 221 250
26 195 222 251
27 223 252
28 224 253
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Fonte: triângulo adaptado de : Marques, David Dias. O Triângulo Numérico 15 e a Espiral de Ulam. em david-dias-marques-2025-009 -o-triangulo-numerico-15-e-a-espiral-de-ulam

Triângulo Numérico 15 - propriedades numéricas (4x+1)

a) quadrados perfeitos ímpares (azul) são da forma 4x + 1, onde x é um número retangular;

4 x 2 + 1 = 9

4 x 6 + 1 = 25

4 x 12 + 1 = 49

Os números quadrados perfeitos aparecem alinhados horizontalmente no Triângulo Numérico 15.

b) 4 multiplicado por quadrado par somado 1 unidade é da forma 4x + 1 (laranja), onde x é um número quadrado perfeito;

4 x 1 + 1 = 9

4 x 4 + 1 = 17

4 x 9 + 1 = 37

Os números 5, 17, 37, 65, 101, 145,... aparecem alinhados horizontalmente no Triângulo Numérico 15.

c) 4 multiplicado por número triangular somado 1 unidade é da forma 4x + 1 (amarelo), onde x é um número triangular;

4 x 1 + 1 = 5

4 x 3 + 1 = 13

4 x 6 + 1 = 25

d) 4 multiplicado por determinado número primo somado 1 unidade é da forma 4x + 1 (verde);

4 x 7 = 28 + 1 = 29 (primo)

4 x 43 = 172 + 1 = 173 (primo)

4 x 67 = 268 + 1 = 269 (primo)

4 x 79 = 316 + 1 = 317 (primo)

4 x 127 = 508 + 1 = 509 (primo)

Interessante destacar que: 7, 43, 67, 79, 127 são números da forma 4x + 3.

Triângulo Numérico 15 - propriedades numéricas (4x+3)

a) números da forma 4x + 3 são números que não podem ser escritos como soma de 2 quadrados e aparecem alinhados em duplas de linhas paralelas e em movimentos "zigue-zague";

b) interessante observar que a soma de cada 2 ordens de linhas, são números da forma 4x + 1.

2 + 3 = 5 ( 5 é da forma 4x + 1 )

6 + 7 = 13 ( 13 é da forma 4x + 1)

10 + 11 = 21 ( 21 é da forma 4x + 1)

Números de Fermat
4x + 1
e o Triângulo Numérico 15
                                 
raízes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
quadrados 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225
                             
linha                              
1 02 05 10 17 26 37 50 65 82 101 122 145 170 197 226
2 03 06 11 18 27 38 51 66 83 102 123 146 171 198 227
3 07 12 19 28 39 52 67 84 103 124 147 172 199 228
4 08 13 20 29 40 53 68 85 104 125 148 173 200 229
5 14 21 30 41 54 69 86 105 126 149 174 201 230
6 15 22 31 42 55 70 87 106 127 150 175 202 231
7 23 32 43 56 71 88 107 128 151 176 203 232
8 24 33 44 57 72 89 108 129 152 177 204 233
9 34 45 58 73 90 109 130 153 178 205 234
10 35 46 59 74 91 110 131 154 179 206 235
11 47 60 75 92 111 132 155 180 207 236
12 48 61 76 93 112 133 156 181 208 237
13 62 77 94 113 134 157 182 209 238
14 63 78 95 114 135 158 183 210 239
15 79 96 115 136 159 184 211 240
16 80 97 116 137 160 185 212 241
17 98 117 138 161 186 213 242
18 99 118 139 162 187 214 243
19 119 140 163 188 215 244
20 120 141 164 189 216 245
21 142 165 190 217 246
22 143 166 191 218 247
23 167 192 219 248
24 168 193 220 249
25 194 221 250
26 195 222 251
27 223 252
28 224 253
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Fonte: triângulo adaptado de : Marques, David Dias. O Triângulo Numérico 15 e a Espiral de Ulam. em david-dias-marques-2025-009 -o-triangulo-numerico-15-e-a-espiral-de-ulam

Triângulo Numérico 15 - Média Aritmética

a) números da forma 4x + 1 (amarelo)

b) números da forma 4x + 3 (verde)

O Triângulo Numérico 15 possue uma interessantíssima propriedade relacionada as formas 4x + 1 e 4x + 3 que as unem e que é a Média Aritmética.

A média aritmética de 2 números da forma 4x + 1 é um número da forma 4x + 3.

Exemplos:

( 13 + 17 ) / 2 = 15 é da forma 4x + 3

( 17 + 21 ) / 2 = 19 é da forma 4x + 3

( 21 + 25 ) / 2 = 23 é da forma 4x + 3

A média aritmética de 2 números da forma 4x + 3 é um número da forma 4x + 1.

Exemplos:

( 7 + 11 ) / 2 = 9 é da forma 4x + 1

( 11 + 15 ) / 2 = 13 é da forma 4x + 1

( 15 + 19 ) / 2 = 17 é da forma 4x + 1

Interessante observar que o padrão geométrico formado é semelhante a um tabuleiro de Jogo de Xadrez.

Números de Fermat
4x + 1
e o Triângulo Numérico 15
                                 
raízes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
quadrados 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225
                             
linha                              
1 02 05 10 17 26 37 50 65 82 101 122 145 170 197 226
2 03 06 11 18 27 38 51 66 83 102 123 146 171 198 227
3 07 12 19 28 39 52 67 84 103 124 147 172 199 228
4 08 13 20 29 40 53 68 85 104 125 148 173 200 229
5 14 21 30 41 54 69 86 105 126 149 174 201 230
6 15 22 31 42 55 70 87 106 127 150 175 202 231
7 23 32 43 56 71 88 107 128 151 176 203 232
8 24 33 44 57 72 89 108 129 152 177 204 233
9 34 45 58 73 90 109 130 153 178 205 234
10 35 46 59 74 91 110 131 154 179 206 235
11 47 60 75 92 111 132 155 180 207 236
12 48 61 76 93 112 133 156 181 208 237
13 62 77 94 113 134 157 182 209 238
14 63 78 95 114 135 158 183 210 239
15 79 96 115 136 159 184 211 240
16 80 97 116 137 160 185 212 241
17 98 117 138 161 186 213 242
18 99 118 139 162 187 214 243
19 119 140 163 188 215 244
20 120 141 164 189 216 245
21 142 165 190 217 246
22 143 166 191 218 247
23 167 192 219 248
24 168 193 220 249
25 194 221 250
26 195 222 251
27 223 252
28 224 253
29 254
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Números quadrados centrados e a forma 4x + 1

Números Figurados Quadrados Centrados são números da da forma 4x + 1.

Números quadrados centrados e a forma 4x + 1

 

Autor: Ricardo Silva - setembro/2025

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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