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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Diferença entre números quadrados perfeitos - parte 1 - 001

A diferença entre números quadrados perfeitos tem como resultado a sequência de números ímpares a partir do número 3: 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,...

Exemplo 1:

O quadrado 1 subtraído do quadrado 4 é igual a 3.

Exemplo 2:

O quadrado 4 subtraído do quadrado 9 é igual a 5.

A soma de dois números consecutivos é igual a diferença entre dois números quadrados perfeitos.

Exemplo 3:

O número 1 somado com o número 2 é igual a 3.

3 é a diferença entre o quadrado 4 e o quadrado 1.

Exemplo 4:

O número 2 somado com o número 3 é igual a 5.

5 é a diferença entre o quadrado 9 e o quadrado 4.

Determinadas somas de 2 números quadrados perfeitos consecutivos tem como resultado um outro número quadrado perfeito, números que formam Terno Pitagórico, não sendo constantes estas ocorrências.

Exemplo 5:

9 + 16 = 25

Exemplo 6:

400 + 441 = 841

Descobrindo números quadrados perfeitos

Sabendo que a diferença entre dois números quadrados é um número ímpar (soma de dois números consecutivos), podemos descobrir, por exemplo, quais são os números quadrados que tem como diferença o número 21.

1) Subtraia 1 do número ímpar e divida por 2:

21 - 1 = 20

20 : 2 = 10 (o consecutivo de 10 é 11)

2) Eleve ao quadrado o número 10² = 100

3) Eleve ao quadrado o número 11² = 121

4) A diferença entre os quadrados (121-100=21)

Na prática, toda a soma de dois números consecutivos ou um número ímpar é a diferença entre dois números quadrados perfeitos.

Tabela da diferença entre números quadrados perfeitos

Abaixo, modelo simplificado de tabela com os primeiros 97 números quadrados perfeitos com a diferença entre dois números quadrados perfeitos consecutivos.

As diferenças entre dois quadrados consecutivos e que também são números quadrados perfeitos, tais como: 9, 25, 49,..., têm suas ordens / posições determinadas, isto é, suas posições são as raízes do primeiro quadrado.

As raízes são produtos do número 4 por um número triangular.

Exemplos:

a) 4 x 1 = 4 ( 1 é um número triangular)

4 é a posição da diferença entre 25 e 16 que é 9

b) 4 x 3 = 12 ( 3 é um número triangular)

12 é a posição da diferença entre 169 e 144 que é 25.

c) 4 x 6 = 24 ( 6 é um número triangular)

24 é a posição da diferença entre 625 e 576 que é 25.

Interessante observar que ternos pitagóricos primitivos têm suas ordens/posições de números triangulares

Tabela
Diferença entre
números quadrados perfeitos

	Número	Quadrado	Quadrado	Diferença
	(raiz)			de quadrados
				Ímpares

	1	1	4	3
	2	4	9	5
	3	9	16	7
4x1	4	16	25	9
	5	25	36	11
	6	36	49	13
	7	49	64	15
	8	64	81	17
	9	81	100	19
	10	100	121	21
	11	121	144	23
4x3	12	144	169	25
	13	169	196	27
	14	196	225	29
	15	225	256	31
	16	256	289	33
	17	289	324	35
	18	324	361	37
	19	361	400	39
	20	400	441	41
	21	441	484	43
	22	484	529	45
	23	529	576	47
4x6	24	576	625	49
	25	625	676	51
	26	676	729	53
	27	729	784	55
	28	784	841	57
	29	841	900	59
	30	900	961	61
	31	961	1024	63
	32	1024	1089	65
	33	1089	1156	67
	34	1156	1225	69
	35	1225	1296	71
	36	1296	1369	73
	37	1369	1444	75
	38	1444	1521	77
	39	1521	1600	79
4x10	40	1600	1681	81
	41	1681	1764	83
	42	1764	1849	85
	43	1849	1936	87
	44	1936	2025	89
	45	2025	2116	91
	46	2116	2209	93
	47	2209	2304	95
	48	2304	2401	97
	49	2401	2500	99
	50	2500	2601	101
	51	2601	2704	103
	52	2704	2809	105
	53	2809	2916	107
	54	2916	3025	109
	55	3025	3136	111
	56	3136	3249	113
	57	3249	3364	115
	58	3364	3481	117
	59	3481	3600	119
4x15	60	3600	3721	121
	61	3721	3844	123
	62	3844	3969	125
	63	3969	4096	127
	64	4096	4225	129
	65	4225	4356	131
	66	4356	4489	133
	67	4489	4624	135
	68	4624	4761	137
	69	4761	4900	139
	70	4900	5041	141
	71	5041	5184	143
	72	5184	5329	145
	73	5329	5476	147
	74	5476	5625	149
	75	5625	5776	151
	76	5776	5929	153
	77	5929	6084	155
	78	6084	6241	157
	79	6241	6400	159
	80	6400	6561	161
	81	6561	6724	163
	82	6724	6889	165
	83	6889	7056	167
4x21	84	7056	7225	169
	85	7225	7396	171
	86	7396	7569	173
	87	7569	7744	175
	88	7744	7921	177
	89	7921	8100	179
	90	8100	8281	181
	91	8281	8464	183
	92	8464	8649	185
	93	8649	8836	187
	94	8836	9025	189
	95	9025	9216	191
	96	9216	9409	193
	97	9409	9604	195
	98	9604	9801	197
	99	9801	10000	199
	100	10000
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br

Autor: Ricardo Silva

atualizado em maio/2025

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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