O WebSite Os Fantásticos Números Primos nunca se cansará de citar a frase do Professor da USP, Luiz Barco:
"quem ousar brincar ( estudar ) com números descobrirá propriedades fascinantes”.
frase esta publicada na Revista Superinteressante cuja reportagem é: "A Inesgotável fonte dos números primos"
O grifo é nosso.
Pierre de Fermat, jurista e Entusiasta Matemático francês, (1601-1665), entre várias contribuições à Matemática, em carta a Marin Mersenne (1588-1648), datada de 25 de dezembro de 1640, afirma que números da forma 4x + 1 podem ser escritos como soma de 2 quadrados enquanto números da forma 4x + 3 não podem ser escritos como soma de 2 quadrados.
O presente estudo demonstram relações entre números das formas 4x + 1 e 4x + 3 e vice-versa, com números consecutivos, números retangulares, números triangulares, números quadrados perfeitos, etc.
Números da forma 4x + 1 são números em que o número 4 é multiplicado por números naturais somado 1 unidade.
Sendo "x", número ímpar ou número par, o resultado será número ímpar.
A Tabela-1 demonstram números ímpares subtraídos 1 unidade e divididos por 4.
A partir do número 3, constata-se a seguinte regularidade, a cada dois números ímpares, há um número ímpar sim e outro não que subtraído 1 unidade é divisível por 4.
Quando os quocientes são números inteiros, são justamente os dividendos da forma 4x + 1, isto é, são números que ao serem divididos por 4 deixam resto 1.
Números da forma 4x + 1 são números que podem ser escritos como soma de 2 quadrados.
Números primos da forma 4x + 1 são escritos com uma única dupla como soma de 2 quadrados, enquanto números compostos são escritos com mais de 1 dupla como soma de 2 quadrados.
Exemplos de números primos da forma 4x + 1:
5, 13, 17, 29, 37, ...
Números da forma 4x + 3 não podem ser escritos como soma de 2 quadrados.
Exemplos de números primos da forma 4x + 3:
7, 11, 19, 23, 47,...
| Tabela - 1 | |||
| Números Ímpares | |||
| subtrídos 1 unidade e | |||
| divididos por 4 | |||
| ordem / | número | número | quociente |
| posição | ímpar | 4 | |
| 1 | 1 | 4 | 0 |
| 2 | 3 | 4 | 0,5 |
| 3 | 5 | 4 | 1 |
| 4 | 7 | 4 | 1,5 |
| 5 | 9 | 4 | 2 |
| 6 | 11 | 4 | 2,5 |
| 7 | 13 | 4 | 3 |
| 8 | 15 | 4 | 3,5 |
| 9 | 17 | 4 | 4 |
| 10 | 19 | 4 | 4,5 |
| 11 | 21 | 4 | 5 |
| 12 | 23 | 4 | 5,5 |
| 13 | 25 | 4 | 6 |
| 14 | 27 | 4 | 6,5 |
| 15 | 29 | 4 | 7 |
| 16 | 31 | 4 | 7,5 |
| 17 | 33 | 4 | 8 |
| 18 | 35 | 4 | 8,5 |
| 19 | 37 | 4 | 9 |
| 20 | 39 | 4 | 9,5 |
| 21 | 41 | 4 | 10 |
| 22 | 43 | 4 | 10,5 |
| 23 | 45 | 4 | 11 |
| 24 | 47 | 4 | 11,5 |
| 25 | 49 | 4 | 12 |
| 26 | 51 | 4 | 12,5 |
| 27 | 53 | 4 | 13 |
| 28 | 55 | 4 | 13,5 |
| 29 | 57 | 4 | 14 |
| 30 | 59 | 4 | 14,5 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||
A Tabela-2 demonstram os 50 primeiros números triangulares divididos por 4.
Lembrando que:
a) o produto de 2 números consecutivos (colunas A e B) têm como resultado um número retangular (coluna C);
b) a metade de um número retangular (coluna C) tem como resultado um número triangular (coluna D);
c) determinados números triangulares pares são divisíveis por 4 (células laranjas na coluna E);
c) determinados números triangulares subtraídos 1 unidade e divididos por 4 têm como resultados números inteiros (coluna F);
e) 4 multiplicado por retangular e somado 1 unidade tem como resultado quadrado perfeito ímpar;
f) 8 multiplicado por triangular e somado 1 unidade tem como resultado quadrado perfeito ímpar.
| Tabela - 2 | |||||||
| Divisão de | |||||||
| Número Triangular | |||||||
| por 4 | |||||||
| A | B | C | D | E | F | ||
| números | números | números | divisão | divisão | |||
| consecutivos | retangulares | triangulares | por 4 | por 4 | |||
| 1 | 2 | 2 | 1 | . | 0,25 | . | 0 |
| 2 | 3 | 6 | 3 | 0,75 | 0,5 | ||
| 3 | 4 | 12 | 6 | 1,5 | 1,25 | ||
| 4 | 5 | 20 | 10 | 2,5 | 2,25 | ||
| 5 | 6 | 30 | 15 | 3,75 | 3,5 | ||
| 6 (3) | 7 | 42 | 21 | 5,25 | 5 | ||
| 7 | 8 | 56 | 28 | 7 | 6,75 | ||
| 8 | 9 | 72 | 36 | 9 | 8,75 | ||
| 9 | 10 | 90 | 45 | 11,25 | 11 | ||
| 10 | 11 | 110 | 55 | 13,75 | 13,5 | ||
| 11 | 12 | 132 | 66 | 16,5 | 16,25 | ||
| 12 | 13 | 156 | 78 | 19,5 | 19,25 | ||
| 13 | 14 | 182 | 91 | 22,75 | 22,5 | ||
| 14 (7) | 15 | 210 | 105 | 26,25 | 26 | ||
| 15 | 16 | 240 | 120 | 30 | 29,75 | ||
| 16 | 17 | 272 | 136 | 34 | 33,75 | ||
| 17 | 18 | 306 | 153 | 38,25 | 38 | ||
| 18 | 19 | 342 | 171 | 42,75 | 42,5 | ||
| 19 | 20 | 380 | 190 | 47,5 | 47,25 | ||
| 20 | 21 | 420 | 210 | 52,5 | 52,25 | ||
| 21 | 22 | 462 | 231 | 57,75 | 57,5 | ||
| 22 (11) | 23 | 506 | 253 | 63,25 | 63 | ||
| 23 | 24 | 552 | 276 | 69 | 68,75 | ||
| 24 | 25 | 600 | 300 | 75 | 74,75 | ||
| 25 | 26 | 650 | 325 | 81,25 | 81 | ||
| 26 | 27 | 702 | 351 | 87,75 | 87,5 | ||
| 27 | 28 | 756 | 378 | 94,5 | 94,25 | ||
| 28 | 29 | 812 | 406 | 101,5 | 101,25 | ||
| 29 | 30 | 870 | 435 | 108,75 | 108,5 | ||
| 30 (15) | 31 | 930 | 465 | 116,25 | 116 | ||
| 31 | 32 | 992 | 496 | 124 | 123,75 | ||
| 32 | 33 | 1056 | 528 | 132 | 131,75 | ||
| 33 | 34 | 1122 | 561 | 140,25 | 140 | ||
| 34 | 35 | 1190 | 595 | 148,75 | 148,5 | ||
| 35 | 36 | 1260 | 630 | 157,5 | 157,25 | ||
| 36 | 37 | 1332 | 666 | 166,5 | 166,25 | ||
| 37 | 38 | 1406 | 703 | 175,75 | 175,5 | ||
| 38 (19) | 39 | 1482 | 741 | 185,25 | 185 | ||
| 39 | 40 | 1560 | 780 | 195 | 194,75 | ||
| 40 | 41 | 1640 | 820 | 205 | 204,75 | ||
| 41 | 42 | 1722 | 861 | 215,25 | 215 | ||
| 42 | 43 | 1806 | 903 | 225,75 | 225,5 | ||
| 43 | 44 | 1892 | 946 | 236,5 | 236,25 | ||
| 44 | 45 | 1980 | 990 | 247,5 | 247,25 | ||
| 45 | 46 | 2070 | 1035 | 258,75 | 258,5 | ||
| 46 (23) | 47 | 2162 | 1081 | 270,25 | 270 | ||
| 47 | 48 | 2256 | 1128 | 282 | 281,75 | ||
| 48 | 49 | 2352 | 1176 | 294 | 293,75 | ||
| 49 | 50 | 2450 | 1225 | 306,25 | 306 | ||
| 50 | 51 | 2550 | 1275 | 318,75 | 318,5 | ||
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As divisões de números triangulares por 4 demonstram as seguinte regularidades numéricas, vejamos:
| números | números | números | divisão | divisão | |||
| consecutivos | retangulares | triangulares | por 4 | por 4 | |||
| 6 (3) | 7 | 42 | 21 | 5,25 | 5 | ||
| 7 | 8 | 56 | 28 | 7 | 6,75 | ||
| 8 | 9 | 72 | 36 | 9 | 8,75 | ||
| 9 | 10 | 90 | 45 | 11,25 | 11 | ||
a) soma das ordens / posições de triangulares (verde);
6 + 7 + 8 + 9 = 30 (30 deixa resto 2 na divisão por 4)
6 + 7 = 13 (13 deixa resto 1 na divisão por 4)
7 + 8 = 15 (15 deixa resto 3 na divisão por 4)
8 + 9 = 17 (17 deixa resto 1 na divisão por 4)
Interessante observar que as ordens / posições dos triangulares deixam os seguintes restos na divisão por 4:
6 deixa resto 2;
7 deixa resto 3;
8 deixa resto 0;
9 deixa resto 1.
Regularidade importantíssima no primeiro termo das sequências das ordens / posições dos triangulares.
Na Tabela-2, há ordens / posições acompanhadas de números entre parenteses ( ).
A metade de determinadas ordens / posições de triangulares são números da forma 4x + 3 e são números que deixam resto 3 na divisão por 4.
| 6 (3) | (3) deixa resto 3 na divisão por 4 |
| 14 (7) | (7) deixa resto 3 na divisão por 4 |
| 22 (11) | (11) deixa resto 3 na divisão por 4 |
| 30 (15) | (15) deixa resto 3 na divisão por 4 |
| 38 (19) | (19) deixa resto 3 na divisão por 4 |
| 46 (23) | (23) deixa resto 3 na divisão por 4 |
Escolhendo-se o dobro de um número da forma 4x + 3 e outros 3 consecutivos e efetuando as operações aritméticas demonstradas a seguir, constatam-se regularidades entre números das formas 4x + 1 e 4x + 3 e vice-versa com números consecutivos, retangulares, triangulares, quadrados perfeitos, etc.
b) 28 dividido por 4 é igual a 7 (laranja);
28 + 1 = 29
29 é número da forma 4x + 1
7 é um número da forma 4x + 3 (deixa resto 3 na divisão por 4)
29 + 7 = 36 (múltiplo de 4)
c) 36 dividido por 4 é igual a 9 (laranja);
36 + 1 = 37
37 é número da forma 4x + 1
9 é um número da forma 4x + 1
d) soma dos triangulares 28 com 36;
28 + 36 = 64
a soma de 2 triangulares consecutivos é um quadrado perfeito
e) soma dos quocientes 7 e 9
7 + 9 = 16
16 é o quadrado de 4
f) 21 não e divisível por 4
( 21 - 1 ) / 4 = 5
21 é um número da forma 4x + 1
g) 45 não e divisível por 4
( 45 - 1 ) / 4 = 11
45 é um número da forma 4x + 1
h) soma dos quocientes 5 e 11
5 + 11 = 16
16 é o quadrado de 4
i) a soma dos triangulares 21 e 45
21 + 45 = 66
66 é 2 unidades maior que o quadrado 64
Números Figurados Quadrados Centrados são números da da forma 4x + 1.
Mesmo os números da forma 4x + 3 não podendo ser escritos como soma de 2 quadrados, eles apresentam interessantes conexões matemáticas com números da forma 4x + 1, bem como, com números consecutivos, números retangulares, números triangulares, números quadrados perfeitos, etc.
Autor: Ricardo Silva - setembro/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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