O presente estudo demonstra o Método de Subtrações Sucessivas de Números Quadrados Perfeitos de um Número Natural para se saber se um dado número é primo ou composto.
Números Primos que podem ser escritos como soma de 2 números quadrados perfeitos são números da forma 4x+1.
Triângulo Retângulo é uma espetacular figura geométrica, mesmo sendo uma figura geométrica irregular, isto é, os comprimentos de seus 3 lados um diferente do outro, não tendo simetria, possui diversas propriedades numéricas, geométricas, algébricas e trigonométricas.
Pesquisas e estudos revelaram que antigas civilizações como: mesopotâmica, egípcia, indiana, chinesa já tinham conhecimento de relações métricas relacionadas a triângulos retângulos.
Especificamente em relação a civilização da antiga mesopôtamia, há a tabuleta, denominada de Plimpiton 322, que se encontra na Universidade de Columbia nos Estados Unidos, na qual estudiosos constataram que os escritos ali contidos, são sequências numéricas relacionadas a lados de triângulos retângulos, isto é, os chamados ternos pitagóricos, grupos de 3 números inteiros que tem relação com o Teorema de Pitágoras: "A soma dos quadrados do catetos é igual ao quadrado da hipotenusa", ou "O quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrados dos catetos."
Fonte: BOYER, Carl Benjamin, 1906 - História da matemática; tradução Elza F. gomide. São Paulo, Edgard Blucher, Ed. da Universidade de São Paulo, 1974
Fonte: BALBINO Júnior, Valci Rodrigues Teorema de Pitágoras: Aplicações em Objetos de Aprendizagem/ Valci Rodrigues Balbino Júnior - Rio Claro: [s.n.], 2015.94 f.: g., tab.
Euclides, em seu livro Os Elementos, demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos. Além disso, encontrou fórmulas que geram todos os ternos pitagóricos primitivos. Dados dois números naturais m>n, o terno (a,b,c), onde:
a = m² - n²
b = 2mn
c = m² + n²
é pitagórico, e é primitivo se e somente se m e n são primos entre si e possuem paridades distintas.
Fonte: https://pt.wikipedia.org/
Estudos divulgados aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos, bem como, publicados no livro digital Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas revelam que as Fórmulas de Euclides geram sequêncialmente ternos pitagóricos primitivos, mas não sequêncialmente ternos pitagóricos derivados pares e ternos pitagóricos derivados ímpares.
Partes de ternos derivados pares são gerados do dobro, do dobro, do dobro e assim sucessivamente de terno pitagórico primitivo.
Utilizando as Fórmulas de Euclides tanto com números primos entre si quanto com números não primos entre si, os ternos pitagóricos foram classificados conforme características abaixo:
a) Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular;
b) Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Não Triangular;
c) Ternos Pitagóricos Derivados Pares;
d) Ternos Pitagóricos Derivados Ímpares;
e) Ternos Pitagóricos Raros.
Na classificação acima descrita, acrescenta-se também mais 2 tipos de ternos pitagóricos:
f) Ternos Pitagóricos Triangulares
e
g) Ternos Pitagóricos Triangulares-Cúbicos.
Para mais informações, veja:
011-estudos-581-soma-dois-numeros-quadrados-de-triangulares-consecutivos
É fácil reconhecer e distinguir um número ímpar de um número par, mas não é fácil reconhecer um número primo ímpar entre outros números ímpares (exceto primos menores que 100 que não são tão difíceis de se memorizarem).
Quaisquer que sejam as medidas dos lados menores (catetos) de um triângulo retângulo escaleno, a soma de seus quadrados têm como resultado, o seu maior lado que é a hipotenusa.
Nem sempre os lados menores em números naturais de um triângulo retângulo escaleno que somados os seus quadrados terão como resultado também um número natural.
Partindo-se deste fato, muitos matemáticos, posteriores a Euclides de Alexandria, começaram a se perguntar: quando a soma de dois números naturais que elevados ao quadrado terão como resultado também um número natural, ou mais especificamente, quando esse resultado será um número primo?
Isto é, dado um número n, n pode ser escrito como a soma de 2 números quadrados perfeitos?
A tabela a seguir apresenta os 32 primeiros ternos pitagóricos gerados pelas Fórmulas de Euclides cujas hipotenusas (termo c) são valores abaixo de 113.
| Ternos Pitagóricos | ||||||
| terno | quadrados | |||||
| ordem / | a | b | c | a^2 | b^2 | c^2 |
| posição | ||||||
| 1 | 3 | 4 | 5 | 9 | 16 | 25 |
| 2 | 8 | 6 | 10 | 64 | 36 | 100 |
| 3 | 5 | 12 | 13 | 25 | 144 | 169 |
| 4 | 15 | 8 | 17 | 225 | 64 | 289 |
| 5 | 12 | 16 | 20 | 144 | 256 | 400 |
| 6 | 7 | 24 | 25 | 49 | 576 | 625 |
| 7 | 24 | 10 | 26 | 576 | 100 | 676 |
| 8 | 21 | 20 | 29 | 441 | 400 | 841 |
| 9 | 16 | 30 | 34 | 256 | 900 | 1156 |
| 10 | 9 | 40 | 41 | 81 | 1600 | 1681 |
| 11 | 35 | 12 | 37 | 1225 | 144 | 1369 |
| 12 | 32 | 24 | 40 | 1024 | 576 | 1600 |
| 13 | 27 | 36 | 45 | 729 | 1296 | 2025 |
| 14 | 20 | 48 | 52 | 400 | 2304 | 2704 |
| 15 | 11 | 60 | 61 | 121 | 3600 | 3721 |
| 16 | 48 | 14 | 50 | 2304 | 196 | 2500 |
| 17 | 45 | 28 | 53 | 2025 | 784 | 2809 |
| 18 | 40 | 42 | 58 | 1600 | 1764 | 3364 |
| 19 | 33 | 56 | 65 | 1089 | 3136 | 4225 |
| 20 | 24 | 70 | 74 | 576 | 4900 | 5476 |
| 21 | 13 | 84 | 85 | 169 | 7056 | 7225 |
| 22 | 63 | 16 | 65 | 3969 | 256 | 4225 |
| 23 | 60 | 32 | 68 | 3600 | 1024 | 4624 |
| 24 | 55 | 48 | 73 | 3025 | 2304 | 5329 |
| 25 | 48 | 64 | 80 | 2304 | 4096 | 6400 |
| 26 | 39 | 80 | 89 | 1521 | 6400 | 7921 |
| 27 | 28 | 96 | 100 | 784 | 9216 | 10000 |
| 28 | 15 | 112 | 113 | 225 | 12544 | 12769 |
| 29 | 80 | 18 | 82 | 6400 | 324 | 6724 |
| 30 | 77 | 36 | 85 | 5929 | 1296 | 7225 |
| 31 | 72 | 54 | 90 | 5184 | 2916 | 8100 |
| 32 | 65 | 72 | 97 | 4225 | 5184 | 9409 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||||
Fonte: Tabela adaptada de: SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
Entre os valores das hipotenusas (termo c), têm-se os seguintes números primos: 5, 13, 29, 41, 37, 61, 53, 73, 89, 97, 113 e outros que ao serem divididos por 4 deixam resto 1 e que podem ser escritos como somas de 2 quadrados perfeitos.
Já os números primos como: 7, 11, 19, 31, 43, 47 e outros são os que ao serem divididos por 4 deixam resto 3 e portanto, não podem ser escritos como somas de 2 quadrados perfeitos.
Pierre de Fermat (1601-1665), deve ter observado e analisado estas regularidades e detectado 2 grupos de números primos das seguintes formas: 4x + 1 e 4x + 3.
De fato os números primos da forma 4x + 1 podem ser escritos como a soma de 2 quadrados:
5 = 22 + 12
13 = 32 + 22
17 = 42 + 12
29 = 52 + 22
37 = 62 + 12
Um fato interessante é que as bases acima são os mesmos termos "m" e "n" das Fórmulas de Euclides e as somas de cada par de termos "m" e "n" têm como resultados números ímpares.
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
4 + 1 = 5
5 + 2 = 7
Diferentemente quando as somas dos termos "m" "n" são pares, todos os termos dos ternos também são pares.
Na tabela acima, linha 19, há o Terno Pitagórico Derivado 33 - 56 - 65 cuja hipotenusa (termo c) é 65.
65 = 5 x 13
Pierre de Fermat também constatou que produtos de números primos que são as somas de 2 quadrados geram números compostos que também são somas de 2 quadrados. Aliás esses números compostos têm mais de uma forma de soma de 2 quadrados. Fato este que diferenciam números primos e compostos que são somas de 2 quadrados.
65 = 49 + 16
65 = 64 + 1
Outro fato observado por Pierre de Fermat é que as potências de um número primo que é a soma de 2 quadrados são hipotenusas de outros ternos pitagóricos em quantidades do índice do expoente.
51 = 5
O 5 faz parte de 1 terno pitagórico:
3 - 4 - 5
52 = 25
O 25 faz parte de 2 ternos pitagóricos:
7 - 24 - 25
15 - 20 - 25
53 = 125
O 125 faz parte de 3 ternos pitagóricos:
35 - 120 - 125
44 - 117 - 125
75 - 100 - 125
O presente tópico também se encontra publicado no estudo:
011-estudos-110-a-adicao-de-dois-numeros
A adição de 2 números para se obter a soma de determinado número natural apresentam as seguintes regularidades:
a) as quantidades de pares de parcelas são iguais para cada 2 números naturais;
b) as quantidades de pares de parcelas se igualam a de seu número consecutivo;
c) enquanto os números da primeira coluna das parcelas vão crescendo, os números da segunda coluna das parcelas vão decrescendo.
| 0 | + | 4 | = | 4 |
| 1 | + | 3 | = | 4 |
| 2 | + | 2 | = | 4 |
Com 3 pares de parcelas, obtem-se o número 4.
| 0 | + | 5 | = | 5 |
| 1 | + | 4 | = | 5 |
| 2 | + | 3 | = | 5 |
Com 3 pares de parcelas, obtem-se o número 5.
Na segunda adição: 1 + 4 = 5, tem-se a comprovação da Fórmula de Fermat 4x+1.
Os quadrados perfeitos 1 e 4 aparecem alinhados.
Escrevendo números sequenciais partindo-se do número 0 (zero) até um número primo, pode-se também verificar se tal número primo satisfaz a Fórmula de Fermat 4x+1.
Números Primos que satisfazem a Fórmula de Fermat 4x+1 apresentam os números quadrados perfeitos equidistantes dos extremos das sequências numéricas e também deles próprios.
Os números quadrados perfeitos 1 e 4 estão equidistantes dos extremos da sequência e deles próprios.
| Números sequênciais de 0 a 5 |
| 0 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
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Por meio do Método de Subtrações Sucessivas de Números Quadrados de um Número Natural é possível também de se saber se um dado número é primo ou composto, vejamos:
Subtraindo sucessivamente números quadrados perfeitos de 1 a 4 do número 5, têm-se como diferenças os quadrados 1 e 4.
| Minuendo | Subtraendo | Diferença | ||
| 5 | - | 1 | = | 4 |
| 5 | - | 4 | = | 1 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||
O número 5 pode ser escrito como a soma de dois quadrados distintos: o 1 e o 4.
Subtraindo sucessivamente números quadrados perfeitos de 1 a 9 do número 13, têm-se como diferenças os quadrados 4 e 9.
| Minuendo | Subtraendo | Diferença | ||
| 13 | - | 1 | = | 12 |
| 13 | - | 4 | = | 9 |
| 13 | - | 9 | = | 4 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||
O número 13 pode ser escrito como a soma de dois quadrados distintos: o 4 e o 9.
Subtraindo sucessivamente números quadrados perfeitos de 1 a 64 do número 65, têm-se como diferenças os quadrados 16 e 49.
| Minuendo | Subtraendo | Diferença | ||
| 65 | - | 1 | = | 64 |
| 65 | - | 4 | = | 61 |
| 65 | - | 9 | = | 56 |
| 65 | - | 16 | = | 49 |
| 65 | - | 25 | = | 40 |
| 65 | - | 36 | = | 29 |
| 65 | - | 49 | = | 16 |
| 65 | - | 64 | = | 1 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||
O número 65 pode ser escrito como a soma de dois pares de quadrados distintos: 1 e 64; 16 e 49.
Autor: Ricardo Silva - agosto/2025
BALBINO Júnior, Valci Rodrigues. Teorema de Pitágoras:
Aplicações em Objetos de Aprendizagem/ Valci Rodrigues Balbino Júnior -
Rio Claro: [s.n.], 2015.94 f.: g., tab.
BOYER, Carl Benjamin, 1906 - História da matemática; tradução Elza F. gomide. São Paulo, Edgard Blucher, Ed. da Universidade de São Paulo, 1974
GARBI, Gilberto. Outro Belo Teorema de Fermat. Revista RPM 38 - https://rpm.org.br/cdrpm/38/1rpm.htm
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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