Em seu artigo Somas de Quadrados [1] disponibilizado na World Wide Web, o Professor Angelo Papa Neto - IFCE, faz um apanhado histórico a partir do Teorema de Pitágoras sobre estudos de diversos matemáticos sobre como gerar número primo por meio de soma de números quadrados perfeitos.
No tópico: 2.2 Inteiros que são somas de dois quadrados, ele faz o seguinte relato: "O Teorema 2.5 a seguir nos diz exatamente quais são os inteiros positivos que podem ser escritos como somas de dois quadrados. O problema de representar um inteiro como soma de dois quadrados aparece diversas vezes na Arithmetica de Diofanto (250 d.C.). Esse era o livro "de cabeceira" do jurista e matemático amador Pierre de Fermat (1601-1665). Em uma carta a Marin Mersenne (1588-1648), datada de 25 de dezembro de 1640, Fermat enunciou o resultado abaixo, mas não o demonstrou, embora tenha indicado depois inclusive o método que havia usado na demonstração. Tudo indica que Fermat realmente conhecia uma demonstração correta do resultado, mas a primeira demonstração deve-se a Leonhard Euler (1707-1783), comunicada em uma carta a Christian Goldbach (1690-1764), datada de 6 de maio de 1747. É interessante notar que a demonstração dada por Euler em 1747 usa o método sugerido por Fermat, cem anos antes."
O presente estudo demonstram que 2 números quadrados perfeitos cujas somas têm como resultados números primos aparecem alinhados (um ao lado do outro) em operações de adições, bem como, são números equidistantes quando escrevemos sequências partindo-se do número 0 (zero) até esse determinado número primo.
Em seu livro Desvendando os segredos do triângulo retângulo e descobrindo curisosidades até hoje não conhecidas[2], o Professor Sebastião Vieira do Nascimento, carinhosamente conhecido por Professor Sebá, discorre sobre diversos métodos e fórmulas de se gerarem ternos pitagóricos e, entre eles, exemplos com as Fórmulas 4x+1 e 4x+3 creditadas a Pierre de Fermat.
Segundo Pierre de Fermat, todo número primo da forma 4x+1 pode ser escrito como a soma de 2 números quadrados perfeitos e nenhum número primo da forma 4x+3 pode ser escrito como soma de 2 números quadrados perfeitos.
| x | 4x + 1 | 4x + 3 | ||
| 1 | 1 | 3 | primo | |
| 2 | 5 | primo | 7 | primo |
| 3 | 9 | 11 | primo | |
| 4 | 13 | primo | 15 | |
| 5 | 17 | primo | 19 | primo |
| 6 | 21 | 23 | primo | |
| 7 | 25 | 27 | ||
| 8 | 29 | primo | 31 | primo |
| 9 | 33 | 35 | ||
| 10 | 37 | primo | 39 | |
| 11 | 41 | primo | 43 | primo |
| 12 | 45 | 47 | primo | |
| 13 | 49 | 51 | ||
| 14 | 53 | 55 | ||
| 15 | 57 | 59 | primo | |
| 16 | 61 | primo | 63 | |
| 17 | 65 | 67 | primo | |
| 18 | 69 | 71 | primo | |
| 19 | 73 | primo | 75 | |
| 20 | 77 | 79 | primo | |
| 21 | 81 | 83 | primo | |
| 22 | 85 | 87 | primo | |
| 23 | 89 | primo | 91 | |
| 24 | 93 | 95 |
Fonte: tabela adaptada de: NASCIMENTO, Sebastião Vieira do. Desvendando os segredos do triângulo retângulo e descobrindo curisosidades até hoje não conhecidas.
Exemplos:
5 = 22 + 12
13 = 22 + 32
17 = 12 + 42
O presente tópico tem como referência o estudo:
011-estudos-110-a-adicao-de-dois-numeros
A adição de 2 números para se obter a soma de determinado número natural apresentam as seguintes regularidades:
a) as quantidades de pares de parcelas são iguais para cada 2 números naturais;
b) as quantidades de pares de parcelas se igualam a de seu número consecutivo;
c) enquanto os números da primeira coluna das parcelas vão crescendo, os números da segunda coluna das parcelas vão decrescendo.
| 0 | + | 4 | = | 4 |
| 1 | + | 3 | = | 4 |
| 2 | + | 2 | = | 4 |
Com 3 pares de parcelas, obtem-se o número 4.
| 0 | + | 5 | = | 5 |
| 1 | + | 4 | = | 5 |
| 2 | + | 3 | = | 5 |
Com 3 pares de parcelas, obtem-se o número 5.
Na segunda adição: 1 + 4 = 5, tem-se a comprovação da Fórmula de Fermat 4x+1.
Os quadrados perfeitos 1 e 4 aparecem alinhados.
| 0 | + | 6 | = | 6 |
| 1 | + | 5 | = | 6 |
| 2 | + | 4 | = | 6 |
| 3 | + | 3 | = | 6 |
Com 4 pares de parcelas, obtem-se o número 6.
| 0 | + | 7 | = | 7 |
| 1 | + | 6 | = | 7 |
| 2 | + | 5 | = | 7 |
| 3 | + | 4 | = | 7 |
Com 4 pares de parcelas, obtem-se o número 7.
Os quadrados perfeitos 1 e 4 não aparecem alinhados.
| 0 | + | 12 | = | 12 |
| 1 | + | 11 | = | 12 |
| 2 | + | 10 | = | 12 |
| 3 | + | 9 | = | 12 |
| 4 | + | 8 | = | 12 |
| 5 | + | 7 | 12 | |
| 6 | + | 6 | = | 12 |
Com 6 pares de parcelas, obtem-se o número 12.
| 0 | + | 13 | = | 13 |
| 1 | + | 12 | = | 13 |
| 2 | + | 11 | = | 13 |
| 3 | + | 10 | = | 13 |
| 4 | + | 9 | = | 13 |
| 5 | + | 8 | 13 | |
| 6 | + | 7 | = | 13 |
Com 6 pares de parcelas, obtem-se o número 13.
Na quinta adição: 4 + 9 = 13, tem-se a comprovação da Fórmula de Fermat 4x+1.
Os quadrados perfeitos 4 e 9 aparecem alinhados.
| 0 | + | 16 | = | 16 |
| 1 | + | 15 | = | 16 |
| 2 | + | 14 | = | 16 |
| 3 | + | 13 | = | 16 |
| 4 | + | 12 | = | 16 |
| 5 | + | 11 | = | 16 |
| 6 | + | 10 | = | 16 |
| 7 | + | 9 | = | 16 |
| 8 | + | 8 | = | 16 |
Com 8 pares de parcelas, obtem-se o número 16.
| 0 | + | 17 | = | 17 |
| 1 | + | 16 | = | 17 |
| 2 | + | 15 | = | 17 |
| 3 | + | 14 | = | 17 |
| 4 | + | 13 | = | 17 |
| 5 | + | 12 | = | 17 |
| 6 | + | 11 | = | 17 |
| 7 | + | 10 | = | 17 |
| 8 | + | 9 | = | 17 |
Com 6 pares de parcelas, obtem-se o número 17.
Na segunda adição: 1 + 16 = 17, tem-se a comprovação da Fórmula de Fermat 4x+1.
Os quadrados perfeitos 1 e 16 aparecem alinhados.
Escrevendo números sequenciais partindo-se do número 0 (zero) até um número primo, pode-se também verificar se tal número primo satisfaz a Fórmula de Fermat 4x+1.
Números Primos que satisfazem a Fórmula de Fermat 4x+1 apresentam os números quadrados perfeitos equidistantes dos extremos das sequências numéricas e também deles próprios.
Os números quadrados perfeitos 1 e 4 estão equidistantes dos extremos da sequência e deles próprios.
| Números sequênciais de 0 a 5 |
| 0 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br |
Os números quadrados perfeitos 1 e 4 não estão estão equidistantes dos extremos da sequência.
| Números sequênciais de 0 a 7 |
| 0 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 6 |
| 7 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br |
Os números quadrados perfeitos 4 e 9 estão equidistantes dos extremos da sequência e deles próprios.
| Números sequênciais de 0 a 13 |
| 0 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 6 |
| 7 |
| 8 |
| 9 |
| 10 |
| 11 |
| 12 |
| 13 |
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Os números quadrados perfeitos 1 e 16 estão equidistantes dos extremos da sequência e deles próprios.
| Números sequênciais de 0 a 17 |
| 0 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 6 |
| 7 |
| 8 |
| 9 |
| 10 |
| 11 |
| 12 |
| 13 |
| 14 |
| 15 |
| 16 |
| 17 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br |
Autor: Ricardo Silva - agosto/2025
[2]NASCIMENTO, Sebastião Vieira do. Desvendando os segredos do triângulo retângulo e descobrindo curisosidades até hoje não conhecidas.
[1]NETO, Angelo Papa. Soma de 2 quadrados. IFCE
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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