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Tabuada de Somas de 2 Números Quadrados Perfeitos - 704

Pierre de Fermat, jurista e Entusiasta Matemático francês, (1601-1665), entre várias contribuições à Matemática, em carta a Marin Mersenne (1588-1648), datada de 25 de dezembro de 1640, afirma que números da forma 4x + 1 podem ser escritos como soma de 2 quadrados enquanto números da forma 4x + 3 não podem ser escritos como soma de 2 quadrados.[1]

O presente estudo demonstra Tabuada de Somas de 2 Números Quadrados Perfeitos, dispositivo numérico construído por sistema de coordenadas cartesianas cujas intersecções entre linhas e colunas têm-se somas de 2 números quadrados perfeitos, bem como, propriedades numéricas com números primos, Números de Fermat da forma 4x + 1, quadrados semi-mágicos e triângulos retângulos pitagóricos.

Teorema de Pitágoras (Telecurso 2⁰ Grau - Aula 19)

"Exercício 9 - O triângulo retângulo de lados com 3, 4 e 5 cm, que conhecemos nesta aula, se tornou famoso devido ao fato de que seus lados são medidos por números naturais (i.e, inteiros positivos) pequenos. Este exercício apresenta outros triângulos desse tipo. Faça uma tabela como esta contendo na horizontal e na vertical os quadrados dos números naturais. Observe que cada número na tabela é soma de dois quadrados. Por exemplo 5 = 1 + 4 . Chamemo-los b e c."

"a) Procure pelos b² + c² que são eles próprios também quadrados, estando então na sequência 1 - 4 - 9 - 16 - etc. Por exemplo, 9 + 16 = 25 = 5²."

"Sugestão: Faça sua tabela em papel quadriculado. Você perceberá que a própria tabela lhe dá o triângulo desenhado. Exemplo:"

c) Existem triângulos semelhantes entre os encontrados? Isto é, de mesmo formato mas de tamanhos diferentes?

A resposta para esta pergunta é: ...

... o Triângulo Retângulo 6 - 8 - 10 que por sua vez é derivado do Triângulo Retângulo Pitagórico Primitivo 3 -4 - 5.

6² (cateto menor) = 36

8² (cateto maior) = 64

36 + 64 = 100

10² (hipotenusa) = 100

Importante destacar que:

a) o Algoritmo Escada Theon gera sequencialmente ternos pitagóricos primitivos raros.

b) determinadas somas de 2 quadrados perfeitos pares são termos derivados de ternos pitagóricos primitivos raros.

A Tabuada de Somas de 2 Números Quadrados Perfeitos ao infinito, portanto, tem a propriedade de gerar somas de 2 determinados quadrados perfeitos consecutivos, como também, a soma de seus 2 quadrados perfeitos perfeitos derivados pares.

Para mais informações, veja abaixo Matérias Relacionadas!

Diagonal Principal

A diagonal principal (células amarelas) é formada por números que são dobros de números quadrados perfeitos.

Em relação a diagonal principal a tabuada é simétrica, pois os números aparecem "espelhados".

Diagonais Adjacentes à Principal

As diagonais adjacentes à principal (células laranjas) são formadas por Números de Fermat da forma 4x+ 1 e que também são números figurados quadrados centrados: 1, 5, 13, 25, 41, 61,...

Números figurados quadrados centrados são formados construindo-se quadrados por meio de arranjos de pontos equidistantes começando por um ponto central e acrescentando-se quantidades de pontos em múltiplos de 4.

Números da Forma 4x + 1 e Tabuleiro de Xadrez

Destacando os números da forma 4x + 1 na Tabuada de Somas de 2 Números Quadrados Perfeitos, eles formam um "Tabuleiro de Xadrez".

Nas diagonais adjacentes à principal (células verdes), os números quando divididos por 4, sempre deixam resto 1.

Nas diagonais secundária e adjacentes (células claras), há números múltiplos de 4 e números não múltiplos de 4 intercalados.

Tanto nas linhas quantos nas colunas, os números da forma 4x + 1 (celúlas verdes) estão intercalados ora com números múltiplos de 4, ora com números não múltiplos de 4.

Gerando sequências cujos termos há números 4x + 1

Método 1

Número Quadrado Perfeito adicionado com o quadrado perfeito 1 tem como soma um número que é sempre o primeiro termo tanto das linhas quanto das colunas da Tabuada de Somas de 2 Números Quadrados Perfeitos.

Exemplo: Quadrado 1 adicionado com quadrado 1 é igual a 2.

Partindo-se do número 2 (primeiro termo) e somando-se números ímpares consecutivos a começar pelo número 3, formam-se sequências numéricas cujos termos alternados são números da forma 4x + 1 e, entre eles, números primos.

1 + 1 = 2

2 + 3 = 5 ( da forma 4x+1 e primo )

5 + 5 = 10

10 + 7 = 17 ( da forma 4x+1 e primo )

17 + 9 = 26

26 + 11 = 37 (da forma 4x+1 e primo )

37 + 13 = 50

e assim sucessivamente.

Método 2

a) escolha um número quadrado perfeito e dobre o seu valor;

4 x 2 = 8

b) some a raiz do quadrado com o seu número consecutivo;

2 + 3 = 5

c) começe a somar o dobro do quadrado com número o número 5 e sucessivamente com os próximos números ímpares consecutivos;

8 + 5 = 13 ( da forma 4x+1 e primo )

13 + 7 = 20

20 + 9 = 29 ( da forma 4x+1 e primo )

29 + 11 = 40

40 + 13 = 53 ( da forma 4x+1 e primo )

d) com este método também se formam sequências numéricas cujos termos alternados são da forma 4x + 1 e, entre eles, números primos.

8, 13, 20, 29, 40, 53,...

Triângulo Numérico 21 - Somas de 2 Números Quadrados Perfeitos

Tendo como base a Tabuada de Somas de 2 Números Quadrados Perfeitos, pôde-se também obter o Triângulo Numérico 21 - Somas de 2 Números Quadrados Perfeitos.

Destacando números da forma 4x + 1 nas hipotenusas paralelas à hipotenusa principal, encontra-se a primeira sequência de 4 números primos cujas diferenças são múltiplos de 4 consecutivos.

Primeira sequência de números primos

Segunda sequência de números primos

Na mesma hipotenusa, uma segunda sequência de números primos cujas diferenças são também múltiplos de 4 consecutivos.

Cruzes de Números Primos

Na Tabuada de Somas de 2 Números Quadrados Perfeitos há formações de Cruzes de Números Primos nas diagonais paralelas à principal:

a) primeira cruz de números primos;

b) segunda cruz de números primos

Quadrado Semi-Mágico 5x5 Auto-Configurado Simétrico

Destacando números múltiplos de 5 e os envolvendo em um quadrado, tanto na Tabuada quanto no Triângulo Numérico 21 - Somas de 2 Números Quadrados Perfeitos, eles formam Quadrados Semi-Magicos 5x5 Auto-Configurados Simétricos (sem precisar de intervenção manual).

a) os múltiplos de 5 parecem formar círculo achatado (células azuis);

b) parte dos números pares formam um "xis" (células liláres);

c) outra parte dos números pares formam uma "cruz" (células laranjas);

d) os números ímpares formam um losango (células verdes) e, entre eles, há números primos, neste exemplo, os números 241 e 281.

Quadrado Semi-Mágico Auto-Configurado 3x3 Simétrico

No Quadrado Semi-Mágico 5x5 Auto-Configurado Simétrico, há "imbutido" (quadrado concêntrico) quadrado semi-magico 3x3 auto-configurado simétrico,

Nos 6 quadrados semi-mágicos 5x5 observados, os números ímpares sempre terminam no algarismo 1.

Na Fig.704-05, exemplo de como os múltiplos de 5 (células azuis) aparecem como formações de círculos achatados na Tabuada de Soma de 2 Números Quadrados Perfeitos.

O Navegador Google Chrome e um Fato Relevantíssimo

Realizando pesquisas sobre circunferência, triângulo, bem como, elipse, deparei-me com a Apostila do Telecurso 2⁰ Grau - Aula 19 - Teorema de Pitágoras, na qual há o detalhe de tabela de soma de 2 quadrados - Fig.704-02 e que até então eu não conhecia e começei a analizá-la e a estudá-la.

Verifiquei que é uma tabela que sintetiza a soma de 2 números quadrados perfeitos e que têm relações com Números de Fermat da forma 4x + 1, números primos, bem como, com o Algoritmo Escada de Theon.

Então, eu fiz a seguinte pergunta ao Navegador Google Chrome:

"tabela de soma de 2 quadrados"

para verificar se havia algum artigo, tese, tcc ou livro sobre tal assunto / tema.

E para minha surpresa, o Navegador Google Chrome faz referência a um dos estudos divulgados aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos:

011-estudos-604-soma-2-quadrados-e-numeros-quadrados

Estudo tem tabela de soma de 2 quadrados, mas diferente da que é demonstrada neste estudo.

E mais surpresa ainda foi que o Navegador Google Chrome, por meio de sua IA - Inteligência Artificial gerou tabela semelhante a da Apostila do Telecurso 2⁰ Grau " automaticamente" sem eu solicitar como queria tal configuração de tabela.

Fonte: https://www.google.com/

Neste Box, o Google Chrome esclarece que:

"Isso é um resultado de pesquisa, não um anúncio. Apenas anúncio são pagos e eles sempre são identificados como "Patrocinado" ou "Anúncio"

O WebSite Os Fantásticos Números Primos, agradece de antemão a toda Equipe do Google Chome, pela iniciativa de divulgar conteúdos educacionais.

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Autor: Ricardo Silva - outubro/2026

Fontes Bibliográficas:

[1]NETO, Angelo Papa. Soma de 2 quadrados. IFCE

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

Telecurso 2⁰ Grau - Aula 19 - Teorema de Pitágoras

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