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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Tabuada de Somas de 2 Números Quadrados de Triangulares - 708

A Tabuada de Somas de 2 Números Quadrados de Triangulares é um dispositivo numérico construído por sistema de coordenadas cartesianas cujas intersecções entre linhas e colunas têm-se somas de 2 números quadrados de triangulares.

Tabuada de Somas de 2 Números Quadrados de Triangulares

A Tabuada de Somas de 2 Números Quadrados de Triangulares apresenta em sua estrutura propriedades numéricas com os próprios números quadrados perfeitos, números primos, Números de Fermat da forma 4x + 1 e quadrados semi-mágicos auto-configurados concêntricos.

Tabuada de Somas de
2 Números Quadrados de Triangulares
                   
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
tri 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55
....... . . . . . . . . . . .
tri . tri^2 1 9 36 100 225 441 784 1296 2025 3025
1 1 . 1 2 10 37 101 226 442 785 1297 2026 3026
2 3 . 9 10 18 45 109 234 450 793 1305 2034 3034
3 6 . 36 37 45 72 136 261 477 820 1332 2061 3061
4 10 . 100 101 109 136 200 325 541 884 1396 2125 3125
5 15 . 225 226 234 261 325 450 666 1009 1521 2250 3250
6 21 . 441 442 450 477 541 666 882 1225 1737 2466 3466
7 28 . 784 785 793 820 884 1009 1225 1568 2080 2809 3809
8 36 . 1296 1297 1305 1332 1396 1521 1737 2080 2592 3321 4321
9 45 . 2025 2026 2034 2061 2125 2250 2466 2809 3321 4050 5050
10 55 . 3025 3026 3034 3061 3125 3250 3466 3809 4321 5050 6050
                           
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Diagonal Principal

A diagonal principal (células amarelas) é formada por números que são dobros de números quadrados de triangulares.

Em relação a diagonal principal a tabuada é simétrica, pois os números aparecem "espelhados".

Diagonais Adjacentes à Principal

As 2 diagonais adjacentes à principal (células laranjas) são formadas exclusivamente por números triangulares cujas ordens / posições são de números quadrados perfeitos.

Exemplos:

1 é um triangular de ordem / posição 1

10 é um triangular de ordem / posição 4

45 é um triangular de ordem / posição 9

Nas 2 diagonais adjacentes à principal (células laranjas) há ocorrências de Números de Fermat da forma 4x + 1 e, entre eles, ocorrências de números primos.

Números de Fermat da forma 4x + 1 são números que divididos por 4 deixam resto 1.

Terceira Diagonal

A terceira diagonal (células verdes) paralela à principal é formada exclusivamente por números ímpares e, entre eles, Números de Fermat da forma 4x + 1 com ocorrências de números primos.

As diagonais de ordens / posições ímpares têm propriedades semelhantes à terceira diagonal.

Diagonais de Ordens Pares

As diagonais de ordens / posições pares apresentam dois tipos de formações numéricas:

a) uma parte formada exclusivamente por números pares;

b) outra parte formada por pares e ímpares.

Quadrados 2x2

Envolvendo 4 números em um quadrado (células liláses), partindo da diagonal principal, a soma de todos os números é o dobro de um número retangular.

Tabuada de Somas de
2 Números Quadrados de Triangulares
                   
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
tri 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55
....... . . . . . . . . . . .
tri . tri^2 1 9 36 100 225 441 784 1296 2025 3025
1 1 . 1 2 10 37 101 226 442 785 1297 2026 3026
2 3 . 9 10 18 45 109 234 450 793 1305 2034 3034
3 6 . 36 37 45 72 136 261 477 820 1332 2061 3061
4 10 . 100 101 109 136 200 325 541 884 1396 2125 3125
5 15 . 225 226 234 261 325 450 666 1009 1521 2250 3250
6 21 . 441 442 450 477 541 666 882 1225 1737 2466 3466
7 28 . 784 785 793 820 884 1009 1225 1568 2080 2809 3809
8 36 . 1296 1297 1305 1332 1396 1521 1737 2080 2592 3321 4321
9 45 . 2025 2026 2034 2061 2125 2250 2466 2809 3321 4050 5050
10 55 . 3025 3026 3034 3061 3125 3250 3466 3809 4321 5050 6050
                           
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Exemplos:

a) 2 + 10 + 10 + 18 = 40

40 é o dobro do número retangular 20

40 é o quádruplo do triangular 10

Interessante observar que 2 e 18 formam pares complementares, pois a soma é o dobro do triangular 10.

b) 72 + 136 + 136 + 200 = 544

544 é o dobro do número retangular 272

544 é o quádruplo do triangular 136

Interessante observar que 72 e 200 formam pares complementares, pois a soma é o dobro do triangular 136.

c) 450 + 666 + 666 + 882 = 544

1332 é o dobro do número retangular 2664

2664 é o quádruplo do triangular 666

Interessante observar que 450 e 882 formam pares complementares, pois a soma é o dobro do triangular 666.

Quadrados Semi-Mágicos 3x3 Auto-Configurado Simétrico

Envolvendo 9 números em um quadrado (células vermelhas), partindo da diagonal principal, forma-se um quadrado semi-mágico 3x3 auto-configurado simétrico com as seguintes propriedades:

Tabuada de Somas de
2 Números Quadrados de Triangulares
                   
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
tri 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55
....... . . . . . . . . . . .
tri . tri^2 1 9 36 100 225 441 784 1296 2025 3025
1 1 . 1 2 10 37 101 226 442 785 1297 2026 3026
2 3 . 9 10 18 45 109 234 450 793 1305 2034 3034
3 6 . 36 37 45 72 136 261 477 820 1332 2061 3061
4 10 . 100 101 109 136 200 325 541 884 1396 2125 3125
5 15 . 225 226 234 261 325 450 666 1009 1521 2250 3250
6 21 . 441 442 450 477 541 666 882 1225 1737 2466 3466
7 28 . 784 785 793 820 884 1009 1225 1568 2080 2809 3809
8 36 . 1296 1297 1305 1332 1396 1521 1737 2080 2592 3321 4321
9 45 . 2025 2026 2034 2061 2125 2250 2466 2809 3321 4050 5050
10 55 . 3025 3026 3034 3061 3125 3250 3466 3809 4321 5050 6050
                           
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a) os números diagonalmente equidistantes têm as mesmas somas;

      74
2 10 37  
10 18 45  
37 45 72  
      74

b) os números nas diagonais têm as mesmas somas;

      92
2 10 37  
10 18 45  
37 45 72  
      92

c) os números equidistantes nas linhas centrais horizontal e vertical têm as mesmas somas;

       
2 10 37  
10 18 45 55
37 45 72  
       
  55    

c) os números nas linhas centrais horizontal e vertical têm as mesmas somas;

       
2 10 37  
10 18 45 73
37 45 72  
       
  73    

d) Quadrado Semi-Mágico 3x3 Auto-Configurado Simétrico.

Quadrado Semi-Mágico 3x3
Auto-Configurado Simétrico
       
      92
2 10 37 49
10 18 45 73
37 45 72 154
       
49 73 154 92
       
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Multi-Quadrados Semi-Mágicos Auto-Configurados Simétricos

A medida que se vai aumentando quadrados e envolvendo números, automaticamente vai se formando séries quadrados concêntricos, isto é, quadrados dentro de quadrados com as mesmas propriedades do quadrado 3x3 descritos acima.

Tabuada de Somas de
2 Números Quadrados de Triangulares
                   
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
tri 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55
....... . . . . . . . . . . .
tri . tri^2 1 9 36 100 225 441 784 1296 2025 3025
1 1 . 1 2 10 37 101 226 442 785 1297 2026 3026
2 3 . 9 10 18 45 109 234 450 793 1305 2034 3034
3 6 . 36 37 45 72 136 261 477 820 1332 2061 3061
4 10 . 100 101 109 136 200 325 541 884 1396 2125 3125
5 15 . 225 226 234 261 325 450 666 1009 1521 2250 3250
6 21 . 441 442 450 477 541 666 882 1225 1737 2466 3466
7 28 . 784 785 793 820 884 1009 1225 1568 2080 2809 3809
8 36 . 1296 1297 1305 1332 1396 1521 1737 2080 2592 3321 4321
9 45 . 2025 2026 2034 2061 2125 2250 2466 2809 3321 4050 5050
10 55 . 3025 3026 3034 3061 3125 3250 3466 3809 4321 5050 6050
                           
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Autor: Ricardo Silva - outubro/2026

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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