O Triângulo Numérico 21 - Somas de 2 Números Quadrados Perfeitos é um dispositivo numérico infinito originado da Tabuada de Somas de 2 Números Quadrados Perfeitos que por sua vez é originado de um detalhe de tabela de somas de 2 números quadrados da apostila do Telecurso 20 Grau - Aula 19 - Teorema de Pitágoras.
O presente estudo demonstra que as somas de 2 números quadrados perfeitos formando estruturas numéricas em forma de triângulo retângulo são possíveis de gerarem números de Fermat da forma 4x + 1, quadrados semi-mágicos auto-configurados simétricos, como também, ternos pitagóricos primitivos raros e seus ternos derivados.
A Tabuada de Somas de 2 Números Quadrados Perfeitos é um dispositivo numérico infinito construído por sistema de coordenadas cartesianas cujas intersecções entre linhas e colunas têm-se as somas de 2 números quadrados perfeitos.
Destacando os números na diagonal principal (células amarelas), verifica-se a formação de sequências numéricas simétricas em formas de triângulos retângulos.
Para mais informações, veja:
011-estudos-704-tabuada-de-somas-de-dois-numeros-quadrados-perfeitos
| Tabuada de Somas de | ||||||||||||
| 2 Números Quadrados Perfeitos | ||||||||||||
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
| n | .... | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . |
| . | n^2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | |
| 1 | . | 1 | 2 | 5 | 10 | 17 | 26 | 37 | 50 | 65 | 82 | 101 |
| 2 | . | 4 | 5 | 8 | 13 | 20 | 29 | 40 | 53 | 68 | 85 | 104 |
| 3 | . | 9 | 10 | 13 | 18 | 25 | 34 | 45 | 58 | 73 | 90 | 109 |
| 4 | . | 16 | 17 | 20 | 25 | 32 | 41 | 52 | 65 | 80 | 97 | 116 |
| 5 | . | 25 | 26 | 29 | 34 | 41 | 50 | 61 | 74 | 89 | 106 | 125 |
| 6 | . | 36 | 37 | 40 | 45 | 52 | 61 | 72 | 85 | 100 | 117 | 136 |
| 7 | . | 49 | 50 | 53 | 58 | 65 | 74 | 85 | 98 | 113 | 130 | 149 |
| 8 | . | 64 | 65 | 68 | 73 | 80 | 89 | 100 | 113 | 128 | 145 | 164 |
| 9 | . | 81 | 82 | 85 | 90 | 97 | 106 | 117 | 130 | 145 | 162 | 181 |
| 10 | . | 100 | 101 | 104 | 109 | 116 | 125 | 136 | 149 | 164 | 181 | 200 |
| Fonte: Telecurso 20 Grau - Aula 19 - Teorema de Pitágoras | ||||||||||||
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||||||||||
| Triângulo Numérico 21 | ||||||||||||
| Somas de 2 Números Quadrados Perfeitos | ||||||||||||
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
| n | .... | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . |
| . | n^2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | |
| 1 | . | 1 | 2 | |||||||||
| 2 | . | 4 | 5 | 8 | ||||||||
| 3 | . | 9 | 10 | 13 | 18 | |||||||
| 4 | . | 16 | 17 | 20 | 25 | 32 | ||||||
| 5 | . | 25 | 26 | 29 | 34 | 41 | 50 | |||||
| 6 | . | 36 | 37 | 40 | 45 | 52 | 61 | 72 | ||||
| 7 | . | 49 | 50 | 53 | 58 | 65 | 74 | 85 | 98 | |||
| 8 | . | 64 | 65 | 68 | 73 | 80 | 89 | 100 | 113 | 128 | ||
| 9 | . | 81 | 82 | 85 | 90 | 97 | 106 | 117 | 130 | 145 | 162 | |
| 10 | . | 100 | 101 | 104 | 109 | 116 | 125 | 136 | 149 | 164 | 181 | 200 |
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a) a hipotenusa principal (células amarelas) é formada por sequência numérica cujos termos são dobros de números quadrados perfeitos;
b) a hipotenusa paralela à principal (células laranjas) é formada pela sequência numérica cujos termos são exclusivamente números de Fermat da 4x+1 (onde x é um número triangular) e que também são Números Figurados Quadrados Perfeitos Centrados;
Para mais informações veja:
011-estudos-321-numeros-figurados-quadrados-centrados-sequencias-numericas
011-estudos-590-algoritmo-da-soma-de-dois-numeros-quadrados-perfeitos
c) as demais hipotenusas, ora as sequências numéricas são formadas exclusivamente por números pares e, entre eles, múltiplos de 4 alternados; ora são formadas por números da 4x + 1.
a) escolha um número quadrado perfeito e dobre o seu valor;
4 x 2 = 8 (célula laranja)
b) some a raiz do quadrado com o seu número consecutivo;
2 + 3 = 5
c) começe a somar o dobro do quadrado com número o número 5 e sucessivamente com os próximo números ímpares consecutivos;
8 + 5 = 13 ( da forma 4x+1 e primo )
13 + 7 = 20
20 + 9 = 29 ( da forma 4x+1 e primo )
29 + 11 = 40
40 + 13 = 53 ( da forma 4x+1 e primo )
d) com este método também se formam sequências numéricas cujos termos alternados são da forma 4x + 1 e, entre eles, números primos.
| 8 | |
| 13 | número primo |
| 20 | |
| 29 | número primo |
| 40 | |
| 53 | número primo |
| 68 | |
| 85 | |
| 104 |
Número Quadrado Perfeito adicionado com o quadrado perfeito 1 tem como soma um número que é sempre o primeiro termo nos catetos maiores do Triângulo Numérico 21 - Somas de 2 Números Quadrados Perfeitos.
Exemplo: Quadrado 100 mais o quadrado 1 é igual a 101.
Partindo-se do número 101 (primeiro termo) e somando-se números ímpares consecutivos a começar pelo número 3, formam-se sequências numéricas cujos termos alternados são números da forma 4x + 1 e, entre eles, números primos.
100 + 1 = 101 ( da forma 4x+1 e primo )
101 + 3 = 104
104 + 5 = 109 ( da forma 4x+1 e primo )
109 + 7 = 116
116 + 9 = 125 (da forma 4x+1 )
125 + 11 = 136
136 + 13 = 149 ( da forma 4x+1 e primo )
e assim sucessivamente.
| 100 | 101 | 104 | 109 | 116 | 125 | 136 | 149 | 164 | 181 | 200 |
Destacando múltiplos de 5 (células azuis) no Triângulo Numérico 21 - Soma de 2 Números Quadrados Perfeitos, nota-se que eles se parecem com círculos achatados.
Envolvendo os múltiplos de 5 em quadrados, obtêm-se quadrados semi-mágicos 5x5 auto-configurados simétricos cujos pares complementares estão opostos NATURALMENTE, isto é, não se utilizou nenhum método de construção de quadrados mágicos para manusear os números da forma com que eles estão em suas posições nas células.
| Quadrado Semi-Mágico 5x5 | ||||||
| Auto-Configurado Simétrico | ||||||
| 1270 | ||||||
| . | . | |||||
| 178 | 185 | 194 | 205 | 218 | 980 | |
| 205 | 212 | 221 | 232 | 245 | 1115 | |
| 234 | 241 | 250 | 261 | 274 | 1260 | |
| 265 | 272 | 281 | 292 | 305 | 1415 | |
| 298 | 305 | 314 | 325 | 338 | 1580 | |
| . | . | |||||
| 1180 | 1215 | 1260 | 1315 | 1380 | 1270 | |
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a) os múltiplos de 5 parecem formar círculo achatado (células azuis);
b) parte dos números pares formam um "xis" (células liláres);
c) outra parte dos números pares formam uma "cruz" (células laranjas);
d) os números ímpares formam um losango (células verdes) e, entre eles, há números primos, neste exemplo, os números 241 e 281.
No Quadrado Semi-Mágico 5x5 Auto-Configurado Simétrico, há quadrado Semi-Mágico 3x3 Auto-Configurado Simétrico Concêntrico.
Quadrados mágicos concêntricos são quadrados mágicos "imbutidos" dentro de quadrados mágicos.
| Quadrado Semi-Mágico 3x3 | ||||
| Auto-Configurado Simétrico Concêntrico | ||||
| 754 | ||||
| . | ||||
| 212 | 221 | 232 | 665 | |
| 241 | 250 | 261 | 752 | |
| 272 | 281 | 292 | 845 | |
| . | ||||
| 725 | 752 | 785 | 754 | |
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Autor: Ricardo Silva - outubro/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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