Quadrados Mágicos são dispositivos numéricos formados por células em quantidades de números quadrados perfeitos, nos quais:
a) dispondo termos de progressões aritméticas, em certa ordem, as adições de cada uma das linhas, cada uma das colunas, bem como, as diagonais tem como resultado uma mesma soma, denominada de Constante Mágica;
b) dispondo termos de progressões geométricas em certa ordem, os produtos de cada uma das linhas, cada uma das colunas, bem como, as diagonais tem como resultado um mesmo produto, denominado de Contante Mágica.
c) dispondo conjuntos de determinados divisores de um número natural, em certa ordem, os produtos de cada uma das linhas, cada uma das colunas, bem como, as diagonais tem como resultado um mesmo produto, denominado de Contante Mágica.
Observação: divisores de um número natural não são progressões aritméticas e nem progressões geométricas.
Diferentemente quadrados semi-mágicos não apresentam simultaneamente constante mágica nas diagonais, linhas e colunas.
O presente estudo demonstra um novíssimo método de se gerar quadrados semi-mágicos auto-configurados simétricos, isto é, quadrados semi-mágicos prontos que não necessitaram de intervenção manual para serem construídos.
Os quadrados semi-mágicos auto-configurados simétricos surgem naturalmente na Tabuada de Somas de 2 Números Quadrados Perfeitos, bem como, no Triângulo Numérico 21 - Soma de 2 Números Quadrados Perfeitos.
A Tabuada de Somas de 2 Números Quadrados Perfeitos é um dispositivo numérico infinito construído por sistema de coordenadas cartesianas cujas intersecções entre linhas e colunas têm-se as somas de 2 números quadrados perfeitos.
Destacando os números na diagonal principal (células amarelas), verifica-se a formação de sequências numéricas simétricas em formas de triângulos retângulos.
Para mais informações, veja:
011-estudos-704-tabuada-de-somas-de-dois-numeros-quadrados-perfeitos
| Tabuada de Somas de | ||||||||||||
| 2 Números Quadrados Perfeitos | ||||||||||||
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
| n | .... | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . |
| . | n^2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | |
| 1 | . | 1 | 2 | 5 | 10 | 17 | 26 | 37 | 50 | 65 | 82 | 101 |
| 2 | . | 4 | 5 | 8 | 13 | 20 | 29 | 40 | 53 | 68 | 85 | 104 |
| 3 | . | 9 | 10 | 13 | 18 | 25 | 34 | 45 | 58 | 73 | 90 | 109 |
| 4 | . | 16 | 17 | 20 | 25 | 32 | 41 | 52 | 65 | 80 | 97 | 116 |
| 5 | . | 25 | 26 | 29 | 34 | 41 | 50 | 61 | 74 | 89 | 106 | 125 |
| 6 | . | 36 | 37 | 40 | 45 | 52 | 61 | 72 | 85 | 100 | 117 | 136 |
| 7 | . | 49 | 50 | 53 | 58 | 65 | 74 | 85 | 98 | 113 | 130 | 149 |
| 8 | . | 64 | 65 | 68 | 73 | 80 | 89 | 100 | 113 | 128 | 145 | 164 |
| 9 | . | 81 | 82 | 85 | 90 | 97 | 106 | 117 | 130 | 145 | 162 | 181 |
| 10 | . | 100 | 101 | 104 | 109 | 116 | 125 | 136 | 149 | 164 | 181 | 200 |
| Fonte: Telecurso 20 Grau - Aula 19 - Teorema de Pitágoras | ||||||||||||
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O Triângulo Numérico 21 - Soma de 2 Números Quadrados Perfeito é originado da Tabuada de Soma de 2 Números Quadrados Perfeitos Consecutivos.
Para mais informações, veja:
011-estudos-705-triangulo-numerico-21-somas-de-2-numeros-quadrados-perfeitos
| Triângulo Numérico 21 | ||||||||||||
| Somas de 2 Números Quadrados Perfeitos | ||||||||||||
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
| n | .... | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . |
| . | n^2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | |
| 1 | . | 1 | 2 | |||||||||
| 2 | . | 4 | 5 | 8 | ||||||||
| 3 | . | 9 | 10 | 13 | 18 | |||||||
| 4 | . | 16 | 17 | 20 | 25 | 32 | ||||||
| 5 | . | 25 | 26 | 29 | 34 | 41 | 50 | |||||
| 6 | . | 36 | 37 | 40 | 45 | 52 | 61 | 72 | ||||
| 7 | . | 49 | 50 | 53 | 58 | 65 | 74 | 85 | 98 | |||
| 8 | . | 64 | 65 | 68 | 73 | 80 | 89 | 100 | 113 | 128 | ||
| 9 | . | 81 | 82 | 85 | 90 | 97 | 106 | 117 | 130 | 145 | 162 | |
| 10 | . | 100 | 101 | 104 | 109 | 116 | 125 | 136 | 149 | 164 | 181 | 200 |
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Destacando múltiplos de 5 (células azuis) no Triângulo Numérico 21 - Soma de 2 Números Quadrados Perfeitos, nota-se que eles se parecem com círculos achatados.
Bernard Frénicle de Bessy, (1602-1675), matemático francês, em sua Obra - Des Quarrez Magiques Da Academia Royale Des Sciences (1693) - enumerou 880 diferentes quadrados elementares de ordem 4 fazendo o uso de extensos cálculos manuais sem calculadora ou computador. [1]
O grifo e nosso!
Henry Ernest Dudeney (1857-1930), escritor e matemático inglês, especializado em quebra-cabeças lógicos e jogos matemáticos, classificacou os 880 quadrados mágicos de ordem 4 em 12 grupos e que foram publicados na revista The Queen em 15 de janeiro de 1910. Em 1917, a classificação em grupos também foi publicada em Amusements in Mathematics, por Thomas Nelson & Sons, Ltd. [1]
Fonte: adaptado de http://
Segundo Harvey Denis Heinz (1930-2013) entusiasta matemático canadense e estudioso de quadrados mágicos: "Os métodos descritos aqui podem ser estendidos para trabalhar com ordens superiores.", isto é, as configurações dos grupos podem aparecer em quadrados mágicos 5x5, 6x6, 7x7 e assim sucessivamente.
Sobrepondo o diagrama do grupo 3 (logicamente para quadrado 5x5), constata-se que ele se encaixa perfeitamente sobre o Quadrado Semi-Mágico 5x5 Auto-Configurado e Simétrico.
Lembrando que este quadrado surge naturalmente na Tabuada e no Triângulo Numérico 21, sem a necessidade de "movimentação" dos números.
O diagrama demonstra pares complementares que somados o total tem corrênspondencia com outros pares complementares, como veremos a seguir.
| Quadrado Semi-Mágico 5x5 | ||||||
| Auto-Configurado Simétrico | ||||||
| 1270 | ||||||
| . | . | |||||
| 178 | 185 | 194 | 205 | 218 | 980 | |
| 205 | 212 | 221 | 232 | 245 | 1115 | |
| 234 | 241 | 250 | 261 | 274 | 1260 | |
| 265 | 272 | 281 | 292 | 305 | 1415 | |
| 298 | 305 | 314 | 325 | 338 | 1580 | |
| . | . | |||||
| 1180 | 1215 | 1260 | 1315 | 1380 | 1270 | |
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a) os múltiplos de 5 parecem formar círculo achatado (células azuis);
b) parte dos números pares formam um "xis" (células liláres);
c) outra parte dos números pares formam uma "cruz" (células laranjas);
d) os números ímpares formam um losango (células verdes) e, entre eles, há números primos, neste exemplo, os números 241 e 281.
e) a linha e a coluna centrais têm os mesmo valor: 1260
f) a diagonais têm o mesmo valor: 1270
| Quadrado Semi-Mágico 5x5 | ||||||
| Auto-Configurado e Simétrico | ||||||
| 1270 | ||||||
| . | . | |||||
| 178 | 185 | 194 | 205 | 218 | 980 | |
| 205 | 212 | 221 | 232 | 245 | 1115 | |
| 234 | 241 | 250 | 261 | 274 | 1260 | |
| 265 | 272 | 281 | 292 | 305 | 1415 | |
| 298 | 305 | 314 | 325 | 338 | 1580 | |
| . | . | |||||
| 1180 | 1215 | 1260 | 1315 | 1380 | 1270 | |
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Células Azuis (múltiplos de 5)
185 + 325 = 510
205 + 305 = 510
205 + 305 = 510
265 + 245 = 510
Células Liláses (números pares)
178 + 338 = 516
218 + 298 = 516
212 + 292 = 504
232 + 272 = 504
Células Laranjas (números pares)
194 + 314 = 508
234 + 274 = 508
Células Verdes (números ímpares)
221 + 281 = 502
241 + 261 = 502
No Quadrado Semi-Mágico 5x5 Auto-Configurado Simétrico, há quadrado semi-magico 3x3 Auto-Configurado Simétrico Concêntrico.
Quadrado mágico concêntrico é quadrado mágico dentro de um quadrado mágico.
| Quadrado Semi-Mágico 3x3 | ||||
| Auto-Configurado Simétrico Concêntrico | ||||
| 754 | ||||
| . | ||||
| 212 | 221 | 232 | 665 | |
| 241 | 250 | 261 | 752 | |
| 272 | 281 | 292 | 845 | |
| . | ||||
| 725 | 752 | 785 | 754 | |
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a) as linhas centrais horizontal e vertical somam 752;
b) as diagonais somam 754;
c) os números 241 e 281 são primos.
Organizando os números: 212, 221, 232, 241, 250, 261, 272, 281, 292 em ordem crescente do Quadrado Semi-Mágico 3x3 Auto-Configurado Simétrico Concêntrico e utilizando o Método de Construção por Rotação de Quadrados Mágicos:
a) cada uma das linhas horizontais e verticais somam agora 754;
b) cada uma das diagonais somam agora 752;
c) os números ímpares não formam mais cruz.
Para mais informações sobre o Método de Construção por Rotação de Quadrados Mágicos veja:
011-estudos-170-quadrados-magicos-3x3
| Quadrado Semi-Mágico 3x3 | ||||
| Auto-Configurado Simétrico Concêntrico | ||||
| 752 | ||||
| 241 | 292 | 221 | 754 | |
| 232 | 250 | 272 | 754 | |
| 281 | 212 | 261 | 754 | |
| 754 | 754 | 754 | 752 | |
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Além de ter em Quadrado Semi-Mágico 5x5 Auto-Configurado Simétrico um quadrado Semi-Mágico 3x3 Auto-Configurado Simétrico Concêntrico, há também outros quadrados 3x3 "imbutidos" dentro de um quadrado 5x5.
Organizando os números: 178, 185, 194, 205, 218, 205, 212, 221, 232, 245, 234, 241, 250, 261, 274, 265, 272, 281, 292, 305, 298, 305, 314 325, 338 do Quadrado Semi-Mágico 5x5 Auto-Configurado Simétrico em ordem crescente e utilizando o Método de construção de quadrado mágico de ordem ímpar Yang Hui ou "Pirâmide", alguns números trocam de posições em células e a soma de cada uma das linhas horizontais e verticais agora é 1270 e de cada diagonal 1260.
Para mais informações sobre o Método Yang Hui ou "Pirâmide", veja:
011-estudos-199-quadrados-magicos-5x5-metodos-construcoes
Interessante observar que:
a) os múltiplos de 5 ficam nas mesmas células que formam um círculo "achatado";
b) os números ímpares agora não formam mais cruz;
c) parte dos números pares formam cruz;
d) parte dos números pares com números ímpares formam agora as diagonais.
| Quadrado Semi-Mágico 5x5 | ||||||
| Auto-Configurado e Simétrico | ||||||
| 1260 | ||||||
| 234 | 205 | 272 | 245 | 314 | 1270 | |
| 325 | 241 | 218 | 281 | 205 | 1270 | |
| 212 | 338 | 250 | 178 | 292 | 1270 | |
| 305 | 221 | 298 | 261 | 185 | 1270 | |
| 194 | 265 | 232 | 305 | 274 | 1270 | |
| 1270 | 1270 | 1270 | 1270 | 1270 | 1260 | |
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Can a 3x3 magic square be constructed with nine distinct square numbers? This short question asked by Martin LaBar in 1984 became famous when Martin Gardner republished it in 1996 and offered $100 to the first person to construct such a square. Two years later, Gardner wrote:
So far no one has come forward with a “square of squares” – but no one has proved its impossibility either. If it exists, its numbers would be huge, perhaps beyond the reach of today’s fastest computers.
Fonte: http://www.multimagie.com
Pode um quadrado mágico de 3x3 ser construído com nove números quadrados distintos? Esta pequena pergunta feita por Martin LaBar em 1984 tornou-se famosa quando Martin Gardner a republicou em 1996 e ofereceu US$ 100 para a primeira pessoa a construir tal quadrado. Dois anos depois, Gardner escreveu:
Até agora ninguém avançou com um “quadrado de quadrados” - mas ninguém provou sua impossibilidade. Se existir, seus números seriam enormes, talvez além do alcance dos computadores mais rápidos de hoje.
A pergunta que se faz é a seguinte:
Será possível encontrar pelo menos um quadrado mágico na Tabuada de Somas de 2 Números Quadrados Perfeitos ou no Triângulo Numérico 21 - Soma de 2 Números Quadrados Perfeitos?
Autor: Ricardo Silva - outubro/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
[1] http://www.magic-squares.net/order4list.htm
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