Ternos Pitagóricos são grupos de três números inteiros que apresentam relações aritméticas e algébricas com o Teorema de Pitágoras onde A soma dos quadrados do catetos é igual ao quadrado da hipotenusa ou O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos representados pelas seguintes fórmulas:
b² + c² = a²
ou
a² = b² + c²
Euclides, em seu livro Os Elementos, demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos. Além disso, encontrou fórmulas que geram todos os ternos pitagóricos primitivos. Dados dois números naturais m>n, o terno (a,b,c), onde:
a = m² - n²
b = 2mn
c = m² + n²
é pitagórico, e é primitivo se e somente se m e n são primos entre si e possuem paridades distintas.
Fonte: https://pt.wikipedia.org/
Pierre de Fermat, jurista e entusiasta matemático francês, (1601-1665), entre várias contribuições à Matemática, em carta a Marin Mersenne (1588-1648), datada de 25 de dezembro de 1640, afirma que números da forma 4x + 1 podem ser escritos como a soma de 2 quadrados enquanto números da forma 4x + 3 não podem ser escritos como a soma de 2 quadrados.
O presente estudo demonstram conexões e relações numéricas entre ternos pitagóricos primitivos, números triangulares, números retangulares com Números de Fermat da forma 4x + 1 que podem ser escritos como soma de 2 quadrados.
O Terno Pitagórico Primitivo 3-4-5 assim é denominado, pois é formado a partir de 2 números primos entre si, o 2 e o 1 e os substituindo nas Fórmulas de Euclides.
O Terno Pitagórico Primitivo 3-4-5 é o primeiro e único terno formado por 3 números consecutivos.
Interessante observar que 1 + 2 = 3 (primeiro termo do terno pitagórico).
Exemplo:
m = 2
n = 1
3 = 2² - 1²
4 = 2.2.1
5 = 2² + 1²
A partir de um número ímpar igual ou maior que 3 também podem ser formados ternos pitagóricos primitivos.
3² = 9
( 9 - 1 ) / 2 = 4
( 9 + 1 ) / 2 = 5
A partir de um número quadrado ímpar igual ou maior que 9 também podem ser formados ternos pitagóricos primitivos.
√9 = 3
( 9 - 1 ) / 2 = 4
( 9 + 1 ) / 2 = 5
O número primo 5 é um número da forma 4x + 1, pois é o produto de 4 por número triangular somado 1 unidade.
4 x 1 (triangular) + 1 = 5
O número primo 5 pode ser escrito como soma de 2 quadrados, pois utilizando-se o Método de Subtrações Sucessivas, o subtraendo e a diferença são números quadrados perfeitos
| Subtrações Sucessivas | ||||
| minuendo | subtraendo | diferença | ||
| 5 | - | 0 | = | 5 |
| 5 | - | 1 | = | 4 |
| 5 | - | 2 | = | 3 |
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Escrevendo números sequenciais partindo-se do número 0 (zero) até um dado número, pode-se também verificar se tal número satisfaz a Fórmula de Fermat 4x+1.
Números Primos que satisfazem a Fórmula de Fermat 4x+1 apresentam os números quadrados perfeitos equidistantes dos extremos das sequências numéricas e também deles próprios.
Os números quadrados perfeitos 1 e 4 estão equidistantes dos extremos da sequência e deles próprios.
| Números Sequênciais de 0 a 5 |
| 0 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
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No Terno Pitagórico Primitivo 3-4-5, cada termo representa respectivamente no triângulo retângulo:
3 - cateto menor
4 - cateto maior
5 - hipotenusa
Decompondo o número 5, podemos escrevê-lo como soma de 2 números consecutivos:
2 + 3 = 5
A primeira parcela 2 é um número retangular.
Número retangular é um número que é produto de 2 números consecutivos.
1 x 2 = 2
Elevando-se os fatores ao quadrado e somando-os, tem-se como resultado o número 5 que é um número da forma 4x + 1.
1² + 2² = 1 + 4 = 5
Interessante observar que:
a) a soma dos números: 1 + 2 = 3
b) a soma dos quadrados: 1² + 2² = 5
O Terno Pitagórico Primitivo 5-12-13 assim é denominado, pois é formado a partir de 2 números primos entre si, o 3 e o 2.
Interessante observar que 2 + 3 = 5 (primeiro termo do terno pitagórico).
m = 3
n = 2
5 = 3² - 2²
12 = 2.3.2
13 = 3² + 2²
No Terno Pitagórico Primitivo 5-12-13, cada termo representa respectivamente no triângulo retângulo:
5 - cateto menor
12 - cateto maior
13 - hipotenusa
Decompondo o número 13, podemos escrevê-lo como soma de 2 números consecutivos:
6 + 7 = 13
A primeira parcela 6 é um número retangular.
Número retangular é um número que é produto de 2 números consecutivos.
2 x 3 = 6
Elevando-se os fatores ao quadrado e somando-os, tem-se como resultado o número 13 que é um número da forma 4x + 1.
2² + 3² = 4 + 9 = 13
Interessante observar que:
a) a soma dos números 2 + 3 = 5
b) 2² + 3² = 13
O Terno Pitagórico Primitivo 7-24-25 assim é denominado, pois é formado a partir de 2 números primos entre si, o 4 e o 3.
Interessante observar que 3 + 4 = 7 (primeiro termo do terno pitagórico).
m = 4
n = 3
7 = 4² - 3²
24 = 2.4.3
25 = 4² + 3²
No Terno Pitagórico Primitivo 7-24-25, cada termo representa respectivamente no triângulo retângulo:
7 - cateto menor
24 - cateto maior
25 - hipotenusa
Decompondo o número 25, podemos escrevê-lo como soma de 2 números consecutivos:
12 + 13 = 25
A primeira parcela 12 é um número retangular.
Número retangular é um número que é produto de 2 números consecutivos.
3 x 4 = 12
Elevando-se os fatores ao quadrado e somando-os, tem-se como resultado o número 25 que é um número da forma 4x + 1.
3² + 4² = 9 + 16 = 25
Interessante observar que:
a) a soma dos números 3 + 4 = 7
b) 3² + 4² = 25
a) escolhe-se 2 números consecutivos;
b) 1 e 2;
c) o produto de 2 números consecutivos tem como resultado um número retangular;
1 x 2 = 2
d) a soma de 2 números consecutivos tem como resultado o cateto menor num triângulo retângulo pitagórico;
1 + 2 = 3
e) número retangular somado com seu consecutivo tem como resultado a hipotenusa num triângulo retângulo pitagórico;
2 + 3 = 5
f) a hipotenusa subtraída 1 unidade tem como resultado o cateto maior;
5 - 1 = 4
Triângulos retângulos pitagóricos primitos têm seus catetos formados por números consecutivos.
Terno Pitagórico Primitivo formado 3 - 4 - 5
Observação importante: a soma dos quadrados de 2 números consecutivos têm como resultados Números de Fermat da forma 4x + 1 onde x é um número triangular;
1 e 2 são números consecutivos
1² + 2² = 1 + 4 = 5
5 é um Número de Fermat da forma 4x + 1 onde x é um número triangular.
4 x 1 (triangular) + 1 = 5
Números de Fermat da forma 4x + 1 em que x é um número triangular, quando decompostos como soma de 2 números consecutivos apresentam outras propriedades numéricas:
a) a primeira parcela de números consecutivos é sempre um número retangular;
b) número retangular é produto de números 2 consecutivos;
c) a soma dos fatores têm como resultado o cateto menor;
d) a soma dos quadrados dos fatores têm como resultado a hipotenusa.
Números de Fermat da forma 4x + 1 estão associados diretamente a hipotenusa porque se referem a soma de 2 quadrados.
Pelos exemplos aqui demonstrados, contata-se também que a partir do cateto menor da forma 4x + 1 pode ser gerado a hipotenusa da forma 4x + 1 e vice-versa.
Autor: Ricardo Silva - outubro/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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