Estudos publicados aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos, bem como, no livro digital Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas classificam ternos pitagóricos segundo as suas ordens / posições, suas estruturas e regularidades numéricas com a utilização das Fórmulas de Euclides, tais como:
a) Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular;
b) Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Não Triangular;
c) Ternos Pitagóricos Derivados Pares;
d) Ternos Pitagóricos Derivados Ímpares;
e) Ternos Pitagóricos Raros.
Artigo publicado no Periódico The Fibonacci Quarterly [1], apresenta o primeiro e raríssimo Terno Pitagórico:
T132 = 8778, T143 = 10296, e T164 = 13530,
formado exclusivamente por números triangulares, cita também que há infinitos ternos pitagóricos em que dois termos são números triangulares e a hipotenusa um número inteiro.
Para mais informações, veja estudos:
011-estudos-572-ternos-pitagoricos-triangulares
011-estudos-578-ternos-pitagoricos-e-o-metodo-de-potencias
Na classificação acima descrita, acrescenta-se então mais 2 tipos de ternos pitagóricos:
f) Ternos Pitagóricos Triangulares
e
g) Ternos Pitagóricos Triangulares-Cúbicos.
O presente estudo demontram regularidades numéricas relacionadas a soma de 2 números quadrados perfeitos de números triangulares consecutivos, bem como, novos métodos de se gerarem Ternos Pitagóricos Triangulares-Cúbicos.
Demonstra também que a partir de número quadrado perfeito igual ou maior que 4 podem ser gerados Ternos Pitagóricos Triangulares-Cúbicos.
A tabela a seguir têm as seguintes características construtivas e também se encontra publicada no estudo:
011-estudos-580-ternos-pitagoricos-e-numeros-triangulares-quadrados-e-quadrados-cubicos
a) o produto de 2 números consecutivos (colunas A) dividido por 2 tem como resultado um número triangular (coluna B);
b) Coluna C são números quadrados perfeitos da Coluna B;
c) Coluna D são as diferenças de números quadrados de triangulares consecutivos da coluna C;
d) Coluna E são raízes quadradas da Coluna D,
| Números Triangulares, | |||||
| Triangulares Quadrados e | |||||
| Quadrados Cúbicos | |||||
| números | |||||
| A | B | C | D | E | |
| quadrado | quadrado | raiz | |||
| consecutivos | triangular | de | cúbico | quadrada | |
| triangular | de | ||||
| (diferença) | D | ||||
| 1 | 2 | 1 | 1 | ||
| 2 | 3 | 3 | 9 | 8 | 2,828427 |
| 3 | 4 | 6 | 36 | 27 | 5,196152 |
| 4 | 5 | 10 | 100 | 64 | 8 |
| 5 | 6 | 15 | 225 | 125 | 11,18034 |
| 6 | 7 | 21 | 441 | 216 | 14,69694 |
| 7 | 8 | 28 | 784 | 343 | 18,52026 |
| 8 | 9 | 36 | 1296 | 512 | 22,62742 |
| 9 | 10 | 45 | 2025 | 729 | 27 |
| 10 | 11 | 55 | 3025 | 1000 | 31,62278 |
| 11 | 12 | 66 | 4356 | 1331 | 36,48287 |
| 12 | 13 | 78 | 6084 | 1728 | 41,56922 |
| 13 | 14 | 91 | 8281 | 2197 | 46,87217 |
| 14 | 15 | 105 | 11025 | 2744 | 52,3832 |
| 15 | 16 | 120 | 14400 | 3375 | 58,09475 |
| 16 | 17 | 136 | 18496 | 4096 | 64 |
| 17 | 18 | 153 | 23409 | 4913 | 70,0928 |
| 18 | 19 | 171 | 29241 | 5832 | 76,36753 |
| 19 | 20 | 190 | 36100 | 6859 | 82,81908 |
| 20 | 21 | 210 | 44100 | 8000 | 89,44272 |
| 21 | 22 | 231 | 53361 | 9261 | 96,23409 |
| 22 | 23 | 253 | 64009 | 10648 | 103,1891 |
| 23 | 24 | 276 | 76176 | 12167 | 110,3041 |
| 24 | 25 | 300 | 90000 | 13824 | 117,5755 |
| 25 | 26 | 325 | 105625 | 15625 | 125 |
| 26 | 27 | 351 | 123201 | 17576 | 132,5745 |
| 27 | 28 | 378 | 142884 | 19683 | 140,2961 |
| 28 | 29 | 406 | 164836 | 21952 | 148,1621 |
| 29 | 30 | 435 | 189225 | 24389 | 156,1698 |
| 30 | 31 | 465 | 216225 | 27000 | 164,3168 |
| 31 | 32 | 496 | 246016 | 29791 | 172,6007 |
| 32 | 33 | 528 | 278784 | 32768 | 181,0193 |
| 33 | 34 | 561 | 314721 | 35937 | 189,5706 |
| 34 | 35 | 595 | 354025 | 39304 | 198,2524 |
| 35 | 36 | 630 | 396900 | 42875 | 207,0628 |
| 36 | 37 | 666 | 443556 | 46656 | 216 |
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Entre outras regularidades numéricas, observa-se que:
e) a diferença entre 2 números quadrados perfeitos de números triangulares, um sucessor e outro antecessor, têm como resultados números cúbicos;
Exemplos:
9 - 1 = 8
36 - 9 = 27
100 - 36 = 64
f) uma novíssima propriedade: as somas de 2 números quadrados perfeitos de números triangulares consecutivos têm como resultados támbem números triangulares cujas ordens / posições são números quadrados perfeitos.
Exemplos:
1 + 9 = 10
9 + 36 = 45
36 + 100 = 136
Ternos Pitagóricos Triangulares-Cubicos são ternos pitagóricos cujos termos são formados por 2 números triangulares e 1 número cúbico.
| quadrado | quadrado | raiz | |||
| consecutivos | triangular | de | cúbico | quadrada | |
| triangular | de | ||||
| (diferença) | D | ||||
| 1 | 2 | 1 | 1 | ||
| 2 | 3 | 3 | 9 | 8 | 2,828427 |
| 3 | 4 | 6 | 36 | 27 | 5,196152 |
| 4 | 5 | 10 | 100 | 64 | 8 |
a) a soma dos quadrados de triangulares 1 e 9 é 10;
b) 10 é 40 número triangular / 4 é quadrado perfeito;
c) o produto dos consecutivos 4 e 5 dividido por 2 é 10;
( 4 x 5 ) / 2 = 10
d) 10 menos a sua ordem / posicão 4, o resultado é o triangular 6;
10 - 4 = 6
e) a raiz quadrada da ordem / posição 4 é 2;
√4 = 2
f) 2 elevado ao cubo é 8
23 = 8
g) Terno Pitagórico Triangular Cúbico 6 - 8 - 10
h) quadrados dos termos;
62 = 36 (triangular quadrado)
82 = 64 (quadrado cúbico)
102 = 100
A partir do quadrado perfeito 4, também podemos formar o Terno Pitagórico Triangular Cúbico 6 - 8 - 10, vejamos:
a) ( 4 x 5 ) / 2 = 10
b) 10 - 4 = 6
d) ( 10 + 6 ) / √4 = 8
e) terno pitagórico 6 - 8 - 10
| quadrado | quadrado | raiz | |||
| consecutivos | triangular | de | cúbico | quadrada | |
| triangular | de | ||||
| (diferença) | D | ||||
| 2,828427 | |||||
| 8 | 9 | 36 | 1296 | 512 | 22,62742 |
| 9 | 10 | 45 | 2025 | 729 | 27 |
a) a soma dos quadrados de triangulares 9 e 36 é 45;
b) 45 é 90 número triangular / 9 é quadrado perfeito;
c) o produto dos consecutivos 9 e 10 dividido por 2 é 45;
( 9 x 10 ) / 2 = 45
d) 45 menos a sua ordem / posicão 9, o resultado é o triangular 36;
45 - 9 = 36
e) a raiz quadrada da ordem / posição 9 é 3;
√9 = 3
f) 3 elevado ao cubo é 27;
33 = 27
g) Terno Pitagórico Triangular Cúbico 27 - 36 - 45
h) quadrados dos termos;
272 = 729 (quadrado cúbico)
362 = 1296
452 = 100
A partir do quadrado perfeito 9, também podemos formar o Terno Pitagórico Triangular Cúbico 27 - 36 - 45, vejamos:
a) ( 9 x 10 ) / 2 = 45
b) 45 - 9 = 36
d) ( 45 + 36 ) / √9 = 27
e) terno pitagórico 27 - 36 - 45
| quadrado | quadrado | raiz | |||
| consecutivos | triangular | de | cúbico | quadrada | |
| triangular | de | ||||
| (diferença) | D | ||||
| 15 | 16 | 120 | 14400 | 3375 | 58,09475 |
| 16 | 17 | 136 | 18496 | 4096 | 64 |
a) a soma dos quadrados de triangulares 36 e 100 é 136;
b) 136 é 160 número triangular / 16 é quadrado perfeito;
c) o produto dos consecutivos 16 e 17 dividido por 2 é 136;
( 16 x 17 ) / 2 = 136
d) 136 menos a sua ordem / posicão 16, o resultado é o triangular 120;
136 - 16 = 120
e) a raiz quadrada da ordem / posição 16 é 4;
√16 = 4
f) 4 elevado ao cubo é 64;
43 = 64
g) Terno Pitagórico Triangular Cúbico 64 - 120 - 136
h) quadrados dos termos;
642 = 4096 (quadrado cúbico)
1202 = 14400
1362 = 18496
A partir do quadrado perfeito 16, também podemos formar o Terno Pitagórico Triangular Cúbico 64 - 120 - 136, vejamos:
a) ( 16 x 17 ) / 2 = 136
b) 136 - 16 = 120
d) ( 136 + 120 ) / √16 = 64
e) terno pitagórico 64 - 120 - 136
Autor: Ricardo Silva - julho/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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