O produto de 2 números quadrados perfeitos tem como resultado um outro número quadrado perfeito.
Os produtos de números quadrados perfeitos por números quadrados perfeitos, sendo esses quadrados consecutivos ou não, têm como resultados também números quadrados perfeitos.
Número triangular quadrado perfeito é um número que é ao mesmo tempo um número triangular e também número quadrado perfeito.
O presente estudo demonstra que determinados produtos de 2 números quadrados perfeitos não consecutivos têm como resultados também números triangulares quadrados perfeitos.
O estudo demonstra que esses 2 números quadrados perfeitos não consecutivos aparesentam também conexões numéricas com o Algortimo Escada de Theon.
Theon de Smyrna é autor de um dispositivo numérico, isto é, um algoritmo que leva o seu nome Escada de Theon com o qual é possível de se extrair a raiz quadrada de 2 (√2), como também, ser adaptado para se extrair a raiz de quaisquer números naturais.
Para mais informações, veja abaixo, Matérias Relacionadas.
Dividindo-se os termos correspondentes b / a, o quociente tende a raiz quadrada de 2:
√2 = 1,4142
| Tabela 1 | |||
| Escada de Theon | |||
| sequência | sequência | ||
| ordem / | a | b | razão |
| posição | b / a | ||
| 1 | 1 | 1 | |
| 2 | 2 | 3 | 3 / 2 = 1,5 |
| 3 | 5 | 7 | 7 / 5 =1,4 |
| 4 | 12 | 17 | 17 / 12 = 1,41666... |
| 5 | 29 | 41 | 41 / 29 = 1,41379... |
| 6 | 70 | 99 | 99 / 70 = 1,41428... |
| 7 | 169 | 239 | 239 / 169 = 1,41420... |
Fonte: adaptado de Tópicos de História da Matemática[1]
Estudos divulgados aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos, bem como, no livro digital Escada de Theon e Sequências Numéricas demonstram que com o Algoritmo Escada de Theon são possíveis de se gerarem entre outras, sequências numéricas:
números triangulares;
números triangulares retangulares;
números triangulares quadrados;
ternos pitagóricos raros.
A tabela a seguir se encontra publicada no estudo:
011-estudos-573-numeros-triangulares-gerados-de-dois-numeros-nao-consecutivos.
Ela apresenta produtos de 2 números não consecutivos cujos resultados são números triangulares.
Um outro fato interessante é que entre 2 números não consecutivos se encontram também duplas formadas por números quadrados perfeitos não consecutivos (células laranjas) com os quais podem ser gerados números triangulares quadrados perfeitos.
Exemplos:
Os números 6 e 1225 são triangulares quadrados perfeitos.
| Tabela 2 | ||||
| Números Triangulares | ||||
| como produto de | ||||
| 2 números não consecutivos | ||||
| ordem / | primeiro | segundo | tipos de | número |
| posição | fator | fator | números | triangular |
| 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 2 | 1 | 3 | 3 | |
| 3 | 2 | 3 | primos | 6 |
| 4 | 2 | 5 | primos | 10 |
| 5 | 3 | 5 | primos | 15 |
| 6 | 3 | 7 | primos | 21 |
| 7 | 4 | 7 | 28 | |
| 8 | 4 | 9 | quadrados | 36 |
| 9 | 5 | 9 | 45 | |
| 10 | 5 | 11 | primos | 55 |
| 11 | 6 | 11 | 66 | |
| 12 | 6 | 13 | 78 | |
| 13 | 7 | 13 | primos | 91 |
| 14 | 7 | 15 | 105 | |
| 15 | 8 | 15 | 120 | |
| 16 | 8 | 17 | 136 | |
| 17 | 9 | 17 | 153 | |
| 18 | 9 | 19 | 171 | |
| 19 | 10 | 19 | 190 | |
| 20 | 10 | 21 | 210 | |
| 21 | 11 | 21 | 231 | |
| 22 | 11 | 23 | primos | 253 |
| 23 | 12 | 23 | 276 | |
| 24 | 12 | 25 | 300 | |
| 25 | 13 | 25 | 325 | |
| 26 | 13 | 27 | 351 | |
| 27 | 14 | 27 | 378 | |
| 28 | 14 | 29 | 406 | |
| 29 | 15 | 29 | 435 | |
| 30 | 15 | 31 | 465 | |
| 31 | 16 | 31 | 496 | |
| 32 | 16 | 33 | 528 | |
| 33 | 17 | 33 | 561 | |
| 34 | 17 | 35 | 595 | |
| 35 | 18 | 35 | 630 | |
| 36 | 18 | 37 | 666 | |
| 37 | 19 | 37 | primos | 703 |
| 38 | 19 | 39 | 741 | |
| 39 | 20 | 39 | 780 | |
| 40 | 20 | 41 | 820 | |
| 41 | 21 | 41 | 861 | |
| 42 | 21 | 43 | 903 | |
| 43 | 22 | 43 | 946 | |
| 44 | 22 | 45 | 990 | |
| 45 | 23 | 45 | 1035 | |
| 46 | 23 | 47 | primos | 1081 |
| 47 | 24 | 47 | 1128 | |
| 48 | 24 | 49 | 1176 | |
| 49 | 25 | 49 | quadrados | 1225 |
| 50 | 25 | 51 | 1275 | |
| 51 | 26 | 51 | 1326 | |
| 52 | 26 | 53 | 1378 | |
| 53 | 27 | 53 | 1431 | |
| 54 | 27 | 55 | 1485 | |
| 55 | 28 | 55 | 1540 | |
| 56 | 28 | 57 | 1596 | |
| 57 | 29 | 57 | 1653 | |
| 58 | 29 | 59 | primos | 1711 |
| 59 | 30 | 59 | 1770 | |
| 60 | 30 | 61 | 1830 | |
| 61 | 31 | 61 | primos | 1891 |
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A Tabela 3 a seguir foi construída das seguintes formas:
a) coluna A é a ordem / posição e também a raiz quadrada da coluna B;
b) coluna B é formada por números quadrados perfeitos;
c) coluna C é formada pelo dobro de um número quadrado somado 1 unidade;
d) coluna D é o produto da coluna B com C;
e) coluna E é raiz quadrada da coluna D, e apresentam as seguintes propriedades numéricas:
| Tabela 3 | ||||
| Produto de 2 números | ||||
| quadrados perfeitos não consecutivos | ||||
| A | B | C | D | E |
| ordem / | quadrado | quadrado | produto | raiz |
| posição | e | (triangular | quadrada | |
| não | quadrado | |||
| raiz | quadrado | perfeito) | ||
| 1 | 1 | |||
| 2 | 4 | 9 | 36 | 6 |
| 3 | 9 | 19 | 171 | 13,07669683 |
| 4 | 16 | 33 | 528 | 22,97825059 |
| 5 | 25 | 51 | 1275 | 35,70714214 |
| 6 | 36 | 73 | 2628 | 51,26402247 |
| 7 | 49 | 99 | 4851 | 69,6491206 |
| 8 | 64 | 129 | 8256 | 90,86253353 |
| 9 | 81 | 163 | 13203 | 114,904308 |
| 10 | 100 | 201 | 20100 | 141,7744688 |
| 11 | 121 | 243 | 29403 | 171,4730299 |
| 12 | 144 | 289 | 41616 | 204 |
| 13 | 169 | 339 | 57291 | 239,3553843 |
| 14 | 196 | 393 | 77028 | 277,5391864 |
| 15 | 225 | 451 | 101475 | 318,5514087 |
| 16 | 256 | 513 | 131328 | 362,3920529 |
| 17 | 289 | 579 | 167331 | 409,0611201 |
| 18 | 324 | 649 | 210276 | 458,5586113 |
| 19 | 361 | 723 | 261003 | 510,8845271 |
| 20 | 400 | 801 | 320400 | 566,0388679 |
| 21 | 441 | 883 | 389403 | 624,0216342 |
| 22 | 484 | 969 | 468996 | 684,8328263 |
| 23 | 529 | 1059 | 560211 | 748,4724444 |
| 24 | 576 | 1153 | 664128 | 814,9404886 |
| 25 | 625 | 1251 | 781875 | 884,2369592 |
| 26 | 676 | 1353 | 914628 | 956,3618562 |
| 27 | 729 | 1459 | 1063611 | 1031,31518 |
| 28 | 784 | 1569 | 1230096 | 1109,09693 |
| 29 | 841 | 1683 | 1415403 | 1189,707107 |
| 30 | 900 | 1801 | 1620900 | 1273,14571 |
| 31 | 961 | 1923 | 1848003 | 1359,412741 |
| 32 | 1024 | 2049 | 2098176 | 1448,508198 |
| 33 | 1089 | 2179 | 2372931 | 1540,432082 |
| 34 | 1156 | 2313 | 2673828 | 1635,184393 |
| 35 | 1225 | 2451 | 3002475 | 1732,765131 |
| 36 | 1296 | 2593 | 3360528 | 1833,174296 |
| 37 | 1369 | 2739 | 3749691 | 1936,411888 |
| 38 | 1444 | 2889 | 4171716 | 2042,477907 |
| 39 | 1521 | 3043 | 4628403 | 2151,372353 |
| 40 | 1600 | 3201 | 5121600 | 2263,095226 |
| 41 | 1681 | 3363 | 5653203 | 2377,646525 |
| 42 | 1764 | 3529 | 6225156 | 2495,026252 |
| 43 | 1849 | 3699 | 6839451 | 2615,234406 |
| 44 | 1936 | 3873 | 7498128 | 2738,270987 |
| 45 | 2025 | 4051 | 8203275 | 2864,135995 |
| 46 | 2116 | 4233 | 8957028 | 2992,82943 |
| 47 | 2209 | 4419 | 9761571 | 3124,351293 |
| 48 | 2304 | 4609 | 10619136 | 3258,701582 |
| 49 | 2401 | 4803 | 11532003 | 3395,880298 |
| 50 | 2500 | 5001 | 12502500 | 3535,887442 |
| 51 | 2601 | 5203 | 13533003 | 3678,723012 |
| 52 | 2704 | 5409 | 14625936 | 3824,38701 |
| 53 | 2809 | 5619 | 15783771 | 3972,879434 |
| 54 | 2916 | 5833 | 17009028 | 4124,200286 |
| 55 | 3025 | 6051 | 18304275 | 4278,349565 |
| 56 | 3136 | 6273 | 19672128 | 4435,327271 |
| 57 | 3249 | 6499 | 21115251 | 4595,133404 |
| 58 | 3364 | 6729 | 22636356 | 4757,767964 |
| 59 | 3481 | 6963 | 24238203 | 4923,230951 |
| 60 | 3600 | 7201 | 25923600 | 5091,522366 |
| 61 | 3721 | 7443 | 27695403 | 5262,642207 |
| 62 | 3844 | 7689 | 29556516 | 5436,590476 |
| 63 | 3969 | 7939 | 31509891 | 5613,367171 |
| 64 | 4096 | 8193 | 33558528 | 5792,972294 |
| 65 | 4225 | 8451 | 35705475 | 5975,405844 |
| 66 | 4356 | 8713 | 37953828 | 6160,667821 |
| 67 | 4489 | 8979 | 40306731 | 6348,758225 |
| 68 | 4624 | 9249 | 42767376 | 6539,677056 |
| 69 | 4761 | 9523 | 45339003 | 6733,424315 |
| 70 | 4900 | 9801 | 48024900 | 6930 |
| 71 | 5041 | 10083 | 50828403 | 7129,404113 |
| 72 | 5184 | 10369 | 53752896 | 7331,636652 |
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O número 1 por convenção é número triangular, quadrado, cúbico, de quarta potências, etc.
36 é o segundo número triangular quadrado perfeito e que também é gerado de 2 números quadrados perfeitos consecutivos.
Observação: os números quadrados 4 e 9, diferentes das demais duplas neste estudo, são quadrados consecutivos.
9 é 1 unidade maior do dobro de 4 que é 8.
| A | B | C | D | E |
| ordem / | quadrado | quadrado | produto | raiz |
| posição | (triangular | quadrada | ||
| quadrado | ||||
| raiz | perfeito) | |||
| 1 | 1 | |||
| 2 | 4 | 9 | 36 | 6 |
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a) a ordem / posição e raiz 2 é um termo do Algoritmo Escada de Theon;
b) a raiz quadrada de 4 que é 2 é um termo do Algoritmo Escada de Theon.
c) a raiz quadrada de 9 que é 3 é um termo do Algoritmo Escada de Theon.
d) a multiplicação de 2 por 3 tem como produto 6;
e) 6 é raiz quadrada do triangular quadrado perfeito 36;
f) 2 e 3 são termos correspondentes da Escada de Theon de posições pares.
41616 é o quarto número triangular quadrado perfeito e que também é gerado de 2 números quadrados perfeitos não consecutivos.
289 é 1 unidade maior do dobro de 144 que é 288.
| A | B | C | D | E |
| ordem / | quadrado | quadrado | produto | raiz |
| posição | (triangular | quadrada | ||
| quadrado | ||||
| raiz | perfeito) | |||
| 12 | 144 | 289 | 41616 | 204 |
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a) a ordem / posição e raiz 12 é um termo do Algoritmo Escada de Theon;
b) a raiz quadrada de 144 que é 12 é um termo do Algoritmo Escada de Theon.
c) a raiz quadrada de 289 que é 17 é um termo do Algoritmo Escada de Theon.
d) a multiplicação de 12 por 17 tem como produto 204;
e) 204 é raiz quadrada do triangular quadrado perfeito 41616;
f) 12 e 17 são termos correspondentes da Escada de Theon de posições pares.
48024900 é o sexto número triangular quadrado perfeito e que também é gerado de 2 números quadrados perfeitos não consecutivos.
9801 é 1 unidade maior do dobro de 4900 que é 9800.
| A | B | C | D | E |
| ordem / | quadrado | quadrado | produto | raiz |
| posição | (triangular | quadrada | ||
| quadrado | ||||
| raiz | perfeito) | |||
| 70 | 4900 | 9801 | 48024900 | 6930 |
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a) a ordem / posição e raiz 70 é um termo do Algoritmo Escada de Theon;
b) a raiz quadrada de 4900 que é 70 é um termo do Algoritmo Escada de Theon.
c) a raiz quadrada de 9801 que é 99 é um termo do Algoritmo Escada de Theon.
d) a multiplicação de 70 por 99 tem como produto 6930;
e) 6930 é raiz quadrada do triangular quadrado perfeito 48024900;
f) 70 e 99 são termos correspondentes da Escada de Theon de posições pares.
A Tabela 4 a seguir foi construída das seguintes formas:
a) coluna A é a ordem e também a raiz quadrada da coluna B;
b) coluna B é formada por números quadrados perfeitos;
c) coluna C é formada pelo dobro de um número quadrado subtraída 1 unidade;
d) coluna D é o produto da coluna B com C;
e) coluna E é raiz quadrada da coluna D, e apresentam as seguintes propriedades numéricas:
| Tabela 4 | ||||
| Produto de 2 números | ||||
| quadrados perfeitos não consecutivos | ||||
| A | B | C | D | E |
| ordem / | quadrado | quadrado | produto | raiz |
| posição | (triangular | quadrada | ||
| quadrado | ||||
| raiz | perfeito) | |||
| 1 | 1 | |||
| 2 | 4 | 7 | 28 | 5,291502622 |
| 3 | 9 | 17 | 153 | 12,36931688 |
| 4 | 16 | 31 | 496 | 22,27105745 |
| 5 | 25 | 49 | 1225 | 35 |
| 6 | 36 | 71 | 2556 | 50,55689864 |
| 7 | 49 | 97 | 4753 | 68,94200461 |
| 8 | 64 | 127 | 8128 | 90,15542136 |
| 9 | 81 | 161 | 13041 | 114,1971979 |
| 10 | 100 | 199 | 19900 | 141,0673598 |
| 11 | 121 | 241 | 29161 | 170,7659217 |
| 12 | 144 | 287 | 41328 | 203,2928922 |
| 13 | 169 | 337 | 56953 | 238,6482768 |
| 14 | 196 | 391 | 76636 | 276,8320791 |
| 15 | 225 | 449 | 101025 | 317,8443015 |
| 16 | 256 | 511 | 130816 | 361,6849458 |
| 17 | 289 | 577 | 166753 | 408,3540131 |
| 18 | 324 | 647 | 209628 | 457,8515043 |
| 19 | 361 | 721 | 260281 | 510,1774201 |
| 20 | 400 | 799 | 319600 | 565,331761 |
| 21 | 441 | 881 | 388521 | 623,3145273 |
| 22 | 484 | 967 | 468028 | 684,1257194 |
| 23 | 529 | 1057 | 559153 | 747,7653375 |
| 24 | 576 | 1151 | 662976 | 814,2333818 |
| 25 | 625 | 1249 | 780625 | 883,5298524 |
| 26 | 676 | 1351 | 913276 | 955,6547494 |
| 27 | 729 | 1457 | 1062153 | 1030,608073 |
| 28 | 784 | 1567 | 1228528 | 1108,389823 |
| 29 | 841 | 1681 | 1413721 | 1189 |
| 30 | 900 | 1799 | 1619100 | 1272,438604 |
| 31 | 961 | 1921 | 1846081 | 1358,705634 |
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1225 é o terceiro número triangular quadrado perfeito e que também é gerado de 2 números quadrados perfeitos não consecutivos.
49 é 1 unidade menor do dobro de 25 que 50.
| A | B | C | D | E |
| ordem / | quadrado | quadrado | produto | raiz |
| posição | (triangular | quadrada | ||
| quadrado | ||||
| raiz | perfeito) | |||
| 5 | 25 | 49 | 1225 | 35 |
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a) a ordem / posição e raiz 5 é um termo do Algoritmo Escada de Theon;
b) a raiz quadrada de 25 que é 5 é um termo do Algoritmo Escada de Theon.
c) a raiz quadrada de 49 que é 7 é um termo do Algoritmo Escada de Theon.
d) a multiplicação de 5 por 7 tem como produto 35;
e) 35 é raiz quadrada do triangular quadrado perfeito 1225;
f) 5 e 7 são termos correspondentes da Escada de Theon de posições ímpares.
1413721 é o quinto número triangular quadrado perfeito e que também é gerado de 2 números quadrados perfeitos não consecutivos.
1681 é 1 unidade menor do dobro de 841 que 1682.
| A | B | C | D | E |
| ordem / | quadrado | quadrado | produto | raiz |
| posição | (triangular | quadrada | ||
| quadrado | ||||
| raiz | perfeito) | |||
| 29 | 841 | 1681 | 1413721 | 1189 |
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a) a ordem / posição e raiz 29 é um termo do Algoritmo Escada de Theon;
b) a raiz quadrada de 841 que é 29 é um termo do Algoritmo Escada de Theon.
c) a raiz quadrada de 1681 que é 41 é um termo do Algoritmo Escada de Theon.
d) a multiplicação de 29 por 41 tem como produto 1189;
e) 1189 é raiz quadrada do triangular quadrado perfeito 1413721;
f) 29 e 41 são termos correspondentes da Escada de Theon de posições ímpares.
1631432881 é o sétimo número triangular quadrado perfeito e que também é gerado de 2 números quadrados perfeitos não consecutivos.
57121 é 1 unidade menor do dobro de 28561 que 57122.
| A | B | C | D | E |
| ordem / | quadrado | quadrado | produto | raiz |
| posição | (triangular | quadrada | ||
| quadrado | ||||
| raiz | perfeito) | |||
| 169 | 28561 | 57121 | 1631432881 | 40391 |
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a) a ordem / posição e raiz 169 é um termo do Algoritmo Escada de Theon;
b) a raiz quadrada de 28561 que é 169 é um termo do Algoritmo Escada de Theon.
c) a raiz quadrada de 57121 que é 239 é um termo do Algoritmo Escada de Theon.
d) a multiplicação de 169 por 239 tem como produto 40391;
e) 40391 é raiz quadrada do triangular quadrado perfeito 1631432881;
f) 169 e 239 são termos correspondentes da Escada de Theon de posições ímpares.
Determinados números quadrados perfeitos, bem como, seus dobros menos ou mais 1 unidade e os produtos desses têm conexões diretas com termos do Algoritmo Escada de Theon.
Um termo do Algoritmo Escada de Theon ao quadrado multiplicado por este termo ao quadrado subtraído ou somado 1 unidade tem como resultado um número triangular quadrado perfeito sendo a sua raiz quadrada um número inteiro.
Se a raiz quadrada do produto de um número quadrado com dobro desse quadrado subtraído ou somado 1 unidade gerar um número inteiro, então essa raiz é a raiz de número triangular quadrado perfeito.
Fórmula 1
| √n2 ( 2n2 - 1) |
Fórmula 2
| √n2 ( 2n2 + 1) |
Autor: Ricardo Silva - julho/2025
[1] PITOMBEIRA, João Bosco, ROQUE, Tatiana. Tópicos de História da Matemática. Edição Digital
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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