Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Ternos Pitagóricos Triangulares - 572

Recentemente recebi e-mail do Sr. Shyam Sunder Gupta ( Former Principal Chief Engineer, North Western Railway, Jaipur, India-302017 ) anunciando atualizações em seu WebSite:

http://www.shyamsundergupta.com

em cuja seção:

http://www.shyamsundergupta.com/doyouknow.htm

se encontra a seguinte curiosidade matemática:

"3 July, 2025: The only known example of a Pythagorean triangle (a, b, c) where a, b, and c are triangular numbers is (8778, 10296, 13530)."

"3 de julho de 2025: O único exemplo conhecido de um triângulo pitagórico (a, b, c) onde a, b e c são números triangulares é (8778, 10296, 13530)."

Confesso que esta curiosidade chamou a minha atenção, pois até então, não tinha conhecimento de triângulo pitagórico formado por terno de números triangulares.

Realizando pesquisas sobre o tema, encontrei artigo publicado no Periódico The Fibonacci Quarterly em que os autores fazem a seguinte citação:

"In [4] W. Sierpinski proves that there are an infinite number of Pythagorean triples in which two members are triangular and the hypotenuse is an integer. [A number Tn is triangular if Tn is of the form Tn = n(n + 1)/2 for some integer n. A Pythagorean triple is a set of three integers x, y, z such that x² + y² - z².] Further, Sierpinski gives an example due to Zarankiewicz, T₁₃₂ = 8778, T₁₄₃ = 10296, and T₁₆₄ = 13530, in which every member of the Pythagorean triple is triangular. He states that this is the only known nontrivial example of this phenomenon, and that it is not known whether the number of such triples is finite or infinite. This paper will give some partial results related to the above problem. In particular, we will give necessary and sufficient conditions for the existence of Pythagorean triples in which all members are triangular. We will extend these conditions to discuss the problem of triangulars being represented as sums of powers."

Fonte: https://www.fq.math.ca/Scanned/17-2/ballew.pdf

Em [4], W. Sierpinski prova que existe um número infinito de triplas pitagóricas em que dois membros são triangulares e a hipotenusa é um inteiro. [Um número Tn é triangular se Tn for da forma Tn = n(n + 1)/2 para algum inteiro n. Uma tripla pitagórica é um conjunto de três inteiros x, y, z tais que x² + y² - z².] Além disso, Sierpinski dá um exemplo devido a Zarankiewicz, T₁₃₂ = 8778, T₁₄₃ = 10296 e T₁₆₄ = 13530, em que cada membro da tripla pitagórica é triangular. Ele afirma que este é o único exemplo não trivial conhecido desse fenômeno e que não se sabe se o número de tais triplas é finito ou infinito. Este artigo apresentará alguns resultados parciais relacionados ao problema acima. Em particular, forneceremos condições necessárias e suficientes para a existência de triplas pitagóricas em que todos membros são triangulares. Estenderemos essas condições para discutir o problema de
triângulos sendo representados como somas de potências."

Ternos Pitagóricos e as Fórmulas de Euclides

Para mais informações, veja estudo:

011-estudos-177-ternos-pitagoricos-e-formula-de-euclides

e também Matérias Relacionadas abaixo.

Observação importante: conforme estudos publicados no livro digital Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas, as Fórmulas de Euclides não geram ternos pitagóricos derivados ímpares.

As Fórmulas de Euclides geram ternos pitagóricos derivados da seguinte forma: o dobro, do dobro, do dobro, do dobro e assim sucessivamente de um terno pitagórico primitivo.

Ternos pitagóricos primitivos e derivados a partir de número ímpar

A partir de um número ímpar igual ou maior que 3 podem ser gerados infinitos ternos pitagóricos primitivos, bem como, a partir deles, ternos pitagóricos derivados.

Exemplo:

3² = 9

( 9 - 1 ) / 2 = 4

( 9 + 1 ) /2 = 5

Terno Pitagórico Primitivo 3 - 4 - 5

O dobro do dobro, do dobro, do dobro e assim sucessivamente, geram-se ternos pitagóricos derivados pares do Terno Pitagórico Primitivo 3-4-5.

3 - 4 - 5 (terno primitivo)

6 - 8 - 10 (terno derivado)

12 - 16 - 20 (terno derivado)

....

Terno Pitagórico Derivado Triangular 8778 - 10296 - 13530

Decompondo cada termo do Terno Pitagórico Derivado Triangular 8778 - 10296 - 13530 em fatores primos, geramos o MDC (Máximo Divisor Comum).

MDC: ( 8778, 10296, 13530 ) = 2 x 3 x 11 = 66

Dividindo-se cada termo do terno pitagórico derivado triangular pelo MDC 66, obtem-se o seu Terno Pitagórico Primitivo: 133 - 156 - 205.

8778 : 66 = 133

10296 : 66 = 156

13530 : 66 = 205

Interessante observar que o MDC 66 é um número triangular.

Tabela de Ternos Pitagóricos Primitivos e Derivados

Analisando detalhes de uma parte da Tabela de Ternos Pitagóricos Primitivos e Derivados construída a partir das Fórmulas de Euclides e publicada no livro digital Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas, verifica-se que o Terno Pitagórico Primitivo 133 - 156 - 205 é de ordem / posição 72.

72 é número retangular e sua metade é o segundo número triangular quadrado perfeito 36.

O Terno Pitagórico Primitivo 133 - 156 - 205 se encontra no meio das ordens / posições 66 a 78.

66 é um número triangular e é a ordem / posição do Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular 23 - 264 - 265.

78 é um número triangular e é a ordem / posição do Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular 25 - 312 - 313.

O produto de cada termo do Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Não Triangular 133 - 156 - 205 por 66 gera o Terno Pitagórico Derivado Triangular 8778 - 10296 - 13530.

A soma dos triangulares consecutivos 66 e 78 é o quadrado perfeito 144.

72 é a média aritmética de 66 com 78.

144 é um quadrado perfeito e o dobro de 72.

A metade do quadrado perfeito 144 é o retangular 72.

A metade do retangular 72 é o triangular quadrado perfeito 36.

A raiz quadrada do triangular quadrado perfeito 36 é 6.

6 é um número triangular e perfeito.

Poderão ser estas análises serem indícios de métodos de se encontrarem outros ternos pitagóricos derivados triangulares?

Poderá haver outros quadrados perfeitos cujas metades são números retangulares?

Número Retangular 2450 / Triangular Quadrado Perfeito 1225

2450 é o segundo número retangular cujo dobro é um número quadrado perfeito.

a) o produto dos números consecutivos 49 e 50 é o retangular 2450;

49 x 50 = 2450

b) o dobro do número retangular 2450 é o número quadrado perfeito 4900;

2 x 2450 = 4900

c) a metade do número retangular 2450 é o terceiro número triangular quadrado perfeito 1225;

d) a raiz quadrada de 1225 é 35;

e) a raiz quadrada de 4900 é 70;

f) ( 69 x 70 ) / 2 = 4830 / 2 = 2415;

g) ( 70 x 71 ) / 2 = 4970 / 2 = 2485;

h) 2450 é a média aritmética dos números triangulares consecutivos 2415 e 2485;

( 2415 + 2485 ) / 2 = 4900 / 2 = 2450

i) 2450 é a metade do quadrado perfeito 4900 cuja raiz quadrada é 70;

j) 2450 é o dobro do número triangular quadrado perfeito 1225 cuja é raiz quadrada é 35;

k) aplicando as Fórmulas de Euclides gerou-se o Terno Pitagórico Derivado 3816 - 4970 - 6266 cujos termos não são números triangulares.

Os termos do Terno Pitagórico Derivado 3816 - 4970 - 6266 multiplicados pelo triangular 2415 gerou o Terno Pitagorico Derivado 9215640 - 12002550 - 15132390 cujo número 12002550 é o 4899 número triangular.

Os termos do Terno Pitagórico Derivado 3816 - 4970 - 6266 multiplicados pelo triangular 2485 gerou o Terno Pitagorico Derivado 8786960 - 12350450 - 15571010 cujos termos não são números triangulares.

Número Retangular 83232 / Triangular Quadrado Perfeito 41616

83232 é o terceiro número retangular cujo dobro é um quadrado perfeito.

a) o produto dos números consecutivos 288 por 289 é o retangular 83232;

288 x 289 = 83232

b) o dobro do número retangular 83232 é o número quadrado perfeito 166464;

2 x 83232 = 166464

c) a metade do número retangular 83232 é o quarto número triangular quadrado perfeito 41616;

83232 : 2 = 41616

d) a raiz quadrada de 41616 é 204;

e) a raiz quadrada de 166464 é 408;

f) ( 407 x 408 ) / 2 = 166056 / 2 = 83028;

g) ( 408 x 409 ) / 2 = 166872 / 2 = 83436;

h) 83232 é a média aritmética dos números triangulares 83028 e 83436;

( 83028 + 83436 ) / 2 = 166464 / 2 = 83232

i) 83232 é a metade do quadrado perfeito 166464;

j) 83232 é o dobro do número triangular quadrado perfeito 41616 cuja raiz quadrada é 204;

k) aplicando as Fórmulas de Euclides gerou-se o Terno Pitagórico Derivado 125665 - 166872 - 208897 cujos termos não são triangulares;

Os termos Terno Pitagórico Derivado 125665 - 166872 - 208897 multiplicados pelo triangular 83028 gerou o Terno Pitagórico Derivado 10433713620 - 13855048416 - 17344300116 cujo termo 13855048416 é um número triangular.

Os termos Terno Pitagórico Derivado 1125665 - 166872 - 208897 multiplicados pelo triangular 83436 gerou o Terno Pitagórico Derivado 10484984940 - 13923132192 - 17429530092 cujos termos não são números triangulares.

Número Triangular Quadrado Perfeito 1.413.721

1.413.721 é o quinto número triangular quadrado perfeito e a sua raiz quadrada é 1.189.

O dobro da raiz quadrada 1189 é 2378.

O quadrado perfeito de 2378 é 5654884.

A metade do quadrado perfeito 5654884 é o retangular 2827442.

Produto de números consecutivos = retangulares

2377 x 2378 = 5652506

2378 x 2379 = 5657262

Retangulares divididos por 2 = triangulares

5652506 : 2 = 2826253

5657262 : 2 = 2828631

Média aritmética dos triangulares

( 2826253 + 2828631 ) / 2 = 5654884 / 2 = 2827442

Aplicando as Fórmulas de Euclides gerou-se o Terno Pitagórico Derivado 4245920 - 5657262 - 7073362 cujos termos não são números triangulares.

Os termos Terno Pitagórico Derivado 4245920 - 5657262 - 7073362 multiplicados pelo triangular 2826253 gerou o Terno Pitagórico Derivado 12000044137760 - 15988853699286 - 19991110572586 cujos termos não são números triangulares.

4245920 x 2826253 = 12000044137760

5657262 x 2826253 = 15988853699286

7073362 x 2826253 = 19991110572586

Os termos Terno Pitagórico Derivado 4245920 - 5657262 - 7073362 multiplicados pelo triangular 2828631 gerou o Terno Pitagórico Derivado 12010140935520 - 16002306668322 - 20007931027422 cujos termos não são números triangulares.

4245920 x 2828631 = 12010140935520

5657262 x 2828631 = 16002306668322

7073362 x 2828631 = 20007931027422

Conclusão

Os estudos demonstram conexões entre números triangulares quadrados perfeitos com Ternos Pitagóricos Triangulares.

Demonstram também interessantes propriedades numéricas tais como:

a) determinados números quadrados perfeitos são o dobro de um número retangular que por sua vez é o dobro de um número triangular quadrado perfeito;

b) a raiz quadrada de um número triangular quadrado perfeito e o seu dobro somado 1 unidade formam termos "m" e "n" das Fórmulas de Euclides com os quais se geram ternos pitagóricos;

c) a metade de um determinado número quadrado perfeito que é o dobro de um número retangular que por sua vez é o dobro de um número triangular quadrado perfeito é a ordem / posição do terno pitagórico gerado pelas Fórmulas de Euclides.

Observação: consultas foram realizadas no WebSite:

https://www.wolframalpha.com/input?i=13855048416

para se verificar propriedades de números.

Autor: Ricardo Silva - julho/2025

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

http://www.shyamsundergupta.com/ doyouknow.htm

https://www.fq.math.ca/Scanned/17-2/ballew.pdf

https://www.wolframalpha.com/

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