Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Somas de Números Cúbicos e Sequências Numéricas - 576

Número Cúbico Perfeito é um número que produto de um número natural por si mesmo 3 vezes.

Número cúbico, bem como, dimensão cúbica estão relacionados a objetos tridimensionais, isto é, objetos que possuem: comprimento, altura e profundidade.

Multiplicando-se 3 dimensões: comprimento, altura e profundidade, obtem-se o volume de tal objeto.

O presente estudo demonstram regularidades numéricas entre números cúbicos perfeitos e sequências numéricas famosas, tais como: números triangulares, números quadrados perfeitos, números perfeitos, etc.

Números cúbicos perfeitos

Número cúbico perfeito é obtido pela multiplicação de um número por ele mesmo três vezes.

Exemplos:

a) 1 x 1 x 1 = 1

b) 2 x 2 x 2 = 8

c) 3 x 3 x 3 = 27

d) 4 x 4 x 4 = 64

e) 5 x 5 x 5 = 125

Podemos também utilizar a potênciação para indicar uma multiplicação de fatores iguais.

Exemplos:

a) 1³ = 1 x 1 x 1 = 1

b) 2³ = 2 x 2 x 2 = 8

c) 3³ = 3 x 3 x 3 = 27

d) 4³ = 4 x 4 x 4 = 64

e) 5³ = 5 x 5 x 5 = 125

Números Triangulares

Números triangulares, também denominados de números figurados ou geométricos, são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas de triângulos.

Há vários métodos de gerarem números triangulares, entre eles, por meio:

1) da soma de números naturais consecutivos a partir do número 1;

Exemplos:

a) 1 + 2 = 3

b) 1 + 2 + 3 = 6

c) 1 + 2 + 3 + 4 =10

d) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

2) da Fórmula do produto de 2 números consecutivos divido por 2.

Números quadrados perfeitos de números triangulares

A diferença entre dois números quadrados perfeitos sucessores e antecessores originados de números triangulares tem como resultado número cúbico perfeito.

Soma de Números Cúbicos Consecutivos

A soma de números cúbicos consecutivos têm como resultados números quadrados perfeitos cujas raízes quadradas são números triangulares.

Exemplos:

a) 1

b) 1 + 8 = 9

c) 1 + 8 + 27 = 36

d) 1 + 8 + 27 + 64 = 100

e) 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225

Números cúbicos e o quadrado da soma de números consecutivos

A estrutura da Tabela 2 acima podem ser comprovadas com expressões numéricas de que o quadrado da soma de números consecutivos é igual a soma dos cubos de suas parcelas.

Interessante observar que no primeiro membro da expressão têm-se soma de números consecutivos que elevadas ao quadrado têm o mesmo resultado a soma dos mesmos números consecutivos ao cubo no segundo membro.

Os resultados são números quadrados perfeitos de números triangulares.

Exemplo a)

( 1 + 2 )² = 1³ + 2³

3² = 1 + 8

9 = 9

Exemplo b)

( 1 + 2 + 3 )² = 1³ + 2³ + 3³

6² = 1 + 8 + 27

36 = 36

Exemplo c)

( 1 + 2 + 3 + 4 )² = 1³ + 2³ + 3³ + 4³

10² = 1 + 8 + 27 + 64

100 = 100

Exemplo d)

( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 )² = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³

15² = 1 + 8 + 27 + 64 + 125

125 = 125

As expressões númericas acima podem ser sintetizadas com as seguinte fórmulas:

1)

2)

De modo prático, podemos obter somas de números cúbicos consecutivos por meio de quadrados de números retangulares divididos por 4.

Lembrando que o produto de 2 números consecutivos é um número retangular e a metade de um número retangular é um número triangular.

Exemplos:

a) 2² / 4 = 1

b) 6² / 4 = 9

c) 12² / 4 = 36

d) 20² / 4 = 100

e) 30² / 4 = 225

Números Cúbicos de ordens / posições ímpares

A Tabela 3 a seguir também se encontra publicada no estudo:

011-estudos-575-produto-de-um-quadrado-com-seu-dobro-menos-uma-unidade

A soma de números cúbicos consecutivos de ordens / posições ímpares têm como resultados números triangulares que também são de ordens / posições ímpares e, entre eles, números triangulares perfeitos e números triangulares quadrados perfeitos.

Interessante observar que as ordens / posições de números perfeitos são Números de Mersenne (números 1 unidade menor de uma potência de base 2, também denominados de números quase potências de base 2).

Observação: conforme pesquisas realizadas, esta propriedade relacionada a números cúbicos com números triangulares perfeitos e triangulares quadrados pode ser inédita, pois até o presente momento, não se tem conhecimento se já fora publicada.

Exemplos:

a) 1

b) 1 + 27 = 28 (número perfeito)

c) 1 + 27 + 125 = 153

d) 1 + 27 + 125 + 343 = 496 (número perfeito)

e) 1 + 27 + 125 + 343 + 729 = 1225 (número triangular quadrado perfeito)

Fórmula da soma de cubos consecutivos de posições ímpares

Observando a segunda soma de cubos consecutivos de ordem / posição ímpar (2 termos):

b) 1 + 27 = 28 (número perfeito)

O 28 é produto de 2 números consecutivos dividido por 2

( 7 x 8 ) / 2 = 56

como também é o produto de um quadrado por um número 1 unidade menor que o seu dobro.

4 x 7 = 28

de onde se deduz a fórmula da soma de números cúbicos consecutivos de ordens / posições ímpares:

O produto de um quadrado pelo seu dobro menos 1 unidade tem como resultado a soma de números cúbicos consecutivos de ordens / posições ímpares.

i) 2² . [ ( 2 . 2² ) - 1]

ii) 4 . [ ( 2 . 4 ) - 1 ]

iii) 4 . 7 = 28

Observando a terceira soma...(3 termos)

c) 1 + 27 + 125 = 153

i) 3² . [ ( 2 . 3² ) - 1]

ii) 9 . [ ( 2 . 9 ) - 1 ]

iii) 9 . 17 = 153

Observando a quarta soma...(4 termos)

d) 1 + 27 + 125 + 343 = 496 (número perfeito)

i) 4² . [ (2 . 4² ) - 1]

ii) 16 . [ ( 2 . 16 ) - 1 ]

iii) 16 . 31 = 496

Números Cúbicos de ordens / posições pares

A soma de números cúbicos consecutivos de ordens / posições pares têm como resultados dobros de números quadrados cujas raízes quadradas são números retangulares.

Exemplo a)

2³ + 4³ = 8 + 64 = 72

72 : 2 = 36 (quadrado de retangular)

√36 = 6 (número retangular)

Exemplo b)

2³ + 4³ + 6³= 8 + 64 + 216 = 288

288 : 2 = 144 (quadrado de retangular)

√144 = 12 (número retangular)

Fórmula da soma de cubos consecutivos de posições pares

Observando a segunda soma de cubos consecutivos de ordem / posição par (2 termos):

2³ + 4³ = 8 + 64 = 72

A soma 72 é o dobro do quadrado 36 do número retangular 6, de onde se deduz a fórmula da soma de números cúbicos consecutivos de ordens / posições pares.

O dobro do quadrado de um número retangular tem como resultado a soma de números cúbicos consecutivos de ordens / posições pares.

i) 2 . [ 2 . (2 + 1) ] ²

ii) 2 . [ 2 . 3 ] ²

iii) 2 . [ 6 ] ²

iv) 2 . 36

v) 72

Autor: Ricardo Silva - julho/2025

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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