Números Quadrados Cúbicos são números que ao mesmo tempo são números quadrados e cúbicos perfeitos.
O Visitante / Internauta deve estar pensando, como um um quadrado e um cubo ou cubo e um quadrado pode ser ao mesmo tempo os dois?
"Quem ousar brincar com números descobrirá propriedades fascinantes", assim disse: Luiz Barco, Professor da Universidade de São Paulo - USP.
Tanto os números quadrados perfeitos quanto os números cúbicos perfeitos possuem diversas propriedades matemáticas relacionadas a tantas outras sequências numéricas famosas, neste estudo, são demonstrados métodos de se gerarem números quadrados cúbicos.
A tabela a seguir apresenta os 64 primeiros números naturais e seus respectivos números quadrados perfeitos, nas colunas A e B.
Na coluna C estão as raízes cúbicas da coluna B.
Na coluna D estão as raízes quadradas da coluna C.
| Números Quadrados e | |||
| Números Cúbicos | |||
| A | B | C | D |
| naturais | quadrado | raiz | raiz |
| ordem / | perfeito | cúbica | quadrada |
| posição | |||
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 1,587401052 | |
| 3 | 9 | 2,080083823 | |
| 4 | 16 | 2,5198421 | |
| 5 | 25 | 2,924017738 | |
| 6 | 36 | 3,301927249 | |
| 7 | 49 | 3,65930571 | |
| 8 | 64 | 4 | 2 |
| 9 | 81 | 4,326748711 | |
| 10 | 100 | 4,641588834 | |
| 11 | 121 | 4,946087443 | |
| 12 | 144 | 5,241482788 | |
| 13 | 169 | 5,528774814 | |
| 14 | 196 | 5,808785734 | |
| 15 | 225 | 6,082201996 | |
| 16 | 256 | 6,349604208 | |
| 17 | 289 | 6,611489018 | |
| 18 | 324 | 6,868285455 | |
| 19 | 361 | 7,120367359 | |
| 20 | 400 | 7,368062997 | |
| 21 | 441 | 7,611662611 | |
| 22 | 484 | 7,851424411 | |
| 23 | 529 | 8,087579399 | |
| 24 | 576 | 8,320335292 | |
| 25 | 625 | 8,549879733 | |
| 26 | 676 | 8,776382955 | |
| 27 | 729 | 9 | 3 |
| 28 | 784 | 9,220872584 | |
| 29 | 841 | 9,439130677 | |
| 30 | 900 | 9,654893846 | |
| 31 | 961 | 9,868272403 | |
| 32 | 1024 | 10,0793684 | |
| 33 | 1089 | 10,28827648 | |
| 34 | 1156 | 10,49508462 | |
| 35 | 1225 | 10,69987481 | |
| 36 | 1296 | 10,90272356 | |
| 37 | 1369 | 11,10370247 | |
| 38 | 1444 | 11,30287864 | |
| 39 | 1521 | 11,50031505 | |
| 40 | 1600 | 11,69607095 | |
| 41 | 1681 | 11,89020214 | |
| 42 | 1764 | 12,08276124 | |
| 43 | 1849 | 12,27379797 | |
| 44 | 1936 | 12,46335937 | |
| 45 | 2025 | 12,65148998 | |
| 46 | 2116 | 12,83823205 | |
| 47 | 2209 | 13,02362568 | |
| 48 | 2304 | 13,207709 | |
| 49 | 2401 | 13,39051828 | |
| 50 | 2500 | 13,57208808 | |
| 51 | 2601 | 13,75245135 | |
| 52 | 2704 | 13,93163954 | |
| 53 | 2809 | 14,10968267 | |
| 54 | 2916 | 14,28660947 | |
| 55 | 3025 | 14,46244742 | |
| 56 | 3136 | 14,63722284 | |
| 57 | 3249 | 14,81096096 | |
| 58 | 3364 | 14,98368597 | |
| 59 | 3481 | 15,15542109 | |
| 60 | 3600 | 15,32618865 | |
| 61 | 3721 | 15,49601007 | |
| 62 | 3844 | 15,66490599 | |
| 63 | 3969 | 15,83289626 | |
| 64 | 4096 | 16 | 4 |
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Exemplos:
a) O número 1, por extensão de conceito é número natural, número quadrado perfeito, número triangular, número cúbico, etc.
b)
| A | B | C | D |
| naturais | quadrado | raiz | raiz |
| ordem / | perfeito | cubica | quadrada |
| posição | |||
| 8 | 64 | 4 | 2 |
8 é um cubo perfeito.
23 = 2 x 2 x 2 = 8
64 é um quadrado perfeito.
82 = 8 x 8 = 64
64 é um cubo perfeito.
43 = 4 x 4 x 4 = 64
4 é um quadrado perfeito.
22 = 2 x 2 = 4
O quadrado 64 do cubo 8 é o cubo do quadrado 4.
O Quadrado de um Cubo é o Cubo de um Quadrado
c)
| A | B | C | D |
| naturais | quadrado | raiz | raiz |
| ordem / | perfeito | cubica | quadrada |
| posição | |||
| 27 | 729 | 9 | 3 |
27 é um cubo perfeito.
33 = 3 x 3 x 3 = 27
729 é um quadrado perfeito.
272 = 27 x 27 = 729
729 é um cubo perfeito.
93 = 9 x 9 x 9 = 729
9 é um quadrado perfeito.
32 = 3 x 3 = 9
O quadrado 729 do cubo 27 é o cubo do quadrado 9.
O Quadrado de um Cubo é o Cubo de um Quadrado
A sequência de números quadrado cúbicos: 0, 1, 64, 729, 4096, 15625 , 46656, 117649, 262144, 531441, 1000000, 1771561, 2985984, 4826809, 7529536, 11390625, 16777216, 24137569, 34012224, 47045881, 64000000, 85766121, 113379904, 148035889, 191102976, 244140625, 308915776, 387420489, 481890304 se encontra registrada com o número A001014 no WebSite OEIS - The On-Line Encyclopedia Of Integers Sequences.
Cada termo da sequência é gerada por número natural elevada a sexta potência, indicada pela expressão:
| n6 |
06 = 0
16 = 1
26 = 64
36 = 729
46 = 4096
56 = 15625
Números Quadrados Cúbicos também poder ser gerados pelas seguinte fórmula:
| √ n^11 x n |
Para mais informações, veja estudo:
011-estudos-578-ternos-pitagoricos-e-o-metodo-de-potencias
A Tabela de Potências apresenta os 10 primeiros números naturais e suas respectivas potências.
Na linha 6 (expoente 6), tem-se termos da sequência de números quadrados cúbicos.
O expoente 6 é múltiplo do expoente 3.
| Tabela de Potências | |||||||||||
| número naturais | |||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
| expoente | |||||||||||
| potências | |||||||||||
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | |
| 3 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1000 | |
| 4 | 1 | 16 | 81 | 256 | 625 | 1296 | 2401 | 4096 | 6561 | 10000 | |
| 5 | 1 | 32 | 243 | 1024 | 3125 | 7776 | 16807 | 32768 | 59049 | 100000 | |
| 6 | 1 | 64 | 729 | 4096 | 15625 | 46656 | 117649 | 262144 | 531441 | 1000000 | |
| 7 | 1 | 128 | 2187 | 16384 | 78125 | 279936 | 823543 | 2097152 | 4782969 | 10000000 | |
| 8 | 1 | 256 | 6561 | 65536 | 390625 | 1679616 | 5764801 | 16777216 | 43046721 | 100000000 | |
| 9 | 1 | 512 | 19683 | 262144 | 1953125 | 10077696 | 40353607 | 134217728 | 387420489 | 1000000000 | |
| 10 | 1 | 1024 | 59049 | 1048576 | 9765625 | 60466176 | 282475249 | 1073741824 | 3486784401 | 10000000000 | |
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Os números quadrados cúbicos também podem ser gerados elevando-se números naturais a expoentes múltiplos de 3.
Interessante observar que:
a) quando a base é um número natural quadrado perfeito e o expoente ímpar e múltiplo de 3, a potência gerada é um número quadrado cúbico (células azuis).
b) quando a base é um número natural e o expoente par e múltiplo de 3, todas potências geradas são números quadrados cúbicos.
Aqui, caro Visitante / Internauta, um fato a destacar: o conhecimento de que tinha, do que aprendi na antiga quinta série ginasial até o presente momento é de que base elevada a expoente par o resultado é quadrado perfeito, neste estudo, se constata que também determinadas bases elevadas a determinados expoentes ímpares o resultado é também um quadrado perfeito, aliás um número quadrado cúbico.
| Número Natural | |||
| elevado ao expoente 9 | |||
| número / | potência | raiz | raiz |
| base | quadrada | cúbica | |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 512 | 22,62742 | 8 |
| 3 | 19683 | 140,2961 | 27 |
| 4 | 262144 | 512 | 64 |
| 5 | 1953125 | 1397,542 | 125 |
| 6 | 10077696 | 3174,539 | 216 |
| 7 | 40353607 | 6352,449 | 343 |
| 8 | 134217728 | 11585,24 | 512 |
| 9 | 387420489 | 19683 | 729 |
| 10 | 1000000000 | 31622,78 | 31622,7766 |
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| Número Natural | |||
| elevado ao expoente 12 | |||
| número / | potência | raiz | raiz |
| base | quadrada | cúbica | |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4096 | 64 | 16 |
| 3 | 531441 | 729 | 81 |
| 4 | 16777216 | 4096 | 256 |
| 5 | 244140625 | 15625 | 625 |
| 6 | 2176782336 | 46656 | 1296 |
| 7 | 13841287201 | 117649 | 2401 |
| 8 | 68719476736 | 262144 | 4096 |
| 9 | 282429536481 | 531441 | 6561 |
| 10 | 1000000000000 | 1000000 | 10000 |
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| Número Natural | |||
| elevado ao expoente 15 | |||
| número / | potência | raiz | raiz |
| base | quadrada | cúbica | |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 32768 | 181,0193 | 32 |
| 3 | 14348907 | 3787,995 | 243 |
| 4 | 1073741824 | 32768 | 1024 |
| 5 | 30517578125 | 174692,8 | 3125 |
| 6 | 470184984576 | 685700,4 | 7776 |
| 7 | 4747561509943 | 2178889,0 | 16807 |
| 8 | 35184372088832 | 5931641,0 | 32768 |
| 9 | 205891132094649 | 14348907 | 59049 |
| 10 | 1000000000000000 | 31622776,6 | 100000 |
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| Número Natural | |||
| elevado ao expoente 18 | |||
| número / | potência | raiz | raiz |
| base | quadrada | cúbica | |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 262144 | 512 | 64 |
| 3 | 387420489 | 19683 | 729 |
| 4 | 68719476736 | 262144 | 4096 |
| 5 | 3814697265625 | 1953125 | 15625 |
| 6 | 101559956668416 | 10077696 | 46656 |
| 7 | 1628413597910449 | 40353607 | 117649 |
| 8 | 18014398509481984 | 134217728 | 262144 |
| 9 | 150094635296999121 | 387420489 | 531441 |
| 10 | 1000000000000000000 | 1000000000 | 1000000 |
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| Número Natural | |||
| elevado ao expoente 21 | |||
| número / | potência | raiz | raiz |
| base | quadrada | cúbica | |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2097152 | 1448,154688 | 128 |
| 3 | 10460353203 | 102275,8681 | 2187 |
| 4 | 4398046511104 | 2097152 | 16384 |
| 5 | 476837158203125 | 21836601,34 | 78125 |
| 6 | 21936950640377856 | 148111277,9 | 279936 |
| 7 | 558545864083284007 | 747359260,4 | 823543 |
| 8 | 9223372036854775808 | 3037000500, | 2097152 |
| 9 | 109418989131512359209 | 10460353203, | 4782969 |
| 10 | 1000000000000000000000 | 31622776602, | 10000000 |
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| Número Natural | |||
| elevado ao expoente 24 | |||
| número | potência | raiz | raiz |
| quadrada | cúbica | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 16777216 | 4096 | 256 |
| 3 | 2,8243E+11 | 531441 | 6561 |
| 4 | 2,81475E+14 | 16777216 | 65536 |
| 5 | 5,96046E+16 | 244140625 | 390625 |
| 6 | 4,73838E+18 | 2176782336 | 1679616 |
| 7 | 1,91581E+20 | 13841287201 | 5764801 |
| 8 | 4,72237E+21 | 68719476736 | 16777216 |
| 9 | 7,97664E+22 | 2,8243E+11 | 43046721 |
| 10 | 1E+24 | 1E+12 | 100000000 |
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Autor: Ricardo Silva - julho/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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