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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números triângulares, quadrados perfeitos e cúbicos - 150

Números figurados são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos representando figuras geométricas, como triângulos, quadrados, pentágonos, etc.

Neste estudo são apresentados algumas relações númericas existentes entre números triangulares, quadrados e cúbicos.

Números Triangulares

Somando-se números consecutivos a partir de 1, obtêm-se números triangulares:

1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

e assim sucessivamente...

A média aritmética do produto de dois números conscecutivos é um número triangular.

n x ( n + 1)
_______
2

Exemplos:

1 x 2 / 2 = 1

2 x 3 / 2 = 3

3 x 4 / 2 = 6

4 x 5 / 2 = 10

Números quadrados perfeitos

a) multiplicando-se um número por ele mesmo obtêm-se números quadrados perfeitos:

1 x 1 = 1

2 x 2 = 4

3 x 3 = 9

b) elevando-se um número ao exponte 2 (ao quadrado):

12 = 1

22 = 4

32 = 9

c) somando-se números dois números triangulares:

1 + 3 = 4

3 + 6 = 9

6 + 10 = 16

Números quadrados perfeitos de números triangulares

Números quadrados perfeitos originados de números triangulares apresentam algumas propriedades especiais:

a) em sua sequência não aparecem potências de 2, 4, 8, ...

b) a diferença entre dois quadrados gerados de números triangulares tem como resultado um número cúbico e entre eles potências de 2, 4, 8, ... :

9 - 1 = 8

36 - 9 = 27

100 - 36 = 64

225 - 100 = 125

Ordem Triangular Quadrado de Triangular Cubo
       
1 1 1  
2 3 9 8
3 6 36 27
4 10 100 64
5 15 225 125
6 21 441 216
7 28 784 343
8 36 1296 512
9 45 2025 729
10 55 3025 1331
11 66 4356 -

Números cúbicos

Pode-se obter números cúbicos a partir:

a) da soma de sequências de números ímpares;

1 = 1

3 + 5 = 8

7 + 9 + 11 = 27

13 + 15 + 17 + 19 = 64

21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125

b) multiplicando-se um número por ele mesmo 3 vezes;

1 x 1 x 1 = 1

2 x 2 x 2 = 8

3 x 3 x 3 = 27

4 x 4 x 4 = 64

5 x 5 x 5 = 125

c) da potênciação, elevando um número ao expoente 3 (ao cubo);

13 = 1

23 = 8

33 = 27

43 = 64

53 = 125

A soma de números cúbicos consecutivos

A soma de números cúbicos têm como resultados números quadrados pefeitos cujas raízes são números triagulares:

1 + 8 = 9

raiz de 9 é 3 (3 é um número triangular)

1 + 8 + 27 = 36

raiz de 36 é 6 (6 é um número triangular)

1 + 8 + 27 + 64 = 100

raiz de 100 é 10 (10 é um número triangular)

No livro Sequências Numéricas Mágicas são apresentados outros estudos referentes a números triangulares relacionados com figura geométrica do triângulo.

Autor: Ricardo Silva - novembro/2017

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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