Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Raiz Quadrada e soma de Progressão Aritmética - 480

Várias são as estórias que se contam sobre Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) quando criança cujo professor solicitou a ele e aos colegas de classe que somassem a sequência dos números naturais de 1 a 100.

Como exemplo, qual é a soma dos números de 1 a 10 ?

O Pequeno Grande Gauss deve ter pensado assim... colocou a sequência de 1 a 10 em uma linha e a mesma sequência invertida em outra linha, somando de duas em duas parcelas, obteve 10 somas de 11 unidades.

Multiplicou as 10 somas por 11 = 110 e dividiu por 2, tendo como quociente 55 que é a soma dos números de 1 a 10.

O presente estudo demonstra que a partir das diferenças de quadrados, bem como, das somas das diferenças de quadrados são possíveis de extrairem raízes quadradas por meio de cálculos numéricos como também por meio da Fórmula da Soma de Progressão Aritmética (P.A).

Diferença de Quadrados e Somas de Diferenças de Quadrados

A diferença entre dois números quadrados perfeitos consecutivos tem como resultado um número ímpar.

As diferenças de quadrados têm como resultado a sequência de números ímpares a partir de 3: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,..., isto é, uma Progressão Aritmética cujo o primeiro terno é 3, de razão 2, e o último termo sempre um número ímpar.

As somas das diferenças de quadrados têm como resultados números que são 1 unidade menor que um número quadrado perfeito (Números Quase Quadrados).

Entre as somas das diferenças de quadrados há termos pares que são múltiplos de 4 e de 8.

As somas (pares) das diferenças de quadrados quando divididas por 8 têm como quocientes números triangulares.

As somas (pares) das diferenças de quadrados quando divididas por 4 têm como quocientes números retangulares.

Para mais informações, veja abaixo, matérias relacionadas!

Extração de raiz quadrada

Número quadrado perfeito 9

Qual é a raiz quadrada de 9?

a) na sequência: 3 e 5, pega-se o primeiro e o último termos;

b) multiplica-se pela quantidade de termos que são 2;

c) dividi-se o resultado por 2;

d) o quociente é 8, que é 1 unidade menor que o quadrado 9.

[ ( 3 + 5 ) x 2 ] / 2 = 8

e) a última parcela da soma 5, somada 1 unidade e dividida por 2, tem como quociente a raiz quadrada de 9;

( 5 + 1 ) / 2 = 3

√9 = 3

Número quadrado perfeito 16

Qual é a raiz quadrada de 16?

a) na sequência: 3, 5, e 7, pega-se o primeiro e o último termos;

b) multiplica-se pela quantidade de termos que são 3;

c) dividi-se o resultado por 2;

d) o quociente é 15, que é 1 unidade menor que o quadrado 16.

[ ( 3 + 7 ) x 3 ] / 2 = 15

e) a última parcela da soma 7, somada 1 unidade e dividida por 2, tem como resultado a raiz quadrada de 16;

( 7 + 1 ) / 2 = 4

√16 = 4

Número quadrado perfeito 25

Qual é a raiz quadrada de 25?

a) na sequência: 3, 5, 7 e 9, pega-se o primeiro e o último termos;

b) multiplica-se pela quantidade de termos que são 4;

c) dividi-se o resultado por 2;

d) o quociente é 24, que é 1 unidade menor que o quadrado 25.

[ ( 3 + 9 ) x 4 ] / 2 = 24

e) a última parcela da soma 9, somada 1 unidade e dividida por 2, tem como resultado a raiz quadrada de 25;

(9 + 1) / 2 = 5

√25 = 5

Número quadrado perfeito 36

Qual é a raiz quadrada de 36?

a) na sequência: 3, 5, 7, 9 e 11, pega-se o primeiro e o último termos;

b) multiplica-se pela quantidade de termos que são 5;

c) dividi-se o resultado por 2;

d) o quociente é 35, que é 1 unidade menor que o quadrado 25.

[ ( 3 + 11 ) x 5 ] / 2 = 35

e) a última parcela da soma 11, somada 1 unidade e dividida por 2, tem como resultado a raiz quadrada de 36;

(11 + 1) / 2 = 6

√36 = 6

Número quadrado perfeito 49

Qual é a raiz quadrada de 49?

a) na sequência: 3, 5, 7, 9, 11 e 13, pega-se o primeiro e o último termos;

b) multiplica-se pela quantidade de termos que são 6;

c) dividi-se o resultado por 2;

d) o quociente é 48, que é 1 unidade menor que o quadrado 25.

[ ( 3 + 13 ) x 6 ] / 2 = 48

e) a última parcela da soma 13, somada 1 unidade e dividida por 2, tem como resultado a raiz quadrada de 49;

(13 + 1) / 2 = 7

√49 = 7

Número quadrado perfeito 64

Qual é a raiz quadrada de 64?

a) na sequência: 3, 5, 7, 9, 11, 13 e 15, pega-se o primeiro e o último termos;

b) multiplica-se pela quantidade de termos que é 7;

c) dividi-se o resultado por 2;

d) o quociente é 63, que é 1 unidade menor que o quadrado 25.

[ ( 3 + 15 ) x 7 ] / 2 = 63

e) a última parcela da soma 15, somada 1 unidade e dividida por 2, tem como resultado a raiz quadrada de 64;

(15 + 1) / 2 = 8

√64 = 8

Número quadrado perfeito 81

Qual é a raiz quadrada de 81?

a) na sequência: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 e 17, pega-se o primeiro e o último termos;

b) multiplica-se pela quantidade de termos que é 8;

c) dividi-se o resultado por 2;

d) o quociente é 80, que é 1 unidade menor que o quadrado 81.

[ ( 3 + 17 ) x 8 ] / 2 = 80

e) a última parcela da soma 17, somada 1 unidade e dividida por 2, tem como resultado a raiz quadrada de 81;

(17 + 1) / 2 = 9

√81 = 9

Tabela de Raíz Quadrada e Soma de P.A.

A presente tabela demonstra as 25 primeiras somas de progressões aritméticas geradas das diferenças de quadrados e suas propriedades:

a) o primeiro termo de cada P.A é o número 3;

b) a razão (constante) de cada P.A. é 2;

c) o último termo de cada P.A. é número ímpar;

d) a metade do produto da soma de uma P.A. pela quantidade de termos têm como quocientes as Somas de Diferenças de Quadrados ou também Soma de Ímpares Consecutivos, ou ainda, Números Quase Quadrados, a partir do número 3 (veja tabela acima);

Exemplo:

8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99, 120, 143, 168,...

e) as Somas de Diferenças de Quadrados adicionada 1 unidade tem como resultado um número quadrado perfeito;

f) a quantidade de termos de uma P.A. difere em 1 unidade em relação a raiz quadrada correspondente;

g) sequências numéricas em que o número 3 é o primeiro termo e a razão é 2 unidades, é uma progressão aritmética relacionada a números quadrados perfeitos, bem como, as suas raízes quadradas;

Progressão Aritmética (PA) e extração de raiz quadrada

Por meio da fórmula a seguir, pode-se determinar a soma de n termos de uma Progressão Aritmética (P.A.).

a1 - primeiro termo

an - último termo

n - quantidade de termos

Sn - soma do termos = ?

Exemplo:

Calcule a soma da P.A. cujos termos:

a1= 3

an = 51

n = quantidade de termos, aqui uma dica:

(an - 1) / 2

(51 - 1) / 2 = 25

S₂₅ - soma do termos = ?

e com que quadrado perfeito e raiz quadrada a resolução desta P.A. está relacionada?

i)

ii)

iii)

v)

Resposta: A soma 675 da P.A. está relacionada ao quadrado perfeito 676 e a sua raiz quadrada 26, pois:

a) 675 + 1 = 676

b) 25 + 1 = 26

c) √676 = 26

Potências de base 2 e quase potências de base 2

Números quase potências de base 2, são números de 1 unidade menor que uma potência de base 2: 3, 7, 15, 31, 63, 127, ...

Número quadrado 16

16 é uma potência de base 2.

A tabela Raiz Quadrada e Soma de Progressão Aritmética revela também interessantes propriedades relacionadas às potências de base 2, vejamos:

a) na linha 2 da tabela, na coluna [último termo], têm-se o número 7;

b) 7 é um número quase potência de base 2;

c) 7 é um número primo de Mersenne;

d) o mais interessante, 7 é 1 unidade menor da potência 8 e que é a metade de 16;

e) encontrando-se um Primo de Mersenne se encontra um número perfeito.

f) na mesma linha, coluna [quase quadrado - divisão por 2], o número 15;

g) 15 é também um número quase potência de base 2;

Então a partir de P.A. de primeiro termo 3 e o último termo um número quase potência de base 2 igual ou maior que 7 podemos extrair raízes quadradas de potências de base 2.

Número quadrado 64

64 é uma potência de base 2.

a) na linha 6 da tabela, na coluna [último termo], têm-se o número 15;

b) na mesma linha, coluna [quase quadrado - divisão por 2], o número 63;

Número quadrado 256

Sabe-se que 16 é uma potência de base 2.

a) na linha 14 da tabela, na coluna [último termo], têm-se o número 31;

b) na mesma linha, coluna [quase quadrado - divisão por 2], o número 255;

Autor: Ricardo Silva - dezembro/2023

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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