O estudo demonstra que o produto de dois números pares consecutivos tem uma unidade de diferença entre o número quadrado perfeito mais próximo a esse produto.
Números pares são números que quando divididos por 2 deixam resto 0 (zero).
Os números pares terminam em 0, 2, 4, 6 e 8.
Na sequência dos números naturais, há entre dois números pares consecutivos sempre um número ímpar ou antes ou depois de um número ímpar há sempre números pares.
Escolhendo-se por exemplo os números 2 e 4 e efetuando a múltiplicação temos como produto 8.
2 x 4 = 8
Entre 2 e 4, na sequência dos números naturais, há o número 3.
O quadrado de 3 é 9.
A diferença entre o quadrado 9 e o produto 8 é de uma unidade.
9 - 8 = 1
O produto de 2 números pares consecutivos apresentam outras regularidades, vejamos a tabela a seguir:
O produto de dois números | ||
pares consecutivos | ||
Produto | Número | 1 unidade |
de 2 ímpares | quadrado | subtraída de |
quadrado | ||
2 x 4 = 8 | 3² = 9 | 9 - 1 = 8 |
4 x 6 = 24 | 5² = 25 | 25 - 1 = 24 |
6 x 8 = 48 | 7² = 49 | 49 - 1 = 48 |
8 x 10 = 80 | 9² = 81 | 81 - 1 = 80 |
10 x 12 = 120 | 11² = 121 | 121 - 1 = 120 |
12 x 14 = 168 | 13² = 169 | 169 - 1 = 168 |
14 x 16 = 224 | 15² = 225 | 225 - 1 = 224 |
16 x 18 = 288 | 17² = 289 | 289 - 1 = 288 |
18 x 20 = 360 | 19² = 361 | 361 - 1 = 360 |
20 x 22 = 440 | 21² = 441 | 441 - 1 = 440 |
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Recordando OS PRODUTOS NOTÁVEIS , podemos aplicá-los em cálculos numéricos.
(a + b) . (a - b) = a² - ab + ba - b² |
como - ab + ba = 0
a expressão fica sintetizada desta forma: (a + b) . (a - b) = a² - b²
aplicando a expressão em cálculos numéricos
exemplo 1)
(3 + 1) . (3 - 1) = 3² - 1² = 9 - 1 = 8
exemplo 2)
(5 + 1) . (5 - 1) = 5² - 1² = 25 - 1 = 24
exemplo 3)
(7 + 1) . (7 - 1) = 7² - 1² = 49 - 1 = 48
exemplo 4)
(9 + 1) . (9 - 1) = 9² - 1² = 81 - 1 = 80
Pelos exemplos expostos, constata se que:
1 unidade subtraída de um número quadrado perfeito ímpar é igual ao produto de dois números pares consecutivos.
ou
O produto de dois números pares consecutivos tem como resultado um número cuja diferença é de uma unidade em relação a um número quadrado perfeito.
Os produtos de números pares consecutivos têm como resultados números de 1 unidade menor de um número quadrado perfeito ímpar.
Os produtos de números triangulares por 8 têm como resultado números de 1 unidade menor de um número quadrado perfeito ímpar.
Os produtos de 2 números pares consecutivos têm os resultados memos resultado de produtos de números triangulares por 8.
Produtos de Pares Consecutivos | ||||||||||
e | ||||||||||
Produtos de Triangulares por 8 | ||||||||||
múltiplo | triangular | múltiplo | ||||||||
par | par | 8 | 0 | 8 | 8 | |||||
2 | x | 4 | = | 8 | 1 | x | 8 | = | 8 | |
4 | x | 6 | = | 24 | 3 | x | 8 | = | 24 | |
6 | x | 8 | = | 48 | 6 | x | 8 | = | 48 | |
8 | x | 10 | = | 80 | 10 | x | 8 | = | 80 | |
10 | x | 12 | = | 120 | 15 | x | 8 | = | 120 | |
12 | x | 14 | = | 168 | 21 | x | 8 | = | 168 | |
14 | x | 16 | = | 224 | 28 | x | 8 | = | 224 | |
16 | x | 18 | = | 288 | 36 | x | 8 | = | 288 | |
18 | x | 20 | = | 360 | 45 | x | 8 | = | 360 | |
20 | x | 22 | = | 440 | 55 | x | 8 | = | 440 | |
22 | x | 24 | = | 528 | 66 | x | 8 | = | 528 | |
24 | x | 26 | = | 624 | 78 | x | 8 | = | 624 | |
26 | x | 28 | = | 728 | 91 | x | 8 | = | 728 | |
28 | x | 30 | = | 840 | 105 | x | 8 | = | 840 | |
30 | x | 32 | = | 960 | 120 | x | 8 | = | 960 | |
32 | x | 34 | = | 1088 | 136 | x | 8 | = | 1088 | |
34 | x | 36 | = | 1224 | 153 | x | 8 | = | 1224 | |
36 | x | 38 | = | 1368 | 171 | x | 8 | = | 1368 | |
38 | x | 40 | = | 1520 | 190 | x | 8 | = | 1520 | |
40 | x | 42 | = | 1680 | 210 | x | 8 | = | 1680 | |
42 | x | 44 | = | 1848 | 231 | x | 8 | = | 1848 | |
44 | x | 46 | = | 2024 | 253 | x | 8 | = | 2024 | |
46 | x | 48 | = | 2208 | 276 | x | 8 | = | 2208 | |
48 | x | 50 | = | 2400 | 300 | x | 8 | = | 2400 | |
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Texto atualizado em 03/12/2023
Autor: Ricardo Silva
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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