Os números quadrados perfeitos possuem diversas propriedades e aplicações matemáticas, e uma dessas propriedades é a diferença entre dois números quadrados perfeitos consecutivos.
A diferença entre dois números quadrados perfeitos consecutivos tem como resultado um número ímpar.
A tabela a seguir apresenta os 20 primeiros números quadrados perfeitos, bem como, suas diferenças e diferenças entre raízes quadradas.
As diferenças entres números quadrados perfeitos formam a sequência de números ímpares a partir do 3: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,...
Observação: uma das propriedades da tabela é que a soma de ímpares consecutivos a partir de 3 têm como resultados números que são 1 unidade menor que um número quadrado perfeito (isto porque, não há dois quadrados cuja diferença é 1 unidade).
A soma de ímpares consecutivos também são utilizadas, isto é, elas aparecem como diferença de quadrado nas fórmulas descritas a seguir.
| Diferença entre | |||
| números quadrados perfeitos | |||
| Diferença de quadrados | soma de | ||
| Número | Quadrado | Ímpares | ímpares |
| (raiz) | consecutivos | ||
| 1 | 1 | ||
| (1) | 3 | ||
| 2 | 4 | ||
| (1) | 5 | 8 | |
| 3 | 9 | ||
| (1) | 7 | 15 | |
| 4 | 16 | ||
| (1) | 9 | 24 | |
| 5 | 25 | ||
| (1) | 11 | 35 | |
| 6 | 36 | ||
| (1) | 13 | 48 | |
| 7 | 49 | ||
| (1) | 15 | 63 | |
| 8 | 64 | ||
| (1) | 17 | 80 | |
| 9 | 81 | ||
| (1) | 19 | 99 | |
| 10 | 100 | ||
| (1) | 21 | 120 | |
| 11 | 121 | ||
| (1) | 23 | 143 | |
| 12 | 144 | ||
| (1) | 25 | 168 | |
| 13 | 169 | ||
| (1) | 27 | 195 | |
| 14 | 196 | ||
| (1) | 29 | 224 | |
| 15 | 225 | ||
| (1) | 31 | 255 | |
| 16 | 256 | ||
| (1) | 33 | 288 | |
| 17 | 289 | ||
| (1) | 35 | 323 | |
| 18 | 324 | ||
| (1) | 37 | 360 | |
| 19 | 361 | ||
| (1) | 39 | 399 | |
| 20 | 400 | ||
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| Diferença de quadrados | ||
| Número | Quadrado | Ímpares |
| (raiz) | ||
| 1 | 1 | |
| (1) | 3 | |
| 2 | 4 |
O número ímpar 3 é a diferença natural (exclusiva) entre os quadrados 1 e 4, pois:
4 - 1 = 3
Veja que o número 3 é a diferença entre outros 2 números, mas não como diferenças entre outros pares de quadrados perfeitos:
5 - 2 = 3
6 - 3 = 3
7 - 4 = 3 (o subtraendo 4 é um quadrado perfeito)
8 - 5 = 3
9 - 6 = 3 (o minuendo 9 é um quadrado perfeito)
10 - 7 = 3
11 - 8 = 3
12 - 9 = 3 (o subtraendo 9 é um quadrado perfeito)
13 - 10 = 3
14 - 11 = 3
15 - 12 = 3
16 - 13 = 3 (o minuendo 16 é um quadrado perfeito)
Poderá um número ímpar ser a diferença de mais pares de números quadrados perfeitos consecutivos?
Todo número ímpar igual ou maior que 3 é a diferença entre dois números quadrados perfeitos consecutivos.
A soma de 2 números consecutivos é um número ímpar.
A partir do número 3 podemos descobrir os 2 números quadrados em que ele é a diferença por meio de cálculos numéricos:
a) subtrai-se 1 unidade de 3 e dividi-se por 2;
( 3 - 1 ) / 2 = 1
b) o consecutivo do quociente 1 é o 2;
c) eleve o quociente ao quadrado;
1² = 1 é o primeiro quadrado
d) eleve o consecutivo ao quadrado;
2² = 4 é o segundo quadrado
e) 1 e 2 são números consecutivos e que somados é 3;
f) 1 e 4 são números quadrados consecutivos.
Por meio das seguintes fórmulas, também podemos descobrir raízes quadradas, bem como, números quadrados perfeitos onde:
Dq = Diferença entre dois quadrados perfeitos
Dr² = Diferença entre duas raízes ao quadrado
2r = Dobro da diferença entre duas raízes
podem ser comprovadas:
a) a raiz quadrada sucessora - Fórmula da Soma
| Dq + Dr² |
| ____ |
| 2 x r |
b) a raiz quadrada antecessora - Fórmula da Diferença
| Dq - Dr² |
| ____ |
| 2 x r |
| Diferença de quadrados | ||
| Número | Quadrado | Ímpares |
| (raiz) | ||
| 1 | 1 | |
| (1) | (3) | |
| 2 | 4 |
Observação: a diferença dos quadrados é divisível pela diferença das raízes.
A diferença das raízes ao quadrado (1²) subtraida da diferença dos quadrados (3) e dividida pelo dobro da diferença da raízes têm como quociente a √1 = 1.
| 3 - 1² | 2 | |||
| ____ | = | ___ | = | 1 |
| 2 x 1 | 2 |
A diferença das raízes ao quadrado (1²) somada a diferença dos quadrados (3) e dividida pelo dobro da diferença da raízes têm como quociente a √4 = 2.
| 3 + 1² | 4 | |||
| ____ | = | ___ | = | 2 |
| 2 x 1 | 2 |
O número 3 é a diferença natural (exclusiva) dos quadrados consecutivos 1 e 4.
( 3 - 1 ) / 2 = 1
1 x 1 = 1
2 x 2 = 4
Diferença 4 - 1 = 3
3 é número primo.
3 é 1 unidade menor que o quadrado 4.
| Diferença de quadrados | ||
| Número | Quadrado | Ímpares |
| (raiz) | ||
| 9 | 81 | |
| (1) | (19) | |
| 10 | 100 |
Observação: a diferença dos quadrados é divisível pela diferença das raízes.
A diferença das raízes ao quadrado (1²) subtraída da diferença dos quadrados (19) e dividida pelo dobro da diferença da raízes têm como quociente a √81 = 9.
| 19 - 1² | 18 | |||
| ____ | = | ___ | = | 9 |
| 2 x 1 | 2 |
A diferença das raízes ao quadrado (1²) somada da diferença dos quadrados (19) e dividida pelo dobro da diferença da raízes têm como quociente a √10 = 10.
| 19 + 1² | 20 | |||
| ____ | = | ___ | = | 10 |
| 2 x 1 | 2 |
O número 19 é a diferença original (exclusiva) dos quadrados consecutivos 81 e 100, pois:
(19 - 1) / 2 = 9
9 x 9 = 81
10 x 10 = 100
Diferença 100 - 81 = 19
19 é um número primo.
| Diferença de quadrados | ||
| Número | Quadrado | Ímpares |
| (raiz) | ||
| 1 | 1 | |
| (3) | (15) | |
| 4 | 16 |
Observação: a diferença dos quadrados é divisível pela diferença das raízes.
Fórmula da diferença
| 15 - 3² | 6 | |||
| ____ | = | ___ | = | 1 |
| 2 x 3 | 6 |
Fórmula da soma
| 15 + 3² | 24 | |||
| ____ | = | ___ | = | 4 |
| 2 x 3 | 6 |
O número 15 também é a diferença dos quadrados consecutivos 49 e 64, pois:
( 15 - 1 ) / 2 = 7
7 x 7 = 49
8 x 8 = 64
Diferença 64 - 49 = 15
15 é 1 unidade menor que o quadrado 16.
Interessante observar que 15 é a soma dos ímpares consecutivos de 3 a 7.(célula laranja)
| Diferença de quadrados | ||
| Número | Quadrado | Ímpares |
| (raiz) | ||
| 1 | 1 | |
| (5) | (35) | |
| 6 | 36 |
Observação: a diferença dos quadrados é divisível pela diferença das raízes.
Fórmula da diferença
| 35 - 5² | 10 | |||
| ____ | = | ___ | = | 1 |
| 2 x 5 | 10 |
Fórmula da soma
| 35 + 5² | 60 | |||
| ____ | = | ___ | = | 6 |
| 2 x 5 | 10 |
O número 35 também é a diferença dos quadrados consecutivos 289 e 324, pois:
( 35 - 1 ) / 2 = 17
17 x 17 = 289
18 x 18 = 324
Diferença = 324 - 289 = 35
35 é 1 unidade menor que o quadrado 36.
Interessante observar que 35 é a soma dos ímpares consecutivos de 3 a 11.(célula laranja)
| Diferença de quadrados | ||
| Número | Quadrado | Ímpares |
| (raiz) | ||
| 3 | 9 | |
| (13) | (247) | |
| 16 | 256 |
Observação: a diferença dos quadrados é divisível pela diferença das raízes.
A diferença das raízes ao quadrado (13²) subtraída da diferença dos quadrados (247) e dividida pelo dobro da diferença da raízes têm como quociente a √9 = 3.
| 247 - 13² | 78 | |||
| ____ | = | ___ | = | 3 |
| 2 x 13 | 26 |
A diferença das raízes ao quadrado (13²) somada a diferença dos quadrados (247) e dividida pelo dobro da diferença da raízes têm como quociente a √256 = 16.
| 247 + 13² | 416 | |||
| ____ | = | ___ | = | 16 |
| 2 x 13 | 26 |
O número 247 também é a diferença dos quadrados consecutivos 15129 e 15376, pois:
( 247 - 1 ) / 2 = 123
123 x 123 = 15129
124 x 124 = 15376
Diferença = 15376 - 15129 = 247
Autor: Ricardo Silva - novembro/2023
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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