Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Raízes Quadradas e Somas das Diferenças de Números Quadrados Perfeitos - 477

Gerar número quadrado perfeito, podemos dizer, que é uma tarefa simples, bastando multiplicar um número por ele mesmo, desde que esse número não tenha muitas e muitas e muitas e muitas casas decimais (sem uso de calculadoras é claro).

E para se saber se um número é ou não um quadrado perfeito, e extrair a raiz quadrada?

Número quadrado perfeito é um número que é produto de um número por ele mesmo e quando extraído a sua raiz quadrada, a raiz quadrada é esse mesmo número.

Os números quadrados perfeitos apresentam diversas propriedades matemáticas, bem como, propriedades também relacionadas à diversas outras sequências numéricas famosas.

a) a diferença entre 2 números quadrados perfeitos é um número ímpar a partir do número 3;

b) Um número ímpar igual ou maior que 3 é a diferença entre dois números quadrados perfeitos consecutivos;

c) a soma de dois números consecutivos é a diferença entre 2 números quadrados perfeitos;

d) a soma de dois números consecutivos é um número ímpar e esses dois números consecutivos são as raízes quadradras dos quadrados cujo o número ímpar é a diferença;

O presente estudo demonstra outra propriedade relacionada a números quadrados perfeitos que são As Somas das Diferenças de Quadrados.

Tabela das somas das diferenças de quadrados perfeitos

A tabela a seguir demonstra os 20 primeiros números quadrados perfeitos, bem como, suas raízes quadradas, diferenças de quadrados e as somas das diferenças de quadrados.

Número quadrado perfeito e um número antecessor

As somas das diferenças de quadrados é 1 unidade menor que um quadrado perfeito sucessor.

Quadrado perfeito sucessor 9

a) a diferença entre os quadrados 1 e 4 é 3;

b) a diferença entre os quadrados 4 e 9 é 5;

c) a soma das diferenças: 3 + 5 = 8;

d) 8 é 1 unidade menor do quadrado perfeito 9.

Quadrado perfeito sucessor 16

a) a diferença entre os quadrados 1 e 4 é 3;

b) a diferença entre os quadrados 4 e 9 é 5;

c) a diferença entre os quadrados 9 e 16 é 7;

d) a soma das diferenças: 3 + 5 + 7 = 15;

e) 15 é 1 unidade menor do quadrado perfeito 16.

O quadrado perfeito 1 e outros quadrados

A diferença entre o quadrado perfeito 1 e qualquer outro quadrado têm como resultados as somas das diferenças de quadrados.

Exemplos:

a) quadrado perfeito 1 subtraído do quadrado 9;

9 - 1 = 8

8 é a soma das diferenças de quadrados 3 e 5.

b) quadrado perfeito 1 subtraído do quadrado 16;

16 - 1 = 15

15 é a soma das diferenças de quadrados 3, 5 e 7.

c) quadrado perfeito 1 subtraído do quadrado 25;

25 - 1 = 24

24 é a soma das diferenças de quadrados 3, 5, 7 e 9.

Diferença de quadrados e diferença de raízes

A soma das diferenças de quadrados é divisível pela diferenças de raízes.

Exemplo 1)

3 : 1 = 3

Exemplo 2)

8 : 2 = 4

Exemplo 3)

15 : 3 = 5

Soma de um quadrado perfeito mais o dobro de sua raiz

A soma de um número quadrado perfeito mais o dobro da sua raiz quadrada tem como resultado as somas das diferenças de quadrados.

Exemplo 1)

4 + 2 + 2 = 8

ou

4 + ( 2 x 2 ) = 8

Exemplo 2)

9 + 3 + 3 = 15

ou

9 + ( 2 x 3 ) = 15

Exemplo 3)

16 + 4 + 4 = 24

ou

16 + ( 2 x 4 ) = 24

Somas das diferenças (pares) de quadrados e o número 8

As somas das diferenças (pares) de quadrados são múltiplos de 8.

As somas das diferenças (pares) de quadrados divididas por 8 têm como resultados números triangulares.

Número 8 multiplicado por triangular e somado 1 unidade têm como resultado um número quadrado perfeito ímpar.

Raiz quadrada de número ímpar

Partindo-se do fato que as somas das diferenças (pares) de quadrados são múltiplos de 8 e quando divididas por 8 o quociente é um número triangular, podemos extrair raízes quadradas de números quadrados perfeitos ímpares por aproximações, vejamos:

Raiz quadrada de 9

Qual é a raiz quadrada de 9?

Subtrái-se 1 unidade do quadrado ímpar 9 e dividi-se por 8.

(9 - 1) / 8 = 1 ( 1 é número triangular )

por aproximações ...

1 x 1 = 1

2 x 2 = 4

3 x 3 = 9

A raiz quadrada de 9 é 3.

Raiz quadrada de 25

Qual é a raiz quadrada de 25?

Subtrái-se 1 unidade do quadrado ímpar 25 e dividi-se por 8.

(25 - 1) / 8 = 3 ( 3 é número triangular )

por aproximações...

3 x 3 = 9

5 x 5 = 25

A raiz quadrada de 25 é 5.

Raiz quadrada de 49

Qual é a raiz quadrada de 49?

Subtrái-se 1 unidade do quadrado ímpar 49 e dividi-se por 8.

(49 - 1) / 8 = 6 ( 6 é número triangular )

por aproximações...

6 x 6 = 36

7 x 7 = 49

A raiz quadrada de 49 é 7.

Raiz quadrada de 81

Qual é a raiz quadrada de 81?

Subtrái-se 1 unidade do quadrado ímpar 81 e dividi-se por 8.

(81 - 1) / 8 = 10 ( 10 é número triangular )

por aproximações...

10 x 10 = 100 ( passou )

9 x 9 = 81

A raiz quadrada de 81 é 9.

Raiz quadrada de 121

Qual é a raiz quadrada de 121?

Subtrái-se 1 unidade do quadrado ímpar 121 e dividi-se por 8.

(121 - 1) / 8 = 15 ( 15 é número triangular )

por aproximações...

15 x 15 = 225 ( passou )

13 x 13 = 169 ( passou )

11 x 11 = 121

A raiz quadrada de 121 é 11.

Somas das diferenças (ímpares) de quadrados

As somas das diferenças (ímpares) de quadrados são múltiplos de diferenças de quadrados ímpares.

Exemplo 1)

15 é divisível por 3 e 5.

35 é divisível por 5 e 7.

Raiz quadrada, fatores primos e divisores consecutivos

Determinadas somas das diferenças (ímpares) de quadrados, bem como, 2 de seus fatores primos ou 2 de seus divisores consecutivos apresentam relações com raiz quadrada e o quadrado perfeito subsequente a soma das diferenças (ímpares) de quadrados.

A partir de determinadas somas das diferenças de quadrados) é possível de se extrairem raízes quadradas.

Raiz quadrada de 16

Qual é a raiz quadrada de 16?

O quadrado perfeito 1 subtraído do quadrado 16:

16 - 1 = 15

15 é também a soma das diferenças de quadrados de 3, 5 e 7.

O número 15 é produto de 2 números primos distintos (3 x 5).

Decompõe-se o número 15 em fatores primos.

D(15): {1, 3, 5, 15}

3 e 5 são os divisores centrais.

Observação:

o fator primo 3 é 1 unidade menor que a raiz quadrada 4.

o fator primo 5 é 1 unidade maior que a raiz quadrada 4.

3 + 5 = 8.

8 é o dobro da raiz quadrada 4.

8 é a metade do quadrado perfeito 6.

Fórmula da Raiz Quadrada (a partir da somas das diferenças de quadrados)

SDQ = Soma das Diferenças de Quadrados

DC^² = Divisor Central ao Quadrado

2 x DC = Dobro Divisor Central

O fator primo ao quadrado (3^²) mais a soma das diferenças dos quadrados (15) dividida pelo dobro do último fator primo (3) têm como quociente a √16 = 4.

O fator primo ao quadrado (5^²) mais a soma das diferenças dos quadrados (15) dividida pelo dobro do fator primo (5)têm como quociente a √16 = 4.

Comprovando-se a Fórmula da Raiz Quadrada por Equação do Segundo Grau (Completando Quadrado)

(i) x . ( x + 2) = 15

(ii) x^² + 2x = 15

(iii) x^² + 2x + 1 = 15 + 1

(iv) ( x + 1 )^² = 16

(v) x + 1 = ± √16

(vi) x´ = + 4 - 1 = 3

(vii) x´´= - 4 - 1 = - 5

Comprovação

3^² + 2.3 = 15

( -5^² ) + 2.( -5 ) = 15

Observação importante:

Acima utilizou-se o Algoritmo da Decomposição em Fatores Primos para o número 15.

Na Tabela Soma das Diferenças de Números Quadrados Perfeitos, os fatores primos 3 e 5 do número 15 que é a soma das diferenças de quadrados, aparecem próximo ao próprio número 15.

Raiz quadrada de 36

Qual é a raiz quadrada de 36?

O quadrado perfeito 1 subtraído do quadrado 36:

36 - 1 = 35

35 é também a soma das diferenças de quadrados de 3, 5, 7, 9 e 11.

O número 35 é produto de 2 números primos distintos (5 x 7).

Decompõe-se o número 35 em fatores primos.

D(35): {1, 5, 7, 35}

5 e 7 são os divisores centrais.

5 e 7 são números primos gêmeos.

o fator primo 5 é 1 unidade menor que a raiz quadrada 6.

o fator primo 7 é 1 unidade maior que a raiz quadrada 6.

5 + 7 = 12.

12 é o dobro da raiz quadrada 6.

12 é 1/3 do quadrado perfeito 36.

Fórmula da Raiz Quadrada (a partir da somas das diferenças de quadrados)

SDQ = Soma das Diferenças de Quadrados

DC^² = Divisor Central ao Quadrado

2 x DC = Dobro Divisor Central

O fator primo ao quadrado (5^²) mais a soma das diferenças dos quadrados (35) dividida pelo dobro do fator primo (5) têm como quociente a √36 = 6.

O fator primo ao quadrado (7^²) mais a soma das diferenças dos quadrados (35) dividida pelo dobro do fator primo (7) têm como quociente a √36 = 6.

Observação importante:

Acima utilizou-se o Algoritmo da Decomposição em Fatores Primos para o número 35.

Na Tabela Soma das Diferenças de Números Quadrados Perfeitos, os fatores primos 5 e 7 do número 35 que é a soma das diferenças de quadrados, aparecem próximo ao próprio número 35.

Raiz quadrada de 144

Qual é a raiz quadrada de 144?

O quadrado perfeito 1 subtraído do quadrado 144:

144 - 1 = 143

143 é também a soma das diferenças de quadrados de 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23.

O número 143 é produto de 2 números primos distintos (11 x 13).

Decompõe-se o número 143 em fatores primos.

D(143): {1, 11, 13, 143}

11 e 13 são os divisores centrais.

11 e 13 são números primos gêmeos.

o fator primo 11 é 1 unidade menor que a raiz quadrada 12.

o fator primo 13 é 1 unidade maior que a raiz quadrada 12.

11 + 13 = 24.

24 é o dobro da raiz quadrada 12.

24 é 1/6 do quadrado perfeito 144.

Fórmula da Raiz Quadrada (a partir da somas das diferenças de quadrados)

SDQ = Soma das Diferenças de Quadrados

DC^² = Divisor Central ao Quadrado

2 x DC = Dobro Divisor Central

O fator primo ao quadrado (11^²) mais a soma das diferenças dos quadrados (143) dividida pelo dobro do fator primo (11) têm como quociente a √144 = 12.

O fator primo ao quadrado (13^²) mais a soma das diferenças dos quadrados (143) dividida pelo dobro do fator primo (13) têm como quociente a √144 = 12.

Observação importante:

Acima utilizou-se o Algoritmo da Decomposição em Fatores Primos para o número 143.

Na Tabela Soma das Diferenças de Números Quadrados Perfeitos, os fatores primos 11 e 13 do número 143 que é a soma das diferenças de quadrados, aparecem próximo ao próprio número 143.

Raiz quadrada de 324

Qual é a raiz quadrada de 324?

O quadrado perfeito 1 subtraído do quadrado 324:

324 - 1 = 323

323 é produto de 2 números primos distintos.

D(323):{1, 17, 19, 323}

17 e 19 são os divisores centrais.

17 e 19 são números primos gêmeos.

O fator primo ao quadrado (17^²) mais a soma das diferenças dos quadrados (323) dividida pelo dobro do fator primo (17) têm como quociente a √324 = 18.

O fator primo ao quadrado (19^²) mais a soma das diferenças dos quadrados (323) dividida pelo dobro do fator primo (19) têm como quociente a √324 = 18.

Raiz quadrada de 900

Qual é a raiz quadrada de 900?

O quadrado perfeito 1 subtraído do quadrado 900:

900 - 1 = 899

899 é produto de 2 números primos distintos.

D(323):{1, 29, 31, 899}

21 e 31 são os divisores centrais.

21 e 31 são números primos gêmeos.

O fator primo ao quadrado (29^²) mais a soma das diferenças dos quadrados (899) dividida pelo dobro do fator primo (29) têm como quociente a √900 = 30.

O fator primo ao quadrado (31^²) mais a soma das diferenças dos quadrados (899) dividida pelo dobro do fator primo (31) têm como quociente a √900 = 30.

Conclusão:

Entre os 32 primeiros números quadrados perfeitos:

a) a raíz quadrada dos respectivos quadrados perfeitos: 16, 36, 144, 324 e 900 têm com números antecessores e sucessores números primos gêmeos;

3, 4, 5

5, 6, 7

11, 12, 13

17, 18, 19

29, 30, 31

Para mais informações, consulte:

011-estudos-331-produtos-dois-impares-conexoes-com-numeros-triangulares-primos-gemeos

b) os números que são somas das diferenças de números quadrados perfeitos e que são produtos de 2 ímpares distintos:

15 = 3 x 5

35 = 5 x 7

143 = 11 x 13

323 = 17 x 19

899 = 29 x 31

são números que possuem potências cujas quantidades de divisores são em quantidades de números quadrados perfeitos.

c) o quadrado perfeito 676 cuja raiz quadrada é 26 têm como números antecessores 25 e 27;

25 é quadrado perfeito.

27 é um cubo perfeito.

Neste caso, 25 e 27 são os divisores centrais que não são números primos do número 675.

D(675)={1, 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 135, 225, 675}

d) nos demais 26 números quadrados perfeitos, suas respectivas raízes quadradas, ora apresentam um número primo antecessor, ora apresentam um número primo sucessor.

Autor: Ricardo Silva - novembro/2023

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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