Theon de Smyrna (70 d. C. e 135 d. C) foi um filósofo e matemático grego, autor da obra “Matemáticas para entender Platão“, desenvolveu um interessante algoritmo que leva o seu nome Escada de Theon com o qual é possível de se extrar a raiz quadrada aproximada de 2.
Dividindo-se os termos correspondentes b / a, o quociente tende a raiz quadrada de 2:
√2 = 1,4142
O algoritmo pode ser generalizado para se extrair a raiz quadrada de quaisquer números naturais.[1][2].
A partir da razão dos termos de ordem / posição 7, obtem-se a raiz quadrada de 2 com 4 casas decimais após a vírgula.
| Tabela 1 | ||||
| Escada de Theon | ||||
| extração da raiz quadrada de 2 | ||||
| ordem / | a | b | b / a | razão |
| posição | ||||
| 1 | 1 | 1 | ||
| 2 | 2 | 3 | 3 / 2 = | 1,5 |
| 3 | 5 | 7 | 7 / 5 = | 1,4 |
| 4 | 12 | 17 | 17 / 12 = | 1,41666... |
| 5 | 29 | 41 | 41 / 29 = | 1,41379... |
| 6 | 70 | 99 | 99 / 70 = | 1,41428... |
| 7 | 169 | 239 | 239 / 169 = | 1,41420... |
Fonte: adaptado de Tópicos de História da Matemática[5]
Na construção de seu algoritmo, Theon de Smyrna incia-se com um quadrado de lados 1 e estabelece a sua diagonal também em 1 unidade.[3]
Fonte: adaptado de Geometria Sagrada [3]
lado = 1
diagonal = 1
lado = 2 (soma do lado do quadrado 1 e diagonal 1 do quadrado 1).
diagonal = 3 (dobro do lado do quadrado 1 e diagonal 1 do quadrado 1).
lado = 5 (soma do lado do quadrado 2 e diagonal do quadrado 2).
diagonal = 7 (soma do dodro do lado do quadrado 2 e diagonal do quadrado 2).
Na Tabela 2, pode-se verificar as relações numéricas formadas a partir de um quadrado de lado 1 e diagonal de comprimento 1.
Na Tabela 2, observa-se também a afirmação de Theon de Smyrna, segundo a qual "o quadrado da diagonal sempre será o dobro do quadrado do lado, mas alternativamente maior ou menor em uma unidade".
| Tabela 2 | |||||
| lado do | quadrado | dobro | diagonal | quadrado | diferença |
| quadrado | do | quadrado | da | ||
| lado | diagonal | ||||
| 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 - 1 |
| 2 | 4 | 8 | 3 | 9 | 8 + 1 |
| 5 | 25 | 50 | 7 | 49 | 50 - 1 |
| 12 | 144 | 288 | 17 | 289 | 288 +1 |
| 29 | 841 | 1682 | 41 | 1681 | 1682 - 1 |
Fonte: adaptado de Geometria Sagrada
Além da extração de raízes quadradas, o Algoritmo Escada de Theon apresenta diversas propriedades e relações numéricas com números triangulares, números quadrados perfeitos, números triangulares quadrados, ternos pitagóricos raros, ternos pitagóricos derivados, etc.
Para mais informações, veja matérias relacionadas abaixo.
Pode-se construir a Escada de Theon conforme etapas a seguir:
1) constrói-se uma tabela com duas colunas: (a) e (b);
coloca-se o número 1 na primeira linha, um abaixo de (a) e outro de (b).
| a | b |
| 1 | 1 |
2) soma-se 1(b) com 1(a) e coloca-se o resultado 2, abaixo de 1(a);
| a | b |
| 1 | 1 |
| 2 |
3) soma-se 1(a) com 2(a) e coloca-se o resultado 3, abaixo de 1(b);
| a | b |
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
4) soma-se 3(b) com 2(a) e coloca-se o resultado 5, abaixo de 2(b);
| a | b |
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 5 |
5) soma-se 2(a) com 5(b) e coloca-se o resultado 7, abaixo de 3(b);
| a | b |
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 5 | 7 |
6) soma-se 7(b) com 5(a) e coloca-se o resultado 12, abaixo de 5(b);
| a | b |
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 5 | 7 |
| 12 |
7) soma-se 5(a) com 12(a) e coloca-se o resultado 17, abaixo de 7(b);
| a | b |
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 5 | 7 |
| 12 | 17 |
e assim sucessivamente, somando-se dois números em uma mesma linha e somando-se dois últimos números da Coluna a.
Por meio da seguinte fórmula algébrica, também pode-se construir a Escada de Theon.[4]
| a + 2 x b |
| ----------- |
| a + b |
Com os termos iniciais:
a = 1
b = 1
i)
| 1 + 2 x 1 | 3 | |
| ----------- | = | ---- |
| 1 + 1 | 2 |
obtem-se 3 / 2
ii)
| 3 + 2 x 2 | 7 | |
| ----------- | = | ---- |
| 2 + 3 | 5 |
obtem-se 7 / 5
iii)
| 7 + 2 x 5 | 17 | |
| ----------- | = | ---- |
| 5 + 7 | 12 |
obtem-se 17 / 12
√3 = 1,7320
A partir da razão dos termos de ordem / posição 9, obtem-se a raiz quadrada de 3 com 4 casas decimais após a vírgula.
| Tabela 3 | ||||
| Escada de Theon | ||||
| extração da raiz quadrada de 3 | ||||
| ordem / | a | b | b / a | razão |
| posição | ||||
| 1 | 1 | 1 | 1 / 1 = | 1 |
| 2 | 2 | 4 | 4 / 2 = | 2 |
| 3 | 6 | 10 | 10 / 6 = | 1,666666667 |
| 4 | 16 | 28 | 28 / 16 = | 1,75 |
| 5 | 44 | 76 | 76 / 44 = | 1,727272727 |
| 6 | 120 | 208 | 208 /120 = | 1,733333333 |
| 7 | 328 | 568 | 568 / 328 = | 1,731707317 |
| 8 | 896 | 1552 | 1552 / 896 = | 1,732142857 |
| 9 | 2448 | 4240 | 4240 / 2448 = | 1,732026144 |
| 10 | 6688 | 11584 | 11584 / 6688 = | 1,732057416 |
| 11 | 18272 | 31648 | 31648 / 18272 = | 1,732049037 |
| 12 | 49920 | 86464 | 86464 / 49920 = | 1,732051282 |
| 13 | 136384 | 236224 | 236224 / 136384 = | 1,73205068 |
| 14 | 372608 | 645376 | 645376 / 372608 = | 1,732050842 |
| 15 | 1017984 | 1763200 | 1763200 / 1017984 = | 1,732050798 |
| 16 | 2781184 | 4817152 | 4817152 / 2781184 = | 1,73205081 |
| 17 | 7598336 | 13160704 | 13160704 / 7598336 = | 1,732050807 |
Fonte: adaptado O Cálculo da Raiz Quadrada Através dos Séculos [6]
√5 = 2,2360
A partir da razão dos termos de ordem / posição 20, obtem-se a raiz quadrada de 5 com 8 casas decimais após a vírgula.
| Tabela 4 | ||||
| Escada de Theon | ||||
| extração da raiz quadrada de 5 | ||||
| ordem / | a | b | b / a | razão |
| posição | ||||
| 1 | 1 | 1 | 1 /1 = | 1 |
| 2 | 2 | 6 | 6 / 2 = | 3 |
| 3 | 8 | 16 | 16 / 8 = | 2 |
| 4 | 24 | 56 | 56 / 24 = | 2,333333333 |
| 5 | 80 | 176 | 176 / 80 = | 2,2 |
| 6 | 256 | 576 | 576 / 256 = | 2,25 |
| 7 | 832 | 1856 | 1856 / 832 = | 2,230769231 |
| 8 | 2688 | 6016 | 2688 / 6016 = | 2,238095238 |
| 9 | 8704 | 19456 | 8704 / 19456 = | 2,235294118 |
| 10 | 28160 | 69976 | 28160 / 69976 = | 2,236363636 |
| 11 | 91136 | 203776 | 91136 / 203776 = | 2,235955056 |
Fonte: adaptado A raiz quadrada ao longo dos séculos
Séculos [7]
A estudante de arquitetura da Universidade da California - Los Angeles - UCLA - EUA, Sukuru Yuksel, pesquisando sobre como os arquitetos europeus do século X faziam para encontrar raízes quadradas, se deparou com o seguinte algoritmo: [7]
a) a partir de uma progressão geométrica de razão 2:
1, 2, 4, 8, 16, 32,...
b) intercala-se multiplicações de termos da PG com a raiz quadrada de 2;
1, 1√2, 2, 2√2, 4, 4√2, 8, 8√2, 16, 16√2, 32, 32√2,...
c) determina-se a raiz quadrada de 2 em 1 unidade e elabora-se os produtos;
d) obtendo uma nova sequência numérica:
1, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 8, 16, 16, 32, 32
e) posteriormente, somam-se de dois em dois termos, e os resultado são colocados entre os termos em novas linhas, conforme o dispositivo numérico, abaixo.
Na verdade, obtem-se um triângulo de base e topo invertidos.
Uma das propriedades do Triângulo Numérico Invertido dos Arquitetos Medievais do Século X e que a razão entre os dois números finais (topo invertido):
8119 / 5741 = 1,414213552....
tem como resultado a raiz quadrada de 2 com uma aproximação de 7 casas decimais.
Uma outra importante propriedade do Triângulo Numérico Invertido dos Arquitetos Medievais do Século X é que as duas sequências de números da lateral esquerda são as mesmas do Algortimo da Escada de Theon para a extração da raiz quadrada de 2 (células laranjas).
| Triângulo Númerico Invertido | ||||||||||||||||||||||
| dos Arquitetos Medievais - século X | ||||||||||||||||||||||
| 1 | 1√2 | 2 | 2√2 | 4 | 4√2 | 8 | 8√2 | 16 | 16√2 | 32 | 32√2 | |||||||||||
| 1 | 1 | 2 | 2 | 4 | 4 | 8 | 8 | 16 | 16 | 32 | 32 | |||||||||||
| 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 12 | 16 | 24 | 32 | 48 | 64 | ||||||||||||
| 5 | 7 | 10 | 14 | 20 | 28 | 40 | 56 | 80 | 112 | |||||||||||||
| 12 | 17 | 24 | 34 | 48 | 68 | 96 | 136 | 192 | ||||||||||||||
| 29 | 41 | 58 | 82 | 116 | 164 | 232 | 328 | |||||||||||||||
| 70 | 99 | 140 | 198 | 280 | 396 | 560 | ||||||||||||||||
| 169 | 239 | 338 | 478 | 676 | 956 | |||||||||||||||||
| 408 | 577 | 816 | 1154 | 1632 | ||||||||||||||||||
| 985 | 1393 | 1970 | 2786 | |||||||||||||||||||
| 2378 | 3363 | 4756 | ||||||||||||||||||||
| 5741 | 8119 | |||||||||||||||||||||
| 13860 | ||||||||||||||||||||||
Fonte: adaptado de Square Root Calculations [7]
Autor: Ricardo Silva - julho/2023
[7] DENNIS, David and ADDINGTON, Susan. Square Root Calculations. http://quadrivium.info/MathInt/Notes/SquareRoots.pdf
[3] LAWLOR, Robert. Geometria Sagrada. Trad. Maria José Garcia Ripol: Edições del Prado, Madrid-Espanha, 1996
[5] PITOMBEIRA, João Bosco, ROQUE, Tatiana. Tópicos de História da Matemática. Edição Digital
[6] PITOMBEIRA, João Bosco. A raiz quadrada ao longo dos séculos. V Bienal da SBM -
Sociedade Brasileira de Matemática -
UFPB - Universidade Federal da Para´ıba
18 a 22 de outubro de 2010
[6]SILVA, Andreilson Oliveira da. O Cálculo da Raiz Quadrada Através dos Séculos. Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Departamento de Matemática Mestrado Pro ssional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT. João Pessoa - PB. 2013
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
[4] TANTON, James. On The Square Root of Two and Theon’s Ladder. www.jamestanton.com
[1]https://es.wikipedia.org/wiki/
[2]https://www.matematicaparafilosofos.pt/
011-estudos-451-triangulos-numericos-arquitetos-medievais-extracao-de-raizes-quadradas
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