“A geometria tem dois grandes tesouros: um é o teorema de Pitágoras, e o outro é a divisão de um segmento em média e extrema razão. O primeiro pode ser comparado a uma medida de ouro; o segundo podemos chamar de joia preciosa.”
Johannes Kepler - Astrônomo e matemático alemão.
Há uma outra famosa frase que diz "Todos os caminhos levam a Roma" a qual podemos refletir de várias maneiras, por exemplo, se temos algum problema, quantas são as soluções para podermos resolvê-lo.
Nos livros de matemática do ensino médio, na parte de geometria, onde envolve problemas relacionados à sólidos geométricos, polígonos, circunferências, etc., o Teorema de Pitágoras e a Trigonometria são os métodos ensinados para resolvê-los.
Os estudos, as matérias, bem como, os livros digitais divulgados aqui no WebSite Os Fántasticos Números Primos são frutos de curiosidades após ter lido o artigo do Professor Luiz Barco "A Inesgotável Fonte dos Números Primos" na Revista Superinteressante.
Na resolução de cálculos envolvendo triângulo retângulo, diagonal do quadrado, diagonal do retângulo, encontrou-se "outros caminhos", isto é, novas fórmulas e métodos variantes do Teorema de Pitágoras e que estão publicados no livro digital O Triângulo Retângulo que está disponível gratuitamente aqui no WebSite Os Fantáticos Numeros Primos - Seções: Livros e Pedido.
Veja abaixo, matérias relacionadas.
Há alguns anos atrás, tive a o oportunidade de assistir a palestra ao ar livre, perto do Metrô Barra Funda - São Paulo, do Professor Márcio Barbosa, onde apresentava diversas técnicas rápidas de cálculos aritméticos e algébricos.
No seu canal no You Tube - Matemática com o Professor Márcio Barbosa, o professor apresenta um vídeo de cálculos envolvendo medidas dos lados de um triângulo sem Teorema de Pitágoras.
Recentemente, no Canal Matematécnica Para Concursos, há também demonstrações de como se determinar medidas de catetos sem utilização do Teorema de Pitágoras semelhantes às do Professor Márcio Barbosa.
Realmente as técnicas demonstradas são de fáceis aplicações em triângulo retângulo, ai veio a pergunta, como calcular a hipotenusa sem o Teorema de Pitágoras utilizando apenas cálculos aritméticos, será que é possível?
No livro digital Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas é demonstrado que cada Terno Pitagórico Primitivo gerado pelas Fórmulas de Euclides está relacionado com números triangulares, isto é, a ordem / posição de um Terno Pitagórico Primitivo é um número triangular.
Analisando as técnicas utilizadas acima dos referidos professores com os estudos do livro digital Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas, tive uma grande surpresa, de que cálculos numéricos envolvendo as medidas dos lados de triângulo retângulo formados por Ternos Pitagóricos possuem também padrões e regularidades com a sequência de números triangulares com as quais são possíveis se determinar a medida da hipotenusa sem o Teorema de Pitágoras.
A seguinte tabela apresenta os 15 primeiros ternos pitagóricos e, entre eles, os destacados em amarelo, que são os Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular.
Ternos Pitagóricos de Ordem Triangular são de ordens / posições de números triangulares.
1, 3, 6, 10, 15,... são números triangulares.
| Ternos Pitagóricos | |||
| e números triangulares | |||
| posição / | Ternos | ||
| ordem | Pitagóricos | ||
| 1 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 8 | 6 | 10 |
| 3 | 5 | 12 | 13 |
| 4 | 15 | 8 | 17 |
| 5 | 12 | 16 | 20 |
| 6 | 7 | 24 | 25 |
| 7 | 24 | 10 | 26 |
| 8 | 21 | 20 | 29 |
| 9 | 16 | 30 | 34 |
| 10 | 9 | 40 | 41 |
| 11 | 35 | 12 | 37 |
| 12 | 32 | 24 | 40 |
| 13 | 27 | 36 | 45 |
| 14 | 20 | 48 | 52 |
| 15 | 11 | 60 | 61 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||
Elaborando-se uma nova tabela somente com os Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular, obtem-se uma nova ordem / posição para os mesmos.
Esta nova ordem é um dos elementos que serão utilizados em cálculos para se determinar a hipotenusa em um Triângulo Retângulo Pitagórico.
Observação: subtraindo-se 1 unidade do cateto menor e dividindo-se por 2, obtem-se a ordem / posição do Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular.
Exemplos:
(3 - 1) / 2 = 1
(5 - 1) / 2 = 2
(7 - 1) / 2 = 3
| Ternos Pitagóricos | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| de ordem Triangular | |||||
| ordem / | catetos | soma dos | produto | ||
| posição | menor | maior | hipotenusa | lados do | catetos |
| Triângulo | |||||
| c | b | a | |||
| 1 | 3 | 4 | 5 | 12 | 12 |
| 2 | 5 | 12 | 13 | 30 | 60 |
| 3 | 7 | 24 | 25 | 56 | 168 |
| 4 | 9 | 40 | 41 | 90 | 360 |
| 5 | 11 | 60 | 61 | 132 | 660 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
| Terno Pitagórico 3-4-5 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| ordem/ | catetos | hipotenusa | soma dos | produto | |
| posição | menor | maior | lados do | catetos | |
| Triângulo | |||||
| c | b | a | |||
| 1 | 3 | 4 | 5 | 12 | 12 |
Em um triângulo retângulo cujo cateto maior mede 4 unidades e a hipotenusa 5 unidades. Qual é a medida do cateto menor?
a) subtrai-se o cateto maior da hipotenusa;
5 - 4 = 1
b) soma-se o cateto maior e hipotenusa;
5 + 4 = 9
c) multiplica-se a diferença e a soma;
1 x 9 = 9
d) extrai-se a raiz quadrada;
√9 = 3
Solução: 3 é a medida do cateto menor.
a) subtrai-se o cateto maior da hipotenusa;
5 - 4 = 1
extrai-se a raiz quadrada;
√1 = 1
b) soma-se o cateto maior e hipotenusa;
5 + 4 = 9
extrai-se a raiz quadrada;
√9 = 3
c) multiplica-se a diferença e a soma;
1 x 3 = 3
Solução: 3 é a medida do cateto menor.
| Terno Pitagórico 3-4-5 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| ordem/ | catetos | hipotenusa | soma dos | produto | |
| posição | menor | maior | lados do | catetos | |
| Triângulo | |||||
| c | b | a | |||
| 1 | 3 | 4 | 5 | 12 | 12 |
Em um triângulo retângulo cujo cateto menor mede 3 unidades e a hipotenusa 5 unidades. Qual é a medida do cateto maior?
a) subtrai-se o cateto menor da hipotenusa;
5 - 3 = 2
b) soma-se o cateto menor e hipotenusa;
5 + 3 = 8
c) multiplica-se a diferença e a soma;
2 x 8 = 16
d) extrai-se a raiz quadrada;
√16 = 4
Solução: 4 é a medida do cateto menor.
Os cálculos utilizados para se determinar a hipotenusa em Triângulo Pitagórico tem como base pesquisas, estudos e matérias do WebSite Os Fantásticos Números Primos, bem como, os conteúdos dos livros digitais aqui divulgados.
Acredito ser este algorítmo inédito, pois até momento, não se verificou matérias semelhantes publicadas em livros, artigos, teses ou outros estudos relacionados a cálculos de lados de Triângulos Retângulos, bem como, em alguns livros do ensino fundamental e médio.
| Terno Pitagórico 3-4-5 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| ordem/ | catetos | hipotenusa | soma dos | produto | |
| posição | menor | maior | lados do | catetos | |
| Triângulo | |||||
| c | b | a | |||
| 1 | 3 | 4 | 5 | 12 | 12 |
Em um triângulo retângulo cujo cateto menor mede 3 unidades e o cateto maior 4 unidades. Qual é a medida da hipotenusa?
a) soma-se o cateto menor com o cateto maior;
3 + 4 = 7
b) multiplica-se o cateto menor pelo cateto maior;
3 x 4 = 12
c) dividi-se o produto dos catetos pela nova ordem do terno pitagórico 3-4-5, neste caso é o número 1;
12 : 1 = 12
A soma dos lados do triângulo, neste caso é igual ao produto dos catetos.
d) subtrai-se a soma dos catetos da soma dos lados do triângulo;
12 - 7 = 5
Solução: 5 é a medida da hipotenusa.
| Ternos Pitagóricos | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| de ordem Triangular | |||||
| ordem / | catetos | soma dos | produto | ||
| posição | menor | maior | hipotenusa | lados do | catetos |
| Triângulo | |||||
| c | b | a | |||
| 2 | 5 | 12 | 13 | 30 | 60 |
a) soma dos catetos;
5 + 12 = 17
b) produto dos catetos;
5 x 12 = 60
c) produto dos catetos dividido pela ordem / posição do terno pitagórico 5-12-13;
60 : 2 = 30
d) soma dos catetos subtraído da soma dos lados do triângulo.
e) 30 - 17 = 13
Solução: 13 é a medida da hipotenusa.
Partes das etapas do método descrito acima para se saber a hipotenusa também pode ser utilizadas para se saber o raio de circunferência inscrita em triângulo retângulo pitagórico.
O produto dos catetos dividido pela soma dos lados do triângulo (perímetro) têm como resultado o raio da circunferência inscrita em triângulo retângulo pitagórico de ordem / posição triangular representada pela seguinte fórmula:
| cb | ||
| _______ | = | r |
| a + b + c |
Observação importante:
Em 2023, recebi do Professor Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá), o seu livro Desvendando os segredos do triângulo retângulo e descobrindo curiosidades até hoje não conhecidas e para minha surpresa nas páginas 60 a 63, o Professor utiliza a seguinte fórmula:
| ab | |||
| r | = | _______ | |
| a + b + c |
para comprovar os resultados de suas próprias fórmulas.
O produto dos catetos dividido pela soma dos lados do triângulo (perímetro) têm como resultado o raio da circunferência inscrita
a) produto do catetos;
3 x 4 = 12
b) soma dos lados do triângulo;
3 + 4 + 5 = 12
c) produto dos catetos dividido pela soma dos lados do triângulo (perímetro);
12 : 12 = 1
1 é a medida do raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo pitagórico 3-4-5, como também é a ordem / posição do Terno Pitagórico 3-4-5.
O produto dos catetos dividido pela soma dos lados do triângulo (perímetro) têm como resultado o raio da circunferência inscrita
a) produto do catetos;
5 x 12 = 60
b) soma dos lados do triângulo;
5 + 12 + 13 = 30
c) produto dos catetos dividido pela soma dos lados do triângulo (perímetro);
60 : 30 = 2
2 é a medida do raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo pitagórico 5-12-13, como também é a ordem / posição do Terno Pitagórico 5-12-13.
O produto dos catetos dividido pela soma dos lados do triângulo (perímetro) têm como resultado o raio da circunferência inscrita
a) produto do catetos;
7 x 24 = 168
b) soma dos lados do triângulo;
7 + 24 + 25 = 56
c) produto dos catetos dividido pela soma dos lados do triângulo (perímetro);
168 : 56 = 3
3 é a medida do raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo pitagórico 7-24-25, como também é a ordem / posição do Terno Pitagórico 7-24-25.
O WebSite Os Fantásticos Números Primos lança um desafio a você estimado visitante: de elaborar um algorítmo totalmente novo (fórmulas numéricas) para se determinar a hipotenusa em triângulos pitagóricos, isto é, diferentes das apresentadas aqui no WebSite e das referências bibliograficas.
Enviando o seu estudo e modelo matemático da sua solução, para o nosso e:mail:
contato@osfantasticos
você receberá como cortesia:
O livro digital OS FANTÁSTICOS NÚMEROS PRIMOS
Veja a matérias:
011-estudos-286-triangulo-pitagorico-calculos-de-catetos-hipotenusa
011-estudos-287-triangulos-pitagoricos-primitivos-calculos-numericos
011-estudos-288-triangulos-pitagoricos-derivados-calculos-numericos
011-estudos-289-triangulos-pitagoricos-primitivos-nao-triangulares-calculos-numericos
sobre resoluções de triângulos pitagóricos.
Autor: Ricardo Silva - setembro/2020
atualizado em junho /2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
SPARKS, John C. The Pythagorean Theorem Crown Jewel of Mathematics. Bloomington, Indiana, EUA, 2008: AuthorHouse
Canal YouTube - Matemática com Professor Márcio Barbosa - Vídeo: - Geometria Teorema de Pitágoras
Canal YouTube - Matematécnica para Concursos - Vídeo: Pitágoras - descobrir um cateto em 10 segundo saiba como?
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