Três são os pontos notáveis em um triângulo retângulo:
Ortocentro,
Incentro e
Baricentro.
Incentro de um triângulo é o ponto onde as três bissetrizes se cruzam e que também é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
Bissetriz de um triângulo é o segmento de reta que parte de um vértice, dividindo o ângulo interno em duas partes, até o lado oposto desse vértice.
Todo triângulo possuem três bissetrizes que se cruzam em um mesmo ponto, chamado de Incentro.
Triângulos Retângulos Pitagóricos são triângulos retângulos formados por conjuntos de três números inteiros que possuem relação com o Teorema de Pitágoras: a²=b²+c², os quais são denominados de Ternos Pitagóricos.
O presente estudo demonstra fórmulas e métodos de saber o raio e diâmetro de circunferência inscrita em Triângulo Retângulo Pitagórico.
Circunferência inscrita em Triângulo Retângulo Pitagórico também possui propriedade especial, pois tanto o seu raio quanto o seu diâmetro são constituídos por números inteiros os quais tem relação com terno pitagórico e a sua ordem / posição de número triangular.
A tabela abaixo apresenta os 15 primeros Ternos Pitagóricos gerados por meio das Fórmulas de Euclides:
a = m² - n²
b = 2mn
c = m² + n²
onde:
m > n (m tem que ser maior que n)
m e n tem que ser primos entre si
Observação importante:
As Fórmulas de Euclides não geram ternos pitagóricos derivados ímpares.
As Fórmulas de Euclides geram ternos pitagóricos derivados da seguinte forma: o dobro, do dobro, do dobro, do dobro e assim sucessivamente de um terno pitagórico primitivo.
Exemplos de Ternos Pitagóricos derivados do terno 3 - 4 - 5:
6 - 8 - 10;
12 - 16 - 20;
24 - 32 - 40...
Os ternos pitagóricos em destaque (cor amarelo) são Ternos Pitagóricos Primitivos de ordem triangular, isto é, suas ordens / posições correspondem a números triangulares, que são a base de estudos publicados no livro digital Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas.
Com ternos pitagóricos são possíveis de se contruirem infinitos triângulos retângulos de lados com números inteiros.
| Tabela 1 | |||
| Posições de Ternos Pitagóricos | |||
| posição/ | |||
| ordem | Ternos Pitagóricos | ||
| 1 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 8 | 6 | 10 |
| 3 | 5 | 12 | 13 |
| 4 | 15 | 8 | 17 |
| 5 | 12 | 16 | 20 |
| 6 | 7 | 24 | 25 |
| 7 | 24 | 10 | 26 |
| 8 | 21 | 20 | 29 |
| 9 | 16 | 30 | 34 |
| 10 | 9 | 40 | 41 |
| 11 | 35 | 12 | 37 |
| 12 | 32 | 24 | 40 |
| 13 | 27 | 36 | 45 |
| 14 | 20 | 48 | 52 |
| 15 | 11 | 60 | 61 |
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A Tabela 2 apresenta o Terno Pitagórico Primitivo 3-4-5 e os seus 3 primeros ternos pitagóricos derivados.
O fator de multiplicação é ao mesmo tempo uma potência de base 2 que multiplicados por 3-4-5 geram ternos derivados que são o dobro, do dobro, do dobro do terno primitivo.
Esses fatores são os elementos que determinam também as medidas dos raios e diâmetros nas circunferências inscritas em triângulos retângulos pitagóricos.
Os fatores de multiplicação (potências de base 2) ao mesmo tempo se referem a ordem / posição de cada terno pitagórico derivado do Terno Pitagórico 3-4-5 e também é a diferença entre os respectivos termos de cada terno pitagórico.
Diferença entre os termos do Terno Pitagórico 3-4-5
5 - 4 = 1
4 - 3 = 1
Diferença entre os termos do Terno Pitagórico 6-8-10
10 - 8 = 2
8 - 6 = 2
| Tabela 2 | |||
| Terno Pitagórico 3-4-5 | |||
| e derivados | |||
| fator de | catetos | ||
| multiplicação | menor | maior | hipotenusa |
| potências | |||
| de base 2 | |||
| 1 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 6 | 8 | 10 |
| 4 | 12 | 16 | 20 |
| 8 | 24 | 32 | 40 |
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Conforme a Figura 293-02, observa-se que as medidas dos raios e diâmetros das circunferências inscritas nos triângulos pitagóricos derivados do terno 3-4-5 apresentam correspondências com cada fator de multiplicação pois:
a) as medidas dos raios são potências de base 2;
b) os diâmetros são os dobros de potências de base 2.
O diâmetro é 1/2 do cateto maior
Triângulo Retângulo Pitagórico 3-4-5:
4 : 2 = 2
Triângulo Retângulo Pitagórico 6-8-10:
8 : 4 = 2
Triângulo Retângulo Pitagórico 12-16-20:
16 : 8 = 2
O raio é 1/3 do cateto menor.
Triângulo Retângulo Pitagórico 3-4-5:
3 : 1 = 3
Triângulo Retângulo Pitagórico 6-8-10:
6 : 2 = 3
Triângulo Retângulo Pitagórico 12-16-20:
12 : 4 = 3
O raio é 1/5 da hipotenusa.
Triângulo Retângulo Pitagórico 3-4-5:
5 : 1 = 5
Triângulo Retângulo Pitagórico 6-8-10:
10 : 2 = 5
Triângulo Retângulo Pitagórico 12-16-20:
20 : 4 = 5
Triângulo Retângulo Pitagórico 3-4-5:
3 + 2 = 5
Triângulo Retângulo Pitagórico 6-8-10:
6 + 4 = 10
Triângulo Retângulo Pitagórico 12-16-20:
12 + 8 = 20
Triângulo Retângulo Pitagórico 3-4-5:
4 + 1 = 5
Triângulo Retângulo Pitagórico 6-8-10:
8 + 2 = 10
Triângulo Retângulo Pitagórico 12-16-20:
16 + 4 = 20
Triângulo Retângulo Pitagórico 3-4-5:
2 + 1 = 3
Triângulo Retângulo Pitagórico 6-8-10:
4 + 2 = 6
Triângulo Retângulo Pitagórico 12-16-20:
8 + 4 = 12
A Tabela 3 apresenta os 5 primeiros Ternos Pitagóricos Primitivos de ordem triangular.
| Tabela 3 | |||
| Ternos Pitagóricos | |||
| de ordem Triangular | |||
| ordem / | catetos | ||
| posição | menor | maior | hipotenusa |
| 1 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 5 | 12 | 13 |
| 3 | 7 | 24 | 25 |
| 4 | 9 | 40 | 41 |
| 5 | 11 | 60 | 61 |
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O segundo terno pitagórico primitivo é 5-12-13.
A sua ordem / posição é de número 2.
A medida do raio da circunferência circunscrita no triângulo retângulo pitagórico 5-12-13 é 2.
A medida do diâmentro da circunferência circunscrita no triângulo retângulo pitagórico 5-12-13 é 4.
O terceiro terno pitagórico primitivo é 7-24-25.
A sua ordem / posição é de número 3.
| Tabela 4 | |||
| Ternos Pitagóricos | |||
| de ordem Triangular | |||
| posição/ | catetos | ||
| ordem | menor | maior | hipotenusa |
| 1 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 5 | 12 | 13 |
| 3 | 7 | 24 | 25 |
| 4 | 9 | 40 | 41 |
| 5 | 11 | 60 | 61 |
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A medida do raio da circunferência circunscrita no triângulo retângulo pitagórico 7-24-25 é 3.
A medida do diâmentro da circunferência circunscrita no triângulo retângulo pitagórico 5-12-13 é 6.
A Fórmula do Raio da circunferência inscrita em triângulo retângulo, a seguir, foi apresentada na vídeo-aula do Professor Fábio Machado Foncesca do Delta Medicina Online, postada no YouTube em janeiro de 2021, em setembro de 2021.
Segundo o Professor, está fórmula é exclusiva para triângulo retângulo e o interessante, sendo ela exclusiva para triângulo retângulo, é uma forma de comprovar a relação entre Terno Pitagórico e a sua ordem / posição com a medida do raio da circunferência inscrita em triângulo retângulo pitagórico.
A metade da soma dos catetos menos a hipotenusa é igual ao raio da circunferência inscrita num triângulo retângulo pitagórico.
Fonte: https://www.youtube.com
i) 5 = 4 - r + 3 - r
ii) 5 = -2r + 4 + 3
iii) 2r = (4 +3) - 5
iv) 2r = 7 - 5
v) r = 2/2
vi) r = 1
i) 13 = 12 - r + 5 - r
ii) 13 = -2r + 12 + 5
iii) 2r = (12 +5) - 13
iv) 2r = 17 - 13
v)r = 4/2
vi) r = 2
i) 25 = 24 - r + 7 - r
ii) 25 = -2r + 24 + 7
iii) 2r = (24 +7) - 25
iv) 2r = 31 - 25
v) r = 6/2
vi) r = 3
Uma das fórmulas para se calcular a área de uma região triangular é a Fórmula de Heron de Alexandria (? - 50 a.C), matemático e inventor grego.
Tendo as medidas do catetos: base e altura de um triângulo, podemos conhecer a sua área usando a fórmula usual:
Exemplo: Triângulo Pitagórico 3-4-5
| b.h | ||
| A | = | _____ |
| 2 |
i) A = ( 4 x 3 ) / 2
ii) A = 12 / 2
ii) A = 6
Tendo-se as 3 medidas dos lados de um triângulo, calcula-se o semiperímetro e posteriormente a área:
Exemplo: Triângulo Pitagórico 3-4-5
| a + b + c | ||
| p | = | _________ |
| 2 |
i) p = ( 5 + 4 + 3 ) / 2
ii) p = 12 / 2
iii) p = 6
A área (A) é igual a raiz quadrada do produto do semiperímetro pelas diferenças do semiperímetro por cada lado do triângulo.
| A | = | √p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) |
i) A = √6 (6-5) (6-4) (6-3)
ii) A = √6 (1) (2) (3)
iii) A = √6 (6)
iv) A = √36
v) A = 6
A partir de cálculos de área, perímetro e semiperímetro num triângulo retângulo podemos obter diversas relações com circunferência inscrita no próprio triângulo retângulo:
Exemplo: Triângulo Pitagórico 3-4-5
área = 6
Perímetro = 12
semiperímetro = 6
a) o quociente da área pelo semiperímetro num triângulo retângulo tem como resultado o raio da circunfência inscrita:
| r = A : p |
6 : 6 = 1
b) o produto do semiperímetro pelo raio da circunfência inscrita num triângulo retângulo tem como resultado a área:
| A = p . r |
6 = 6 . 1
O produto dos catetos dividido pela soma dos lados do triângulo retângulo (perímetro) têm como resultado o raio da circunferência inscrita em triângulo retângulo pitagórico de ordem / posição triangular representada pela seguinte fórmula:
| cb | ||
| _______ | = | r |
| a + b + c |
Observação importante:
Em 2023, recebi do Professor Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá), o seu livro Desvendando os segredos do triângulo retângulo e descobrindo curiosidades até hoje não conhecidas e para minha surpresa nas páginas 60 a 63, o Professor utiliza a seguinte fórmula:
| ab | |||
| r | = | _______ | |
| a + b + c |
para comprovar os resultados de suas próprias fórmulas.
Semiperímetro menos a hipotenusa têm como resultado o raio da circunferência inscrita em triângulo retângulo pitagórico.
a) semiperímetro
(3 + 4 + 5) / 2 = 6
b) semiperímetro menos hipotenusa
6 - 5 = 1
1 é a medida do raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo pitagórico 3-4-5, como também é a ordem / posição do Terno Pitagórico 3-4-5.
Interessante observar que:
c) a soma do semiperímetro com o raio da circunferência é igual a soma dos catetos;
1 + 6 = 3 + 4
d) e a diferença entre os catetos do terno primitivo sucessor 5-12-13;
12 - 5 = 7
a) semiperímetro
(5 + 12 + 13) / 2 = 15
b) semiperímetro menos hipotenusa
15 - 13 = 2
2 é a medida do raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo pitagórico 5-12-13, como também é a ordem / posição do Terno Pitagórico 5-12-13.
Interessante observar que:
c) a soma do semiperímetro com o raio da circunferência é igual a soma dos catetos;
15 + 2 = 5 + 12
d) e a diferença entre os catetos do terno primitivo sucessor 7-24-25;
24 - 7 = 17
a) semiperímetro
(7 + 24 + 25) / 2 = 28
b) semiperímetro menos hipotenusa
28 - 25 = 3
3 é a medida do raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo pitagórico 5-12-13, como também é a ordem / posição do Terno Pitagórico 5-12-13.
Interessante observar que:
c) a soma do semiperímetro com o raio da circunferência é igual a soma dos catetos;
28 + 3 = 7 + 24
d) e a diferença entre os catetos do terno primitivo sucessor 9-40-41;
40 - 9 = 31
Autor: Ricardo Silva - outubro/2020
atualizado em junho/2026
NASCIMENTO, Sebastião Vieira do. Desvendando os segredos do triângulo retângulo e descobrindo curiosidades até hoje não conhecidas. Rio de Janeiro: Gramma, 2018
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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