Números figurados ou números poligonais são números que podem ser modelados por meio de arranjos de pontos representando figuras geométricas regulares.
Os números figurados podem ser classificados como números lineares, planos e sólidos.
Os números lineares são os que se apresentam em uma só dimensão.
Os números planos são os que podem representar figuras geométricas em duas dimensões: triângulos, quadrados, pentagonos, etc.
O números sólidos são os que podem representar figuras geométricas em três dimensões.
O presente estudo demonstra que a partir da sequência de números triangulares podem-ser obtidas diversas outras sequências de números poligonais bem como sequências numéricas intercaladas entre números poligonais.
A partir do número 1 e somando-se sempre a mesma razão de 1 (unidade) formamos a sequência de números naturais.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |||||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Pode-se obter números triangulares através:
a) da soma de números naturais consecutivos.
1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
b) de arranjos de pontos;
c) da fórmula algébrica em que o produto de dois números consecutivos dividido por tem como resultado um número triangular.
| n x ( n + 1) |
| _______ |
| 2 |
A partir do número 1 e somando-se sempre a mesma razão de 2 (unidades) formamos a sequência de números ímpares.
| 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | |||||||
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
Pode-se obter números quadrados perfeitos através:
a) da soma de números ímpares consecutivos.
1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
b) da soma de dois números triangulares consecutivos.
1 + 3 = 4
3 + 6 = 9
6 + 10 = 16
c) da multiplicação de um número por ele mesmo;
1 x 1 = 1
2 x 2 = 4
3 x 3 = 9
d) elevando-se um número ao expoente 2.
12 = 1
22 = 4
32 = 9
e) de arranjos de pontos;
A partir do número 1 e somando-se sempre a mesma razão de 3 (unidades) formamos a seguinte sequência numérica na qual está inserida a sequência de números triangulares centrados.
| 1 | 4 | 7 | 10 | 13 | 16 | 19 | 22 | |||||||
| 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
Utilizando as fórmulas algébricas:
Fórmula 1
| an = 3n - 2 |
Fórmula 2
| 3 { n (n + 1) } + 1 |
| _______ |
| 2 |
Partindo-se de um ponto central, os demais triângulos são formados marcando-se os vértices e posteriormente distribuindo os pontos em seus lados de forma que os triângulos fiquem equidistantes.
Pode-se obter a sequência de números figurados pentagonais através:
a) da soma consecutiva de números da sequência numérica que forma a sequência de números figurados triangulares centrados.
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28,..
1
1 + 4 = 5
1 + 4 + 7 = 12
1 + 4 + 7 + 10 = 22
1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35
b) da seguinte fórmula algébrica.
| 3n2 - n |
| _______ |
| 2 |
c) de arrajos de pontos.
partindo-se de um dos vértices, os pontos são alocados nos próprios vértices e posteriormente distribuídos formandos os lados dos pentágonos.
A partir do número 1 e somando-se sempre a mesma razão de 4 (unidades) forma-se a seguinte sequência numérica na qual está inserida a sequência de números figurados quadrados centrados.
| 1 | 5 | 9 | 13 | 17 | 21 | 25 | 29 | |||||||
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
Utilizando fórmulas algébricas:
Fórmula 1
| an = 4n - 3 |
Fórmula 2
| 4 { n (n + 1) } + 1 |
| _______ |
| 2 |
Partindo-se de um ponto central, os demais quadrados são formados marcando-se os vértices e posteriormente distribuindo os pontos em seus lados de forma que os quadrados fiquem equidistantes.
Pode-se obter números figurados hexagonais através:
a) da soma consecutiva de números da sequência numérica que forma a sequência de números figurados quadrados centrados.
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, ...
1
1 + 5 = 6
1 + 5 + 9 = 15
1 + 5 + 9 + 13 = 28
1 + 5 + 9 + 13 + 17 = 35
b) da seguinte fórmula algébrica.
| 2n2 - n |
c) de arranjos de pontos;
Partindo-se de um dos vértices, os pontos são alocados nos próprios vértices e posteriormente distribuídos formandos os lados dos hexágonos.
Partindo-se de um ponto central, os demais hexágonos são formados marcando-se os vértices e posteriormente distribuindo os pontos em seus lados de forma que os hextágonos fiquem equidistantes.
Através do produto do número 6 por número triangular somado de 1 unidade;
| 6 { n (n + 1) } + 1 |
| _______ |
| 2 |
A seguinte tabela contêm as primeiras 45 sequências dos números figurados triangulares, quadrados, pentagonais e hexagonais.
A disposição de números figurados em tabela proporciona o estudo de suas propriedades numéricas bem com regularidades entre os números triagulares com os demais números poligonais.
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| Tabela de Números Figurados | ||||
|---|---|---|---|---|
| (Números Poligonais) | ||||
| número | número | número | número | |
| ordem | triangular | quadrado | pentagonal | hexagonal |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 10 | 16 | 22 | 28 |
| 5 | 15 | 25 | 35 | 45 |
| 6 | 21 | 36 | 51 | 66 |
| 7 | 28 | 49 | 70 | 91 |
| 8 | 36 | 64 | 92 | 120 |
| 9 | 45 | 81 | 117 | 153 |
| 10 | 55 | 100 | 145 | 190 |
| 11 | 66 | 121 | 176 | 231 |
| 12 | 78 | 144 | 210 | 276 |
| 13 | 91 | 169 | 247 | 325 |
| 14 | 105 | 196 | 287 | 378 |
| 15 | 120 | 225 | 330 | 435 |
| 16 | 136 | 256 | 376 | 496 |
| 17 | 153 | 289 | 425 | 561 |
| 18 | 171 | 324 | 477 | 630 |
| 19 | 190 | 361 | 532 | 703 |
| 20 | 210 | 400 | 590 | 780 |
| 21 | 231 | 441 | 651 | 861 |
| 22 | 253 | 484 | 715 | 946 |
| 23 | 276 | 529 | 782 | 1035 |
| 24 | 300 | 576 | 852 | 1128 |
| 25 | 325 | 625 | 925 | 1225 |
| 26 | 351 | 676 | 1001 | 1326 |
| 27 | 378 | 729 | 1080 | 1431 |
| 28 | 406 | 784 | 1162 | 1540 |
| 29 | 435 | 841 | 1247 | 1653 |
| 30 | 465 | 900 | 1335 | 1770 |
| 31 | 496 | 961 | 1426 | 1891 |
| 32 | 528 | 1024 | 1520 | 2016 |
| 33 | 561 | 1089 | 1617 | 2145 |
| 34 | 595 | 1156 | 1717 | 2278 |
| 35 | 630 | 1225 | 1820 | 2415 |
| 36 | 666 | 1296 | 1926 | 2556 |
| 37 | 666 | 1369 | 2035 | 2701 |
| 38 | 703 | 1444 | 2147 | 2850 |
| 39 | 741 | 1521 | 2262 | 3003 |
| 40 | 780 | 1600 | 2380 | 3160 |
| 41 | 820 | 1681 | 2501 | 3321 |
| 42 | 861 | 1764 | 2625 | 3486 |
| 43 | 903 | 1849 | 2752 | 3655 |
| 44 | 946 | 1936 | 2882 | 3828 |
| 45 | 990 | 2025 | 3015 | 4005 |
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Cada sequência numérica em cada linha da Tabela de Números Figurados tem como razão (diferença) um número triangular anterior.
A razão entre os números 3, 4, 5, 6 é o número triangular 1.
| Tabela de Números Figurados | ||||
|---|---|---|---|---|
| (Números Poligonais) | ||||
| número | número | número | número | |
| ordem | triangular | quadrado | pentagonal | hexagonal |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
A média aritmética do produto de dois números consecutivos é um número triangular.
| 2 x 3 | 6 | |||
| ____ | = | ____ | = | 3 |
| 2 | 2 |
O fator 2 indica a ordem do triangular 3.
O número 3 é o segundo número triangular.
Somando-se o triangular 3 + 1, obtem-se o quadrado 4.
Somando-se o triangular 3 + 2, obtem-se o pentagonal 5.
Somando-se o triangular 3 + 3, obtem-se o hexagonal 6.
e assim sucessivamente...
Interessante observar que na linha 2 forma a sequência de números naturais, começando pelo 3: 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, 10,...
A razão entre os números 6, 9, 12, 15 é o número triangular 3.
| Tabela de Números Figurados | ||||
|---|---|---|---|---|
| (Números Poligonais) | ||||
| número | número | número | número | |
| ordem | triangular | quadrado | pentagonal | hexagonal |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
O produto de dois números consecutivos dividido por 2 tem como resultado um número triangular.
| 3 x 4 | 12 | |||
| ____ | = | ____ | = | 6 |
| 2 | 2 |
O fator 3 indica a ordem do triangular 6.
O número 6 é o terceiro número triangular.
Somando-se o triangular 6 + 3, obtem-se o quadrado 9.
Somando-se o triangular 6 + 6, obtem-se o pentagonal 12.
Somando-se o triangular 6 + 9, obtem-se o hexagonal 15.
e assim sucessivamente...
Interessante observar que na linha 3 formam múltiplos de 3, começando pelo triangular 6: 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30,...
A razão entre os números 10, 16, 22, 28 é o número triangular 6.
| Tabela de Números Figurados | ||||
|---|---|---|---|---|
| (Números Poligonais) | ||||
| número | número | número | número | |
| ordem | triangular | quadrado | pentagonal | hexagonal |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 10 | 16 | 22 | 28 |
O produto de dois números consecutivos dividido por 2 tem como resultado um número triangular.
| 4 x 5 | 20 | |||
| ____ | = | ____ | = | 10 |
| 2 | 2 |
O fator 4 indica a ordem do triangular 10.
O número 10 é o quarto número triangular.
Somando-se o triangular 10 + 6, obtem-se o quadrado 16.
Somando-se o triangular 10 + 12, obtem-se o pentagonal 22.
Somando-se o triangular 10 + 18, obtem-se o hexagonal 28.
e assim sucessivamente...
Interessante observar que na linha 4 formam múltiplos de 4 intercalados: 16, 28, 40, 52, 64,...
A soma de número triangular com um múltiplo de seu antecessor tem como resultado um número poligonal.
A soma de um número triangular com o seu antecessor multiplicado por 1 (um) tem como resultado um número quadrado perfeito.
| Soma de um número triangular | ||
|---|---|---|
| com um múltiplo de seu antecessor | ||
| número | número | |
| triangular | quadrado | |
| 1 | 1 | |
| 3 + (1 x 1) | = | 4 |
| 6 + ( 3 x 1) | = | 9 |
| 10 + (6 x 1) | = | 16 |
| 15 + (10 x 1) | = | 25 |
| 21 + ( 15 x 1) | = | 36 |
| 28 + ( 21 x 1) | = | 49 |
| 36 + ( 28 x 1) | = | 64 |
| 45 + ( 36 x 1) | = | 81 |
| 55 + ( 45 x 1) | = | 100 |
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A soma de um número triangular com o seu antecessor multiplicado por 2 (dois) tem como resultado um número pentagonal.
| Soma de um número triangular | ||
|---|---|---|
| com um múltiplo de seu antecessor | ||
| número | número | |
| triangular | pentagonal | |
| 1 | 1 | |
| 3 + (1 x 2) | = | 5 |
| 6 + ( 3 x 2) | = | 12 |
| 10 + (6 x 2) | = | 22 |
| 15 + (10 x 2) | = | 35 |
| 21 + ( 15 x 2) | = | 51 |
| 28 + ( 21 x 2) | = | 92 |
| 36 + ( 28 x 2) | = | 64 |
| 45 + ( 36 x 2) | = | 117 |
| 55 + ( 45 x 2) | = | 145 |
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A soma de um número triangular com o seu antecessor multiplicado por 3 (três) tem como resultado um número hexagonal.
| Soma de um número triangular | ||
|---|---|---|
| com um múltiplo de seu antecessor | ||
| número | número | |
| triangular | hexagonal | |
| 1 | 1 | |
| 3 + (1 x 3) | = | 6 |
| 6 + ( 3 x 3) | = | 15 |
| 10 + (6 x 3) | = | 28 |
| 15 + (10 x 3) | = | 45 |
| 21 + ( 15 x 3) | = | 66 |
| 28 + ( 21 x 3) | = | 91 |
| 36 + ( 28 x 3) | = | 120 |
| 45 + ( 36 x 3) | = | 153 |
| 55 + ( 45 x 3) | = | 190 |
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A soma de um número triangular com o seu antecessor multiplicado por 4 (quatro) tem como resultado um número heptagonal.
| Soma de um número triangular | ||
|---|---|---|
| com um múltiplo de seu antecessor | ||
| número | número | |
| triangular | heptagonal | |
| 1 | 1 | |
| 3 + (1 x 4) | = | 7 |
| 6 + ( 3 x 4) | = | 18 |
| 10 + (6 x 4) | = | 34 |
| 15 + (10 x 4) | = | 55 |
| 21 + ( 15 x 4) | = | 81 |
| 28 + ( 21 x 4) | = | 112 |
| 36 + ( 28 x 4) | = | 148 |
| 45 + ( 36 x 4) | = | 189 |
| 55 + ( 45 x 4) | = | 235 |
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Autor: Ricardo Silva - janeiro/2020
COTA, Adreia Caroline da Silva. Euler e os números pentagonais. Dissertação de Mestrado - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 2011
HUNTLEY, H.E. A divina proporção - Um Ensaio da Beleza Matemática - tradução de Luis Carlos Ascênio Nunes. Brasilia, Editora Universidade de Brasilia, 1985
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
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