Números figurados são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas como triângulos, quadrados, retângulos, pentágonos, hexágonos, etc...
Neste estudo é apresentado modelo matemático de quadrado formado por arranjos de pontos marcados em quantidades de números quadrado perfeitos ímpares em formato da letra L (éle) cuja diagonal secundária forma uma progressão aritmética de números ímpares de razão 4, isto é, a diferença entre os termos são de 4 unidades.
Números quadrados perfeitos podem ser obtidos através:
a) da soma de números ímpares consecutivos;
1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
e assim sucessivamente...
b) por meio de arranjos de pontos;
A partir do primeiro ponto, acrescenta-se sucessivamante quantidades ímpares de pontos.
Com o mesmo diagrama, pode-se fazer uma nova construção geométrica e encontrar outras sequências numéricas.
a) marca-se o ponto 1 - quadrado perfeito 1;
b) Conta-se a quantidade de pontos em formato da letra "L" (cor vermelha) invertido que seja um número quadrado perfeito, no exemplo, o quadrado perfeito 9.
c) Os próximos números quadrados a serem marcados são 25 e 49, aumentando-se o diagrama, consequentemente marcaríamos mais números quadrados.
Nesta pequena demonstração no diagrama acima, percebe-se que os números quadrados que aparecem são quadrados perfeitos ímpares.
Entre o quadrado 1 e 9 há 3 pontos (cor verde).
Entre o quadrado 9 e 25 há 7 pontos (cor laranja).
Entre o quadrado 25 e 49 há 11 pontos (cor azul).
A quantidade de pontos entre os números quadrados na diagonal são quantidades ímpares e formam uma sequência númérica de razão 4: 3, 7, 11, 15, 19, 23,...
exemplo 1)
Diferença entre o quadrado 9 e 1
9 - 1 = 8
Divide-se a diferença por 2
8 : 2 = 4
Subtrai-se 1 da metade a diferença
4 - 1 = 3
(3 é a quantidade de pontos entre 1 e 9 na diagonal secundária)
exemplo 2)
Diferença entre o quadrado 25 e 9
25 - 9 = 16
Divide-se a diferença por 2
16 : 2 = 8
Subtrai-se 1 da metade a diferença
8 - 1 = 7
(7 é a quantidade de pontos entre 9 e 25 na diagonal secundária)
exemplo 3)
Diferença entre o quadrado 49 e 25
49 - 25 = 24
Divide-se a diferença por 2
24 : 2 = 12
Subtrai-se 1 da metade a diferença
12 - 1 = 11
(11 é a quantidade de pontos entre 25 e 49 na diagonal secundária)
Elaborando-se uma tabela, verifica-se que:
a) a diferença entre quadrados ímpares são números múltiplos de 8 (Coluna C);
b) a quantidade de pontos entre dois quadrados ímpares na diagonal do diagrama é um números ímpar e formam a sequência númerica: 3, 7, 11, 15, 19, ..., etc... (Coluna E).
| Diferença entre | ||||
|---|---|---|---|---|
| números quadrados perfeitos | ||||
| Número | Quadrado | Diferença | Metade | Metade |
| da | menos | |||
| diferença | 1 unidade | |||
| C | E | |||
| 1 | 1 | 8 | 4 | 3 |
| 3 | 9 | 16 | 8 | 7 |
| 5 | 25 | 24 | 12 | 11 |
| 7 | 49 | 32 | 16 | 15 |
| 9 | 81 | 40 | 20 | 19 |
| 11 | 121 | 48 | 24 | 23 |
| 13 | 169 | 56 | 28 | 27 |
| 15 | 225 | 64 | 32 | 31 |
| 17 | 289 | 72 | 36 | 35 |
| 19 | 361 | 80 | 40 | 39 |
| 21 | 441 | 88 | 44 | 43 |
| 23 | 529 | 96 | 48 | 47 |
| 25 | 625 | 104 | 52 | 51 |
| 27 | 729 | 112 | 56 | 55 |
| 29 | 841 | 120 | 60 | 59 |
| 31 | 961 | 128 | 64 | 63 |
| 33 | 1089 | 136 | 68 | 67 |
| 35 | 1225 | 144 | 72 | 71 |
| 37 | 1369 | 152 | 76 | 75 |
| 39 | 1521 | 160 | 80 | 79 |
| 41 | 1681 | 168 | 84 | 83 |
| 43 | 1849 | 176 | 88 | 87 |
| 45 | 2025 | 184 | 92 | 91 |
| 47 | 2209 | 192 | 96 | 95 |
| 49 | 2401 | 200 | 100 | 99 |
| 51 | 2601 | 208 | 104 | 103 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||
Autor: Ricardo Silva - novembro/2015
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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