Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números figurados hexagonais - 247

O presente estudo demonstra que a partir de números triangulares podem ser obtidas diversas sequências de números poligonais bem como sequências numéricas intercaladas entre números poligonais.

Números figurados ou números poligonais são números que podem ser formados por arranjos de pontos representando figuras geométricas regulares.

Assim como há diversas propriedades numéricas, geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo, os números triangulares também as possuem, pois há diversas propriedades númericas que se relacionam com várias sequências númericas e figuras geométricas.

Números figurados triangulares

Pode-se obter números triangulares através:

a) de arranjos de pontos;

b) da soma de números consecutivos.

1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

c) da fórmula

Números figurados quadrados perfeitos

Pode-se obter números quadrados perfeitos através:

a) de arranjos de pontos;

b) da multiplicação de um número por ele mesmo;

1 x 1 = 1

2 x 2 = 4

3 x 3 = 9

c) da soma de números ímpares consecutivos.

1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

d) da soma de dois números triangulares consecutivos.

1 + 3 = 4

3 + 6 = 9

6 + 10 = 16

e) elevando-se um número ao expoente 2.

1² = 1

2² = 4

3² = 9

Numeros figurados hexagonais

Partindo-se de um dos vértices, os pontos são alocados nos próprios vértices e posteriormente distribuídos formando os lados dos hexágonos.

Pode-se obter números figurados hexagonais através:

a) de arranjos de pontos;

c) progressão aritmética (razão 4): 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, ...

1

1 + 5 = 6

1 + 5 + 9 = 15

1 + 5 + 9 + 13 = 28

1 + 5 + 9 + 13 + 17 = 45

1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 = 66

b) da seguinte fórmula algébrica.

Numeros figurados hexagonais centrados

Partindo-se de um ponto central, os demais hexágonos são formados marcando-se os vértices e posteriormente distribuindo os pontos em seus lados de forma que os hexágonos fiquem equidistantes.

Pode-se obter números figurados hexagonais centrados através:

a) de arranjos de pontos;

c) de termos intercalados na progressão aritmética (razão 6): 1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61... que também pode ser obtida da diferença dos números figurados octogonais.

d) da diferença entre números cubicos perfeitos

A diferença entre números cúbicos perfeitos tem como resultado a sequências dos números hexagonais centrados.

d) do produto do número 6 por número triangular somado de 1 unidade;

(6 x 1) + 1 = 7

(6 x 3) + 1 = 19

(6 x 6) + 1 = 37

(6 x 10) + 1 = 61

(6 x 15) + 1 = 91

(6 x 21) + 1 = 127

Tabela de números figurados

A seguinte tabela contêm as primeiras 45 sequências dos números figurados triangulares, quadrados, pentagonais e hexagonais.

A disposição de números figurados em tabela proporciona o estudo de suas propriedades numéricas bem com regularidades entre os números triagulares com os demais números poligonais.

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Sequências numéricas nas linhas da Tabela de Números Figurados

Cada sequência numérica em cada linha da Tabela de Números Figurados tem como razão (diferença) um número triangular anterior.

Linha 2

A razão entre os números 3, 4, 5, 6 é o número triangular 1.

O produto de dois números consecutivos dividido por 2 tem como resultado um número triangular.

O fator 2 indica a ordem do triangular 3.

O número 3 é o segundo número triangular.

Somando-se o triangular 3 + 1, obtem-se o quadrado 4.

Somando-se o triangular 3 + 2, obtem-se o pentagonal 5.

Somando-se o triangular 3 + 3, obtem-se o hexagonal 6.

e assim sucessivamente...

Linha 3

A razão entre os números 6, 9, 12, 15 é o número triangular 3.

O produto de dois números consecutivos dividido por 2 tem como resultado um número triangular.

O fator 3 indica a ordem do triangular 6.

O número 6 é o terceiro número triangular.

Somando-se o triangular 6 + 3, obtem-se o quadrado 9.

Somando-se o triangular 6 + 6, obtem-se o pentagonal 12.

Somando-se o triangular 6 + 9, obtem-se o hexagonal 15.

e assim sucessivamente...

Linha 4

A razão entre os números 10, 16, 22, 28 é o número triangular 6.

O produto de dois números consecutivos dividido por 2 tem como resultado um número triangular.

O fator 4 indica a ordem do triangular 10.

O número 10 é o quarto número triangular.

Somando-se o triangular 10 + 6, obtem-se o quadrado 16.

Somando-se o triangular 10 + 12, obtem-se o pentagonal 22.

Somando-se o triangular 10 + 18, obtem-se o hexagonal 28.

e assim sucessivamente...

Sequências numéricas nas colunas da Tabela de Números Figurados

Diferença entre números hexagonais

A diferença entre os números hexagonais tem como resultado a seguinte progressão aritmética: 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37,...

A progressão aritmética: 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37,... tem razão 4 (diferença entre os termos).

A partir de 1 e somando-se sempre o número 4 (razão) obtem-se a progressão aritmética da diferença entre os números hexagonais:

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37,...

A soma de números consecutivos cuja razão é 4 e o primeiro termo é 1 tem como resultado a sequência dos números hexagonais.

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37,...

1

1 + 5 = 6

1 + 5 + 9 = 15

1 + 5 + 9 + 13 = 28

1 + 5 + 9 + 13 + 17 = 45

Número hexagonais

1, 6, 15, 28, 45, 66,...

Números figurados quadrados centrados

Partindo-se de um ponto central, os demais quadrados são formados marcando-se os vértices e posteriormente distribuindo os pontos em seus lados de forma que os quadrados fiquem equidistantes.

A diferença entre os números hexagonais tem como resultado a sequência dos números figurados quadrados centrados a partir do número 5: 5, 13, 25, 41, 61, 85,...

Pode-se também obter através do produto do número 4 por número triangular somado de 1 unidade números quadrados centrados.

(4 x 1) + 1 = 5

(4 x 3) + 1 = 13

(4 x 6) + 1 = 25

(4 x 10) + 1 = 41

(4 x 15) + 1 = 61

(4 x 21) + 1 = 85

Números figurados quadrados centrados e regularidades numéricas

a) os intervalos entre os números figurados quadrados centrados formam a sequência dos números naturais:

entre 5 e 13 há 1 intervalo

entre 13 e 25 há 2 intervalos

entre 25 e 41 há 3 intervalos

b) na coluna ordem, estão marcados na cor laranja números que são triangulares, e os números figurados quadrados centrados estão sempre uma posição posterior a um triangular.

c) a diferença entre dois números quadrados é número ímpar.

d) na coluna diferença (número ímpar), há números ímpares marcados na cor verde.

e) os números quadrados centrados estão nas posições de um número mútiplo de 2 mais 1 unidade.

f) o segundo fator é número triangular.

(2 x 1) + 1 = 3

(2 x 3) + 1 = 7

(2 x 6) + 1 = 13

(2 x 10) + 1 = 21

(2 x 15) + 1 = 31

(2 x 21) + 1 = 43

Faça o downlod da Tabela de Números Figurados (Números Poligonais)

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Autor: Ricardo Silva - janeiro/2020

Fontes Bibliográficas:

COTA, Adreia Caroline da Silva. Euler e os números pentagonais. Dissertação de Mestrado - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 2011

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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