capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo

Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Círculo Mágico de Benjamin Franklin desvendado - 189

Benjamin Franklin (1706-1790), político, físico, escritor estadunidense, inventor do Para-Ráios, gostava de dedicar parte de seu tempo a elaborar Quadrados Mágicos.

No site http://www.magic-squares.net [1] há uma seção dedicada exclusivamente a Benjamin Franklin referente a algumas de suas produções de Quadrados Mágicos e entre elas a de um Círculo Mágico que foi publicado em outubro de 1768 na Gentleman’s Magazine e posteriormente foi republicado por Edward Falkener em seu livro Games ancient and oriental and how to play them (1892) [2].

círculo mágico de Benjamin Franklin desvendado

Fonte: http://www.magic-squares.net

O círculo apresenta as seguintes propriedades:

a) é formado com números de 12 a 75 mais o 12 no centro;

b) oito números em cada raio mais 12 somam 360;

c) oito números em cada círculo mais 12 soma 360;

d) oito números em cada círculo excêntrico mais 12 soma 360;

e) qualquer metade do círculo na parte posterior ou inferior mais a metade de 12 soma 180;

f) qualquer metade de raio mais a metade de 12 soma 180;

g) qualquer quatro números adjacentes mais a metade de 12 soma 180;

73 + 14 + 15 +72 + 6 = 180

Verificando o círculo, confesso que fiquei intrigado, porque aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos há vários estudos com círculos com sequências numéricas crescentes, não tão díspares como o de Benjamin Franklim.

Na construção Benjamin Franklim, percebe-se um número maior na parte superior e número menor na parte inferior e de forma cruzada em relação a um outro raio no círculo.

Então comecei a estudar e analisá-lo em partes conforme as etapas a seguir.

Tabulação dos números

A partir de cada raio com números, foram feitos colunas e linhas formando uma tabela.

Cada coluna apresenta a Constante Mágica 348.

Progressões aritméticas
do Círculo Mágico
de Benjamin Franklin

14	73	30	57	25	62	41	46
72	15	56	31	63	24	47	40
23	64	39	48	16	71	32	55
65	22	49	38	70	17	54	33
21	66	37	50	18	69	34	53
67	20	51	36	68	19	52	35
12	75	28	59	27	60	43	44
74	13	58	29	61	26	45	42

348	348	348	348	348	348	348	348

Nas colunas, percebe-se duplas de números deslocadas e fazendo correspôndencia entre uma coluna e outra de mesma cor, por exemplo:

14 e 15

72 e 73

23 e 22

65 e 66

e assim por diante...

Colunas de Números

Dividiu-se a sequência numérica de 12 a 75 em duas colunas de pares e ímpares e marcou os números que se encontram nos dois setores do círculo indicados pela letra "A".

Neste grupo, formado por 8 de números, parte-se do extremo para o meio, selecionando-os em duplas.

12	13
14	15
16	17
18	19
20	21
22	23
24	25
26	27
28	29
30	31
32	33
34	35
36	37
38	39
40	41
42	43
44	45
46	47
48	49
50	51
52	53
54	55
56	57
58	59
60	61
62	63
64	65
66	67
68	69
70	71
72	73
74	75

Montou-se outra tabela com os números que fazem duplas em ordem crescente.

Cada coluna tem a soma de 348.

Ordem
1ª	12	13	28	29	25	60	41	40
2ª	14	15	30	31	27	62	43	42
3ª	21	20	37	36	16	24	45	33
4ª	23	22	39	38	18	26	47	35
5ª	65	64	49	48	61	17	32	44
6ª	67	66	51	50	63	19	34	46
7ª	72	73	56	57	68	69	52	53
8ª	74	75	58	59	70	71	54	55

	348	348	348	348	348	348	348	348

Cada raio (coluna) do Círculo Mágico foi montado intercalando, permutando e cruzando números das partes superiores, inferiores e centrais para cada duas colunas (raios) do Círculo Mágico.

Benjamim Franklin trocou as ordens dos números em cada coluna.

Exemplos:

14 vai para a primeira posição;

12 vai para a sétima posição;

72 vai para a segunda posição.

Através destas trocas de posições, acredito estar o segredo do Círculo Mágico, pois os círculos excêntricos tocam em 8 números cuja soma também apresentam a Constante Mágica 348.

Progressões aritméticas
de Benjamin Franklin
14	73	30	57	25	62	41	46
72	15	56	31	63	24	47	40
23	64	39	48	16	71	32	55
65	22	49	38	70	17	54	33
21	66	37	50	18	69	34	53
67	20	51	36	68	19	52	35
12	75	28	59	27	60	43	44
74	13	58	29	61	26	45	42

348	348	348	348	348	348	348	348

Quadrado Mágico 8x8 soma mágica 348

Quadrado Mágico de ordem 8 formado com a progressão aritmética finita (12, 13, 14,...73, 74, 75) por meio do Método de Moschopoulos, o mesmo utilizado para quadrado de ordem 4.

Com os números dispostos no quadrado, tem-se uma visão geral e constata-se que o Círculo Mágico foi elaborado com as propriedades do Quadrado Mágico de ordem 8, pois:

Quadrado Mágico 8x8
de Benjamin Franklin
								348

75	13	14	72	71	17	18	68	348
20	66	65	23	24	62	61	27	348
28	58	57	31	32	54	53	35	348
51	37	38	48	47	41	42	44	348
43	45	46	40	39	49	50	36	348
52	34	33	55	56	30	29	59	348
60	26	25	63	64	22	21	67	348
19	69	70	16	15	73	74	12	348


348	348	348	348	348	348	348	348	348

a) Constante Mágica 348 + 12 = 360;

b) qualquer metade de colunas ou linhas 174 +6 = 180;

c) sub-quadrado 75 + 13 + 20 + 66 = 174 + 6 = 180

Verifica-se também os grupos de pares de números, os mesmos, da tabela Colunas de Números.

Poder-se-ia montar o Círculo Mágico apenas as propriedades deste Quadrado Mágico.

Engenhosamente, o Sr. Benjamin Franklim, a partir dos grupos de pares de números remontou-os para formar os raíos dos círculo, como no exemplo:

14 na parte de cima;

72 na parte de cima;

23 na parte de cima;

65 na parte de cima;

21 na parte de baixo;

67 na parte de baixo;

12 na parte de baixo e

74 na parte de baixo.

O círculo verde (excêntrico) passa pelos seguintes números:

348

348 + 12 = 360

A partir de 62 , seguindo em linha reta, há vários cruzamentos para se formar apenas a sequência acima, teríamos que fazer vários quadrados para formar as rotas dos círculos excêntricos.

Quadrado Mágico 8x8
constante mágica 348
								348

75	13	14	72	71	17	18	68	348
20	66	65	23	24	62	61	27	348
28	58	57	31	32	54	53	35	348
51	37	38	48	47	41	42	44	348
43	45	46	40	39	49	50	36	348
52	34	33	55	56	30	29	59	348
60	26	25	63	64	22	21	67	348
19	69	70	16	15	73	74	12	348


348	348	348	348	348	348	348	348	348

Mais uma vez, a engenhosidade do Sr. Benjamin Franklin entra em ação, e aqui fica o grande mistério embutido no Círculo Mágico.

Os pares de números dispostos em colunas e posteriormente transportados para os raios do círculo, além de preservarem as propriedades matemáticas do Quadrado Mágico de ordem 8 "criam" outras formas de se obterem Costantes Mágicas através de círculos excêntricos no Círculo Mágico.

Círculo Mágico a partir do Quadrado Mágico de ordem 8

A partir do Quadrado Mágico de ordem 8, montou-se outro Círculo Mágico para se verificar se círculos excêntricos apresentavam as mesmas somas do Círculo Mágico de Benjamin Franklin.

Nos dois exemplos que se seguem, cada uma das sequências nas quais os círculos excêntricos as tocam, quando somadas não tem a mesma Constante Mágica 348.

344

352