Não existe até o presente momento uma fórmula "geral" para se obter a sequência de números primos, o que existe são fórmulas que geram determinada sequência de números primos.
Podemos por exemplo, através da fórmula 2n - 1, gerar Números de Mersenne.
Os Números de Mersenne são potências de base 2 elevada a número natural subtraída de 1 unidade, fórmula esta que pode gerar tantos números primos como não primos.
3, 7, 31, 127, 2.047, 8.191,... são Números Primos de Mersenne.
15, 63, 255, 511, 1.023,... são números de Mersenne, mas não são primos.
Números de Mersenne | |
---|---|
n | Decimal |
2n - 1 | |
1 | 1 |
2 | 3 |
3 | 7 |
4 | 15 |
5 | 31 |
6 | 63 |
7 | 127 |
8 | 255 |
9 | 511 |
10 | 1.023 |
11 | 2.047 |
12 | 4.095 |
13 | 8.191 |
A tabela apresenta os 50 primeiros números primos com diferença entre um e outro, percebe-se que as diferenças não são constantes, ora é 2, ora é 4, ora é 6, ora é 8, aumenta, diminuí e é justamente esta inconsistência que não permite prever qual será um próximo número primo.
Diferença entre números primos | |
---|---|
Números Primos | Diferença |
2 | 1 |
3 | 2 |
5 | 2 |
7 | 4 |
11 | 2 |
13 | 4 |
17 | 2 |
19 | 4 |
23 | 6 |
29 | 2 |
31 | 6 |
37 | 4 |
41 | 2 |
43 | 4 |
47 | 6 |
53 | 6 |
59 | 2 |
61 | 6 |
67 | 4 |
71 | 2 |
73 | 6 |
79 | 4 |
83 | 6 |
89 | 8 |
97 | 4 |
101 | 2 |
103 | 4 |
107 | 2 |
109 | 4 |
113 | 14 |
127 | 4 |
131 | 6 |
137 | 2 |
139 | 10 |
149 | 2 |
151 | 6 |
157 | 6 |
163 | 4 |
167 | 6 |
173 | 6 |
179 | 2 |
181 | 10 |
191 | 2 |
193 | 4 |
197 | 2 |
199 | 12 |
211 | 12 |
223 | 4 |
227 |
Mas será que a sequência de números primos é tão irregular?
Quadrado Mágicos são dispositivos numéricos formados por linhas e colunas com números dispostos em determinada ordem cuja a soma de cada linha, de cada coluna e cada diagonal apresentam um mesma soma que é denominada de Constante Mágica.
Os Quadrados Mágicos são classificados conforme quantidade de linhas e colunas formando células, podendo ser de 3 x 3 (9 células), 4 x 4 (16 células), 5 x 5 células (25 células) e assim por diante.
a) Não é possível obter um quadrado mágico 3x3 com os 9 primeiros números primos.
2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 |
Quadrado Mágico 3x3 | ||||
com números primos | ||||
33 | ||||
7 | 23 | 5 | 35 | |
3 | 11 | 19 | 33 | |
17 | 2 | 13 | 32 | |
27 | 36 | 37 | 31 |
Observação: Quadrado Mágico montado conforme a disposição numérica tradicional do Quadrado Mágico Lo-Shu.
b) Não é possível obter um Quadrado Mágico 3x3 com os 8 primeiros números primos e também com o número 1
1 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 |
Quadrado Mágico 3x3 | ||||
com números primos | ||||
33 | ||||
7 | 23 | 5 | 35 | |
3 | 11 | 19 | 33 | |
17 | 1 | 13 | 31 | |
27 | 35 | 37 | 31 |
Observação: Quadrado Mágico montado conforme a disposição numérica tradicional do Quadrado Mágico Lo-Shu.
c) Não é possível obter Quadrados Mágicos 3x3 com grupos de números primos que possuem entre eles razões diferentes, mesmo aplicando o Método da Rotação de linhas e colunas para mudá-los de posições.
Exemplo 1)
Sequência de | Razão |
números ímpares | |
(diferença | |
entre os | |
termos) | |
2 | |
5 | |
7 | |
6 | |
13 | |
18 | |
31 | |
6 | |
37 | |
6 | |
43 | |
18 | |
61 | |
6 | |
67 | |
6 | |
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Quadrado Mágico 3x3 | ||||
com números primos | ||||
111 | ||||
31 | 73 | 13 | 117 | |
7 | 37 | 67 | 111 | |
61 | 2 | 43 | 106 | |
99 | 112 | 123 | 111 |
Observação: Quadrado Mágico montado conforme a disposição numérica tradicional do Quadrado Mágico Lo-Shu.
Nos exemplos abaixo, houve rotação da disposição dos números.
Exemplo 2)
Quadrado Mágico 3x3 | ||||
com números primos | ||||
111 | ||||
31 | 67 | 13 | 111 | |
2 | 37 | 73 | 112 | |
61 | 7 | 43 | 111 | |
94 | 111 | 129 | 111 |
Exemplo 3)
Quadrado Mágico 3x3 | ||||
com números primos | ||||
111 | ||||
2 | 61 | 7 | 70 | |
31 | 37 | 43 | 111 | |
67 | 13 | 73 | 153 | |
100 | 111 | 123 | 112 |
Exemplo 4)
Quadrado Mágico 3x3 | ||||
com números primos | ||||
112 | ||||
7 | 61 | 2 | 70 | |
31 | 37 | 43 | 111 | |
73 | 13 | 67 | 153 | |
111 | 111 | 112 | 111 |
Segundo o site: http://www.multimagie.com, a primeira pessoa a produzir um Quadrado Mágico de ordem 3 com Números Primos foi Henry Ernest Dudeney, em 1900, escritor e matemático inglês especializado em quebra-cabeças lógicos e jogos matemáticos.
Foi Henry Ernest Dudeney que criou o quebra-cabeças: Triângulo equilátero que se transforma em quadrado, semelhante ao Tangram.
011-estudos-116-triangulo-inscrito-em-um-quadrados
No Quadrado Mágico de Henry Ernest Dudeney aparece o número 1 como primo, pois naquela época, 1900, o número 1 era considerado um número primo.
Alguns autores consideram o quadrado como semi-mágico.
Quadrado Semi-Mágico 3x3 formado por 3 progressões aritméticas de 3 números primos com razão de 6 unidades e entre os grupos razão de 18 unidades.
O número 1 não sendo primo, colabora para realização do Quadrado Semi-Mágico.
Sequência de | Razão |
números ímpares | |
(diferença | |
entre os | |
termos) | |
1 | |
6 | |
7 | |
6 | |
13 | |
18 | |
31 | |
6 | |
37 | |
6 | |
43 | |
18 | |
61 | |
6 | |
67 | |
6 | |
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Observação: Este Quadrado Mágico não segue a disposição numérica do Quadrado Mágico Lo-Shu, houve rotação dos elementos.
Somas de cada linha: 111
Soma de cada coluna: 111
Somas de cada diagonal: 111
Quadrado Mágico 3x3 | ||||
com números primos | ||||
constante mágica 111 | ||||
111 | ||||
67 | 1 | 43 | 111 | |
13 | 37 | 61 | 111 | |
31 | 73 | 7 | 111 | |
111 | 111 | 111 | 111 |
Fonte: http://www.multimagie.com
Observação: Este Quadrado Mágico não segue a disposição numérica do Quadrado Mágico Lo-Shu, houve rotação dos elementos.
Quadrado Mágico 3x3 | ||||
com números primos | ||||
constante mágica 111 | ||||
111 | ||||
43 | 61 | 7 | 111 | |
1 | 37 | 73 | 111 | |
67 | 13 | 31 | 111 | |
111 | 111 | 111 | 111 |
Fonte: Marques, Jamerson Henriques da Silva. [1]
Observação:
Quadrado Mágico segue a disposição numérica do Quadrado Mágico Lo-Shu, porém as somas não são constantes.
Quadrado Mágico 3x3 | ||||
com números primos | ||||
constante mágica 111 | ||||
111 | ||||
43 | 73 | 7 | 123 | |
13 | 37 | 61 | 111 | |
67 | 1 | 31 | 99 | |
123 | 111 | 99 | 111 |
O Sr. Dudeney, suponho, deve ter feito a partir do número 1 e somado constantemente o número 6 (razão) e obtido as três progressões aritméticas.
A razão de cada sequência é 6.
A razão entre cada conjunto é 18.
(1, 7, 13) , (31, 37, 43), (61, 67, 73)
1 | |
número primo | 7 |
número primo | 13 |
número primo | 19 |
25 | |
número primo | 31 |
número primo | 37 |
número primo | 43 |
49 | |
55 | |
número primo | 61 |
número primo | 67 |
número primo | 73 |
número primo | 79 |
85 | |
91 | |
número primo | 97 |
A partir da tabela acima, incluiu-se o número 1 e permutando alguns números, os resultados foram Quadrados Mágicos Imperfeitos, pois uma das diagonais a soma não é uma constante.
exemplo 1
Quadrado Mágico 3x3 | ||||
com números primos | ||||
constante 117 | ||||
117 | ||||
31 | 73 | 13 | 117 | |
19 | 37 | 61 | 117 | |
67 | 7 | 43 | 117 | |
117 | 117 | 117 | 111 |
exemplo 2
Quadrado Mágico 3x3 | ||||
com números primos | ||||
constante 213 | ||||
213 | ||||
67 | 109 | 37 | 213 | |
43 | 73 | 97 | 213 | |
103 | 31 | 79 | 213 | |
213 | 213 | 213 | 219 |
No Quadrado Mágico de Harry A. Sayles não aparece o número 1, publicado em 1918, na revista The Monist, página 142, afirma o site: http://www.multimagie.com que é o menor quadrado de ordem 3 com números primos.
A razão de cada sequência é 12.
A razão entre cada conjunto é 18.
(5, 17, 29) , (47, 59, 71), (89, 101, 113)
Quadrado Mágico 3x3 | ||||
com números primos | ||||
constante mágica 117 | ||||
177 | ||||
71 | 5 | 101 | 177 | |
89 | 59 | 29 | 177 | |
17 | 113 | 47 | 177 | |
177 | 177 | 177 | 177 |
Fonte: http://www.multimagie.com
número primo | 5 |
número primo | 11 |
número primo | 17 |
número primo | 23 |
número primo | 29 |
35 | |
número primo | 41 |
número primo | 47 |
número primo | 53 |
número primo | 59 |
65 | |
número primo | 71 |
77 | |
número primo | 83 |
número primo | 89 |
95 | |
número primo | 101 |
número primo | 107 |
número primo | 113 |
A partir da tabela acima, permutou-se alguns números e os resultados foram Quadrados Mágicos Imperfeitos, pois uma das diagonais a soma não é uma constante.
exemplo 1
Quadrado Mágico 3x3 | ||||
com números primos | ||||
constante 165 | ||||
165 | ||||
41 | 113 | 11 | 165 | |
17 | 47 | 101 | 165 | |
107 | 5 | 53 | 165 | |
165 | 165 | 165 | 141 |
exemplo 2
Quadrado Mágico 3x3 | ||||
com números primos | ||||
constante 177 | ||||
177 | ||||
47 | 113 | 17 | 177 | |
23 | 53 | 101 | 177 | |
107 | 11 | 59 | 177 | |
177 | 177 | 177 | 159 |
exemplo 3
Quadrado Mágico 3x3 | ||||
com números primos | ||||
constante 183 | ||||
183 | ||||
47 | 113 | 23 | 183 | |
29 | 53 | 101 | 183 | |
107 | 17 | 59 | 183 | |
183 | 183 | 183 | 159 |
Sequência formada por 3 grupos, com razões diferentes entre os termos e os grupos.
Sequência de | Razão |
números ímpares | |
(diferença | |
entre os | |
termos) | |
31 | |
6 | |
37 | |
6 | |
43 | |
4 | |
47 | |
6 | |
53 | |
6 | |
59 | |
8 | |
67 | |
6 | |
73 | |
6 | |
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Não foi possível formar um quadrado mágico.
Quadrado Mágico 3x3 | ||||
com números primos | ||||
constante 163 | ||||
163 | ||||
47 | 79 | 37 | 163 | |
43 | 53 | 67 | 163 | |
73 | 31 | 59 | 163 | |
163 | 163 | 163 | 159 |
Observação: Quadrado Mágico montado conforme a disposição numérica tradicional do Quadrado Mágico Lo-Shu.
Sequência formada por 3 grupos, com razão de 6 entre os termos e razões diferentes entre os grupos.
Sequência de | Razão |
números ímpares | |
(diferença | |
entre os | |
termos) | |
5 | |
6 | |
11 | |
6 | |
17 | |
24 | |
41 | |
6 | |
47 | |
6 | |
53 | |
48 | |
101 | |
6 | |
107 | |
6 | |
113 | |
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Não foi possível formar um quadrado mágico.
Quadrado Mágico 3x3 | ||||
com números primos | ||||
constante 165 | ||||
165 | ||||
41 | 113 | 11 | 165 | |
17 | 47 | 101 | 165 | |
107 | 5 | 53 | 165 | |
165 | 165 | 165 | 141 |
Observação: Quadrado Mágico montado conforme a disposição numérica tradicional do Quadrado Mágico Lo-Shu.
e) Quadrado Mágico 4x4 com sequência de números primos em que as razões não são constantes.
Sequência de | Razão |
números ímpares | |
(diferença | |
entre os | |
termos) | |
3 | |
2 | |
5 | |
2 | |
7 | |
4 | |
11 | |
2 | |
13 | |
4 | |
17 | |
2 | |
19 | |
4 | |
23 | |
6 | |
29 | |
2 | |
31 | |
6 | |
37 | |
4 | |
41 | |
2 | |
43 | |
18 | |
61 | |
6 | |
67 | |
6 | |
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Soma de cada linha: 120
Soma de cada coluna: 120
Somas de cada diagonal: 120
Interessante observar que nesta configuração em que os números estão dispostos tem como resultado um Quadrado Mágico...
Quadrado Mágico 4x4 | |||||
com números primos | |||||
constante mágica 120 | |||||
120 | |||||
3 | 61 | 19 | 37 | 120 | |
43 | 31 | 5 | 41 | 120 | |
7 | 11 | 73 | 29 | 120 | |
67 | 17 | 23 | 13 | 120 | |
120 | 120 | 120 | 120 | 120 |
Fonte: Marques, Jamerson Henriques da Silva [1]
...enquanto no Método de Moschopoulos em que os números foram permutados nos extremos das diagonais prinicipais e nas diagonais do sub-quadrado central não se obteve Quadrado Mágico.
1) escreve-se os números em ordem crescente no quadrado 4x4.
Quadrado Mágico 4x4 | |||
com números primos | |||
3 | 5 | 7 | 11 |
13 | 17 | 19 | 23 |
29 | 31 | 37 | 41 |
43 | 61 | 67 | 73 |
2) permuta-se os números nos extremos da diagonais (cor azul) e também nas diagonais do sub-quadrado central (cor lilás).
As somas não são constantes.
Quadrado Mágico | |||||
Imperfeito 4x4 | |||||
com números primos | |||||
104 | |||||
0 | |||||
73 | 5 | 7 | 43 | 128 | |
13 | 37 | 31 | 23 | 104 | |
29 | 19 | 17 | 41 | 106 | |
11 | 61 | 67 | 3 | 142 | |
0 | |||||
126 | 122 | 122 | 110 | 130 |
Com os exemplos expostos, fica mais um desafio para lidar com os números primos, descobrir sub-sequências de primos que satisfazem as regras de construções de quadrados mágicos, mesmo escolhendo sub-sequências de números primos que contenham uma constante (razão).
Autor: Ricardo Silva - maio / 2018
[1] MARQUES, Jamerson Henriques da Silva. Estudo do quadrado mágico com uso nos anos finais do ensino fundamental / Jamerson Henrique da Silva Marques. – 2017. 96 p. Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande –FURG, Programa de Pós-graduação em Matemática, Rio Grande/RS, 2017.
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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