Theon de Smyrna (70 d. C. e 135 d. C) foi um filósofo e matemático grego, autor da obra “Matemáticas para entender Platão“ uma compilação introdutória da matemática grega. A obra do platônico inglês Thomas Taylor (1758-1835) “The Theoretic Arithmetic of the Pytagoreans“ divulgou amplamente o conhecimento deste livro na cultura ocidental. Um segundo trabalho sobre a ordem de estudo das obras de Platão foi descoberto em uma tradução árabe.[1][2].
Theon de Smyrna também é autor de um dispositivo numérico, isto é, um algoritmo que leva o seu nome Escada de Theon com o qual é possível de se extrair a raiz quadrada de 2 (√2), como também ser adaptado para se extrair a raiz de qualquer número natural.
Dividindo-se os termos correspondentes b / a, o quociente tende a raiz quadrada de 2:
√2 = 1,4142
| Tabela 1 | |||
| Escada de Theon | |||
| ordem / | a | b | razão |
| posição | b / a | ||
| 1 | 1 | 1 | |
| 2 | 2 | 3 | 3 / 2 = 1,5 |
| 3 | 5 | 7 | 7 / 5 =1,4 |
| 4 | 12 | 17 | 17 / 12 = 1,41666... |
| 5 | 29 | 41 | 41 / 29 = 1,41379... |
| 6 | 70 | 99 | 99 / 70 = 1,41428... |
| 7 | 169 | 239 | 239 / 169 = 1,41420... |
Fonte: adaptado de Tópicos de História da Matemática[3]
O Algoritmo Escada de Theon, possui diversas outras propriedades matemáticas, além de gerar a raiz quadrada de 2, com o algoritmo, também podem ser gerados:
a) números triangulares retangulares;
b) números triangulares quadrados perfeitos;
c) ternos pitagóricos primitivos cujos catetos diferem em 1 unidade (denominados de Ternos Pitagóricos Raros aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos).
O quadrado da metade dos termos da sequência (a) de ordens / posições pares da Escada de Theon têm como resultados números triangulares quadrados perfeitos.
| Tabela 2 | |||
| Escada de Theon (sequência a) | |||
| ordem | a | raiz | Números |
| / posição | quadrada | Triangulares | |
| Quadrados | |||
| 1 | 1 | ||
| 2 | 2 | 1 | 1 |
| 3 | 5 | ||
| 4 | 12 | 6 | 36 |
| 5 | 29 | ||
| 6 | 70 | 35 | 1225 |
| 7 | 169 | ||
| 8 | 408 | 204 | 41616 |
| 9 | 985 | ||
| 10 | 2378 | 1189 | 1413721 |
| 11 | 5741 | ||
| 12 | 13860 | 6930 | 48024900 |
| 13 | 33461 | ||
| 14 | 80782 | 40391 | 1631432881 |
| 15 | 195025 | ||
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Observação muitíssima importante 1): assim como em determinadas planilhas digitais há limite de 15 algarismos para números, excedendo esse limite, os números apresentam vários 0 (zeros) em seus finais e na Calculadora de Número Triangular Quadrado Perfeitonão é diferente.
Observação importante 2): a Fórmula utilizada no algoritmo da Calculadora de Números Triangulares Quadrados Perfeitos é de criação do Professor de Química Fernando Manso, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR-CM.
| Tn | = | [ [2^(1/2) ]/4 x (1 + 2^(1/2) )^n ] | - | [ [2^(1/2) ]/4 x (1 - 2^(1/2) )^n ] |
Na Calculadora de Número Triangular Quadrado Perfeito, digitando no campo: Número Natural Par e pressionando o botão Calcular Triangular Quadrado, automaticamente o resultado aparece no campo de fundo amarelo.
Digite um número natural par
Autor: Ricardo Silva - setembro /2023
[3] PITOMBEIRA, João Bosco, ROQUE, Tatiana. Tópicos de História da Matemática. Edição Digital
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
[1]https://es.wikipedia.org/wiki/
[2]https://www.matematicaparafilosofos.pt/
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