Faça uma Matemágica, isso mesmo, Matemágica!
Peça a um parente, a um amigo ou a um colega que diga a idade dele.
Você dira a ele que a soma dos algarismos da idade subtraído da idade é um número divisível tanto por 3 quanto por 9.
O truque, a Matemágica por traz dessa "brincadeira" são as regularidades, os padrões numéricos envolvendo critérios de divisibilidade, bem como, somas de algarismos e raízes digitais de números.
O presente estudo demonstra regularidades numéricas de somas de algarismos de um número e raízes digitais com progressões aritméticas, bem como, com quadrados perfeitos originados de termos dessas mesmas progressões aritméticas.
Os critérios de divisibilidade por 3 e por 9 são semelhantes, isto porque, soma-se os algarismos de um número natural e verifica-se a soma é um número divisível por 3 ou por 9.
Exemplos:
a) 45
4 + 5 = 9
45 é divisível tanto por 3 quanto por 9.
Observação: todos os múltiplos de 9 são também divisíveis por 3.
b) 15
1 + 5 = 6
6 é divisível por 3
Observação: nem todos os múltiplos de 3 são também divisíveis por 9.
Estudos divulgados aqui no WebSite Os Fantásticos Númreos Primos, bem como, no livro digital Estudos de Sequências Numéricas demonstram que somando-se os algarismos de um número e posteriormente subtraíndo essa soma desse número, a diferença tem como resultado um número divisível tanto por 3 quanto por 9.
Para mais informações veja os seguintes estudos:
011-estudos-032-soma-algarismos-de-um-numero-parte-1
011-estudos-033-soma-algarismos-numero-primo-parte-1
011-estudos-035-soma-algarismos-de-um-numero-parte-2
A Tabela 1 apresenta os 20 primeiros múltiplos de 3, bem como, os números quadrados destes múltiplos e as seguintes regularidades:
a) coluna B - a soma dos algarismos de um múltiplo de 3 tem como resultado um múltiplo de 3;
c) coluna C - a cada 3 múltiplos de 3, as raízes digitais são sempre 3, 6, 9;
d) coluna E - a soma dos algarismos de um número quadrado perfeito de um múltiplo de 3 é 9;
e) coluna F - a raiz digital de um número quadrado perfeito de um múltiplo de 3 é 9;
Observações:
1) o número 3 é o único número primo cuja raiz digital é 3;
2) não há números primos cujas raízes digitais são 6 ou 9.
| Tabela 1 | |||||
| Múltiplos de 3 | |||||
| A | B | C | D | E | F |
| múltiplos | soma de | raiz | quadrado | soma de | raiz |
| 3 | algarismos | digital | de | algarismos | digital |
| múltiplo | |||||
| de 3 | |||||
| 3 | 3 | 3 | 9 | 9 | 9 |
| 6 | 6 | 6 | 36 | 9 | 9 |
| 9 | 9 | 9 | 81 | 9 | 9 |
| 12 | 3 | 3 | 144 | 9 | 9 |
| 15 | 6 | 6 | 225 | 9 | 9 |
| 18 | 9 | 9 | 324 | 9 | 9 |
| 21 | 3 | 3 | 441 | 9 | 9 |
| 24 | 6 | 6 | 576 | 9 | 9 |
| 27 | 9 | 9 | 729 | 9 | 9 |
| 30 | 3 | 3 | 900 | 9 | 9 |
| 33 | 6 | 6 | 1089 | 9 | 9 |
| 36 | 9 | 9 | 1296 | 9 | 9 |
| 39 | 12 | 3 | 1521 | 9 | 9 |
| 42 | 6 | 6 | 1764 | 9 | 9 |
| 45 | 9 | 9 | 2025 | 9 | 9 |
| 48 | 12 | 3 | 2304 | 9 | 9 |
| 51 | 6 | 6 | 2601 | 9 | 9 |
| 54 | 9 | 9 | 2916 | 9 | 9 |
| 57 | 12 | 3 | 3249 | 9 | 9 |
| 60 | 6 | 6 | 3600 | 9 | 9 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
A Tabela 2 apresenta os 15 primeiros termos da Progressão Aritmética cujo 10 termo é 4 e razão 3, bem como, os números quadrados dos termos da P.A. e as seguintes regularidades:
a) coluna B - a soma dos algarismos dos termos da P.A. resultam em 1, 4, 7, 10 de forma aleatória;
c) coluna C - a cada 3 termos da P.A., as raízes digitais apresentam o seguinte padrão 4, 7, 1;
d) coluna F - a cada 3 quadrados perfeitos de termos da P.A., as raízes digitais apresentam o seguinte padrão 7, 4, 1;
Observação: termos da P.A, quadrados perfeitos de termos da P.A. e as respectivas somas de algarismos e raízes digitais são números que ao serem divididos por 3 deixam resto 1.
| Tabela 2 | |||||
| Progressão Aritmética - 10 termo 4 - razão 3 | |||||
| A | B | C | D | E | F |
| PA | soma de | raiz | quadrado | soma de | raiz |
| razão | algarismos | digital | de termo da | algarismos | digital |
| 3 | PA | ||||
| 4 | 4 | 4 | 16 | 7 | 7 |
| 7 | 7 | 7 | 49 | 13 | 4 |
| 10 | 1 | 1 | 100 | 1 | 1 |
| 13 | 4 | 4 | 169 | 16 | 7 |
| 16 | 7 | 7 | 256 | 13 | 4 |
| 19 | 10 | 1 | 361 | 10 | 1 |
| 22 | 4 | 4 | 484 | 16 | 7 |
| 25 | 7 | 7 | 625 | 13 | 4 |
| 28 | 10 | 1 | 784 | 19 | 1 |
| 31 | 4 | 4 | 961 | 16 | 7 |
| 34 | 7 | 7 | 1156 | 13 | 4 |
| 37 | 10 | 1 | 1369 | 19 | 1 |
| 40 | 4 | 4 | 1600 | 16 | 7 |
| 43 | 7 | 7 | 1849 | 22 | 4 |
| 46 | 10 | 1 | 2116 | 10 | 1 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
Livro: O Homem que Calculava ( Edição Digital Integral )
Autor: Malba Tahan ( Professor Júlio Cesár de Mello e Souza )
Ilustrações: Sílvio Vitorino
Digitalização e Revisão: Arlindo_San
CÁPITULO VI
Malba Tahan (Professor Júlio Cesár de Mello e Souza) demonstra, como toda destreza, maestreza e sutileza, que a soma dos algarismos do quadrado de 13 é igual a raíz quadrada de 256 e que a soma dos algarismos do quadrado de 16 é igual a raiz quadrada de 169.
132 = 169 ( 1 + 6 + 9 = 16)
162 = 256 ( 2 + 5 + 6 = 13)
Interessante observar que os números 13 e 16 são termos da Progressão Aritmética - 10 termo 4 - razão 3 da Tabela 2.
| Tabela 2 | |||||
| Progressão Aritmética - 10 termo 4 - razão 3 | |||||
| A | B | C | D | E | F |
| PA | soma de | raiz | quadrado | soma de | raiz |
| razão | algarismos | digital | de termo da | algarismos | digital |
| 3 | PA | ||||
| 13 | 4 | 4 | 169 | 16 | 7 |
| 16 | 7 | 7 | 256 | 13 | 4 |
Noves Fora (Prova dos Noves) é um método para verificar erros realizados nas quatro operações que consiste em tirar noves dos números de entrada e saída da conta.[2]
Noves Fora (Prova dos Noves) está intrisicamente relacionado a soma de algarismos e raízes digitais.
Exemplo 1 - adição
| algarismos | soma | raiz digital | ||
| 169 | 1 + 6 + 9 | 16 | 7 | |
| + | 256 | 2 + 5 + 6 | 13 | 4 |
| ------ | ||||
| 425 | 4 + 2 + 5 | 11 | 11 | |
A soma das raízes digitais dos números 169 e 256 é igual a raiz digital da soma 425 (demonstrando desta forma que esta adição está correta).
Exemplo 2 - subtração
| algarismos | soma | raiz digital | ||
| 256 | 2 + 5 + 6 | 13 | 4 | |
| - | 169 | 1 + 6 + 9 | 16 | 7 |
| ------ | ||||
| 87 | 8 + 7 | 15 | 6 | |
complementando...
i) 4 - 7 = - 3 (número negativo)
ii) soma-se 9 com o número negativo -3
9 - 3 = 6
iii) a diferença 6 é igual a raiz digital 6 de 87.
(demonstrando desta forma que esta subtração está correta)
A Tabela 3 apresenta os 15 primeiros termos da Progressão Aritmética cujo 10 termo é 5 e razão 3, bem como, os números quadrados dos termos da P.A. e as seguintes regularidades:
a) coluna B - a soma dos algarismos dos termos da P.A. resultam em 2, 5, 8, 11 de forma aleatória;
c) coluna C - a cada 3 termos da P.A., as raízes digitais apresentam o seguinte padrão 5, 8, 2;
d) coluna F - a cada 3 quadrados perfeitos de termos da P.A., as raízes digitais apresentam o seguinte padrão 7, 1, 4;
Observação: termos da P.A, quadrados perfeitos de termos da P.A. e as respectivas somas de algarismos e raízes digitais são números que ao serem divididos por 3 deixam resto 1.
| Tabela 3 | |||||
| Progressão Aritmética - 10 termo 5 - razão 3 | |||||
| A | B | C | D | E | F |
| PA | soma de | raiz | quadrado | soma de | raiz |
| razão | algarismos | digital | de termo da | algarismos | digital |
| 3 | PA | ||||
| 5 | 5 | 5 | 25 | 7 | 7 |
| 8 | 8 | 8 | 64 | 10 | 1 |
| 11 | 2 | 2 | 121 | 4 | 4 |
| 14 | 5 | 5 | 196 | 16 | 7 |
| 17 | 8 | 8 | 289 | 19 | 1 |
| 20 | 2 | 2 | 400 | 4 | 4 |
| 23 | 5 | 5 | 529 | 16 | 7 |
| 26 | 8 | 8 | 676 | 19 | 1 |
| 29 | 11 | 2 | 841 | 13 | 4 |
| 32 | 5 | 5 | 1024 | 7 | 7 |
| 35 | 8 | 8 | 1225 | 10 | 1 |
| 38 | 11 | 2 | 1444 | 13 | 4 |
| 41 | 5 | 5 | 1681 | 16 | 7 |
| 44 | 8 | 8 | 1936 | 19 | 1 |
| 47 | 11 | 2 | 2209 | 13 | 4 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
A Tabela 4 apresenta os 15 primeiros termos da Progressão Aritmética cujo 10 termo é 4 e razão 9, bem como, os números quadrados dos termos da P.A. e as seguintes regularidades:
a) coluna B - a soma dos algarismos dos termos da P.A. resultam em 4 e 13 de forma aleatória;
c) coluna C - as raízes digitais têm como resultado 4;
d) coluna E - as somas dos algarismos dos quadrados de termos da P.A. resultam em 7, 16, 25 de forma aleatória;
e) coluna C - as raízes digitais têm como resultado 7.
Observação: termos da P.A, quadrados perfeitos de termos da P.A. e as respectivas somas de algarismos e raízes digitais são números que ao serem divididos por 3 deixam resto 1.
| Tabela 4 | |||||
| Progressão Aritmética - 10 termo 4 - razão 9 | |||||
| A | B | C | D | E | F |
| PA | soma | raiz | quadrado | soma | raiz |
| razão | algarismos | digital | de termo da | algarismos | digital |
| 9 | PA | ||||
| 4 | 4 | 4 | 16 | 7 | 7 |
| 13 | 4 | 4 | 169 | 16 | 7 |
| 22 | 4 | 4 | 484 | 16 | 7 |
| 31 | 4 | 4 | 961 | 16 | 7 |
| 40 | 4 | 4 | 1600 | 16 | 7 |
| 49 | 13 | 4 | 2401 | 7 | 7 |
| 58 | 13 | 4 | 3364 | 16 | 7 |
| 67 | 13 | 4 | 4489 | 25 | 7 |
| 76 | 13 | 4 | 5776 | 25 | 7 |
| 85 | 13 | 4 | 7225 | 16 | 7 |
| 94 | 13 | 4 | 8836 | 25 | 7 |
| 103 | 3 | 4 | 10609 | 16 | 7 |
| 112 | 4 | 4 | 12544 | 16 | 7 |
| 121 | 4 | 4 | 14641 | 16 | 7 |
| 130 | 4 | 4 | 16900 | 16 | 7 |
| 139 | 13 | 4 | 19321 | 16 | 7 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
Autor: Ricardo Silva - julho/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
Tahan, Malba (Júlio Cesár de Mello e Souza). O Homem que Calculava. Digitalização e Revisão: Arlindo_San. edição digital
[2]https://pt.wikipedia.org/wiki/Prova_dos_noves
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Senhores Professores de Matemática,
Profissionais de Exatas e
Entusiastas Matemáticos
FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO
AGORA MESMO ATRAVÉS
DO E-MAIL:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Prezado visitante, o conteúdo do
WebSite Os Fantásticos Números Primos
está protegido por direitos autorais.
O uso acadêmico e escolar está liberado,
desde que informando ao autor o local e
o meio em que será utilizado e divulgado,
através do e-mail:
contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br
O uso comercial é proibido.
Assessoria Gráfica e de Comunicação para
Escritores Independentes
que desejam lançar obras literárias,
técnicas ou artísticas.
Projeto Gráfico, Diagramação
e Editoração Eletrônica de livros (e-books).
Desenvolvimento de WebSite.
Contato
