Quadrados Mágicos são dispositivos numéricos, formados por células em quantidades de números quadrados perfeitos, nos quais dispondo sequências numéricas formadas por progressões aritméticas, progressões geométricas ou não em certa ordem, as somas de cada uma das linhas, cada uma das colunas, bem como, as diagonais tem como resultado um mesmo total, isto é, uma constante, denominada de Constante Mágica.
O presente estudo demonstra a construção de Quadrado Védico a partir de tabuada de multiplicação, bem como, algumas de suas propriedades.
Apresenta também construção de Quadrado Latino Védico que aplicado ao Método de Construção de La Hire, o quadrado mesmo tendo números repetidos forma constante mágica.
Tabuada de Multiplicação, conhecida também por Tabuada de Pitágoras, Tabuada Pitagórica ou Tabuada Cartesiana é um dispositivo numérico com a sequência dos números de 1 a 10 na linha e coluna principal em que na intersecção de dois números têm-se produtos entre eles.
No livro digital Tabuada de Pythágoras e Sequências Numéricas são apresentados diversas propriedades aritméticas, algébricas, numéricas e geométricas embutidas em sua contrução.
Propriedades que se constatam visualmente é que a sua diagonal principal (amarela) é formada por números quadrados perfeitos e as duas diagonais adjacentes por números retangulares.
A diagonal principal divide simetricamente grupos de números formando triângulos retângulos.
Excetuando-se os números da diagonal principal, os demais números estão equidistantes diagonalmente.
Quadrado Védico é uma variação de tabela de multiplicação 9 × 9 onde cada célula contém a raiz digital do produto entre a linha e a coluna. Em vez do número exato, ele mostra o resto da divisão por 9 (sendo que múltiplos exatos de 9 têm resto 0 e são representados pelo próprio 9).[1]
A raiz digital de um número são adições sucessivas dos algarismos de um número até se ter como resultado um número de único algarismo.
Exemplo:
123456789
passo 1)
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
passo 2)
4 + 5 = 9
9 é a raiz digital do número 123456789.
Nas diagonais principal e secundária, bem como, as diagonais quebradas, os números estão simetricamente opostos e formam números palíndromos.
Nas linhas horizontais, os números aparecerem em blocos equidistantes e invertidos.
Nas linhas verticais, os números aparecerem em blocos equidistantes e invertidos.
Destacando-se números específicos, verifica-se também simetria entre eles próprios.
Os números 1, 2, 4, 5, 7 e 8 se repetem 6 vezes cada um.
Os números 3 e 6 se repetem 12 vezes cada um.
O número 9 repete 21 vezes.
Destacando os números 3, 6 e 9 no Quadrado Védico, verifica-se que eles margeiam 9 sub-quadrados (2x2) formados com números de 1, 2, 4, 5, 7 e 8.
Excluindo-se os números 3, 6 e 9 do Quadrado Védico, forma-se Quadrado Latino Védico.
Fonte: adaptado de
Quadrado Latino é uma matriz que pode ser construída por números, letras ou outros tipos de símbolos de forma que em cada linha e em cada coluna ocorra uma só vez e não podendo haver repetição dos mesmos.
Exemplo clássico originado de Quadrado Latino é o popular passatempo Sudoku em que se tem que escrever números de 1 a 9 em uma matriz quadriculada formada por 9 quadrados de 3x3 células sem que haja repetição desses mesmos números em linhas e colunas.
O Quadrado Latino Védico 6x6 é formado pela sequência: 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Não há os números 3, 6 e 9.
A soma de cada linha e de cada coluna é 27.
A soma da diagonal principal é 24 e da diagonal secundária é 30.
Não há constante mágica no Quadrado Latino Védico 6x6.
As diagonais formam números palíndromos.
As diagonais não são formadas pela sequência consecutiva: 1, 2, 4, 5, 7 e 8 e sim pelas sequências: ( 1, 4 7, 7, 4, 1 ) e ( 8, 5, 2, 2, 5, 8 )
Utilizando o próprio Quadrado Latino Védico 6x6 como quadrado auxilar 1 e somando com o quadrado auxiliar 2 (múltiplos de 6) do Método de La Hire, o quadrado gerado é um quadrado semi-mágico.
Utilizando o próprio Quadrado Latino Védico 6x6 como quadrado auxilar 1 cujas diagonais são formadas pela sequência crescente 1, 2, 4, 5, 7 e 8 e somando com o quadrado auxiliar 2 (múltiplos de 6) do Método de La Hire, o quadrado gerado é um quadrado com constante mágica 117.
O quadrado gera constante mágica 117, mas há números repetido no quadrado: (32, 32); (8, 8); (7, 7) e outros.
Em quadrados mágicos, uma das regras, e que não pode haver números repetidos.
No Quadrado Védico, considerando a linha e a coluna com o número 9, não como 0 (zero), obtêm-se as seguintes configurações numéricas:
a) soma de todos os números é 459;
b) soma de cada linha e de cada coluna é múltiplo de 3 e 9;
c) soma de cada diagonal é múltiplo de 3.
d) 45 é o 90 número triangular;
e) 54 é o reverso de 45;
f) 459 / 3 = 153 ( número triangular );
g) (57 + 51) / 3 = 36 ( número triangular ).
| Quadrado Védico | ||||||||||
| . | 57 | |||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 45 | |
| 2 | 4 | 6 | 8 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 45 | |
| 3 | 6 | 9 | 3 | 6 | 9 | 3 | 6 | 9 | 54 | |
| 4 | 8 | 3 | 7 | 2 | 6 | 1 | 5 | 9 | 45 | |
| 5 | 1 | 6 | 2 | 7 | 3 | 8 | 4 | 9 | 45 | |
| 6 | 3 | 9 | 6 | 3 | 9 | 6 | 3 | 9 | 54 | |
| 7 | 5 | 3 | 1 | 8 | 6 | 4 | 2 | 9 | 45 | |
| 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 9 | 45 | |
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 81 | |
| . | . | |||||||||
| 45 | 45 | 54 | 45 | 45 | 54 | 45 | 45 | 81 | 51 | |
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a) soma do subquadrado 3x3 é 45;
b) soma do subquadrado 5x5 é 130;
c) soma do subquadrado 7x7 é 235;
d) soma do quadrado 9x9 é 459
| Quadrado Védico | ||||||||||
| . | 57 | |||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 45 | |
| 2 | 4 | 6 | 8 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 45 | |
| 3 | 6 | 9 | 3 | 6 | 9 | 3 | 6 | 9 | 54 | |
| 4 | 8 | 3 | 7 | 2 | 6 | 1 | 5 | 9 | 45 | |
| 5 | 1 | 6 | 2 | 7 | 3 | 8 | 4 | 9 | 45 | |
| 6 | 3 | 9 | 6 | 3 | 9 | 6 | 3 | 9 | 54 | |
| 7 | 5 | 3 | 1 | 8 | 6 | 4 | 2 | 9 | 45 | |
| 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 9 | 45 | |
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 81 | |
| . | . | |||||||||
| 45 | 45 | 54 | 45 | 45 | 54 | 45 | 45 | 81 | 51 | |
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No Quadrado Védico, excluindo a linha e a coluna com o número 9, obtêm-se as seguintes configurações numéricas:
a) soma de todos os números é 306;
b) soma de cada linha e de cada coluna é múltiplo de 3 e 9;
c) soma de cada diagonal é múltiplo de 3.
d) 36 é o 80 número triangular;
e) 45 é o 90 número triangular;
f) 48 + 42 = 90 ( número retangular ).
| Quadrado Védico | |||||||||
| 48 | |||||||||
| . | |||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 36 | |
| 2 | 4 | 6 | 8 | 1 | 3 | 5 | 7 | 36 | |
| 3 | 6 | 9 | 3 | 6 | 9 | 3 | 6 | 45 | |
| 4 | 8 | 3 | 7 | 2 | 6 | 1 | 5 | 36 | |
| 5 | 1 | 6 | 2 | 7 | 3 | 8 | 4 | 36 | |
| 6 | 3 | 9 | 6 | 3 | 9 | 6 | 3 | 45 | |
| 7 | 5 | 3 | 1 | 8 | 6 | 4 | 2 | 36 | |
| 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 36 | |
| . | |||||||||
| 36 | 36 | 45 | 36 | 36 | 45 | 36 | 36 | 42 | |
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Autor: Ricardo Silva - julho/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Vedic_square
https://www.primesdemystified.com/
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