A soma dos algarismos de um número primo apresentam regularidades numéricas dependendo da faixa de números onde os números primos se encontram, isto é, separadas em dezenas, ora a soma dos algarismos são em quantidades pares, ora são em quatidades ímpares.
Número primo é o número que tem dois divisores: o número 1 e ele mesmo.
Números primos possuem as seguintes terminações: 1, 3, 7 e 9.
O número 1, não é primo, pois só tem um divisor, ele mesmo.
O número 2 é o único número par que é primo.
O número 5 é o único número terminado em 5 que é primo.
Pelos critérios de divisibilidade:
a) um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é um número divisível por 3;
Exemplo:
número 21 - a soma dos algarismos: 2 + 1 = 3
b) um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9;
Exemplo:
número 18 - a soma dos algarismos: 1 + 8 = 9
Observação: todos os múltiplos de 9 são divisíveis por 3.
Uma das formas de se verificar se um número é primo ou não é utilizar o critério de divisibilidade do número 3.
Os múltiplos de 3 são fáceis de se calcular mentalmente: 3, 6, 9, 12, 15, 18,... e também porque dentro de cada sequência de 10 números há sempre três múltiplos de 3.
Baseando-se na construção do Crivo de Eratóstenes, segue abaixo um outro modelo mais sintético, isto é, um crivo com números ímpares terminados em 1, 3, 7 e 9, da mesma forma que o modelo tradicional, riscam-se os múltiplos de determinado número maiores que ele e os que não foram riscados são os números primos.
Exemplos:
Conservamos o 3 e riscamos os seus múltiplos: 9, 21, 27, 33, 39, e assim sucessivamente...
Conservamos o 7 e riscamos os seus múltiplos: 21, 49, 63, 77, 91 e assim sucessivamente...
Fazendo o uso do critério de divisibilidade por 3, verifica-se que podemos ampliar o uso do Crivo de Eratóstenes e observar outras regularidades com os números primos.
| Crivo de Erastóstenes | ||||
|---|---|---|---|---|
| Sintético | ||||
| soma dos algarimos | ||||
| de número primo | ||||
| 3 | 7 | 9 | ||
| faixa 10 | 11 | 13 | 17 | 19 |
| soma | 2 | 4 | 8 | 10 |
| faixa 20 | 21 | 23 | 27 | 29 |
| soma | 3 | 5 | 9 | 11 |
| faixa 30 | 31 | 33 | 37 | 39 |
| soma | 4 | 6 | 10 | 12 |
| faixa 40 | 41 | 43 | 47 | 49 |
| soma | 5 | 7 | 11 | 13 |
| faixa 50 | 51 | 53 | 57 | 59 |
| soma | 6 | 8 | 12 | 14 |
| faixa 60 | 61 | 63 | 67 | 69 |
| soma | 7 | 9 | 13 | 15 |
| faixa 70 | 71 | 73 | 77 | 79 |
| soma | 8 | 10 | 14 | 16 |
| faixa 80 | 81 | 83 | 87 | 89 |
| soma | 9 | 11 | 15 | 17 |
| faixa 90 | 91 | 93 | 97 | 99 |
| soma | 10 | 12 | 16 | 18 |
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O maior número com dois algarismos é o número 99.
A soma dos seus algarismos: 9 + 9 = 18, portanto números de dois algarimos de 10 a 99, a soma máxima será de 18.
No Crivo de Eratóstenes Sintético temos uma sequência a partir de números ímpares de 3 até o número 99.
A soma dos algarismos de cada número a partir do número 11 estão abaixo de cada um deles.
Fazendo a leitura das somas na horizontal, temos sequências intercaladas de quantidades pares e ímpares.
Fazendo a leitura das somas na vertical, temos:
a) na primeira coluna: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10;
b) na segunda coluna: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12;
b) na terceira coluna: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 e 16;
c) na quarta coluna: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 e 18,
que obedecem uma sequência aritimética finita.
Interessante observar que os números ímpares cujas somas dos seus algarismos satisfazem o critério de divisibilidade do número 3, são os múltiplos de 3, portanto não são primos (células em laranja).
Marcados os múltiplos de 3 e os de 7: 49, 77, e 91 (células verdes) os demais são números primos (células amarelas).
Entre os quadrados 9 e 49 há 11 números primos.
Entre os quadrados 49 e 81 há 9 números primos.
A soma dos algarismos de determinados números primos também são números primos.
| faixa 20 | 21 | 23 | 27 | 29 |
| soma | 3 | 5 | 9 | 11 |
Exemplos:
a) número 23
2 + 3 = 5
b) número 29
2 + 9 = 11
Os múltiplos de 3 no Crivo de Erastóstenes Sintético são produtos do número 3 por um número ímpar e entre eles números primos.
Exemplos:
3 x 7 = 21
3 x 17 = 51
3 x 27 = 81
3 x 11 = 33
3 x 21 = 63
3 x 31 = 93
3 x 9 = 27
3 x 19 = 57
3 x 29 = 87
3 x 13 = 39
3 x 23 = 69
3 x 33 = 99
Autor: Ricardo Silva - novembro/2017
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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