Números Primos são números que têm somente 2 divisores, o número 1 e ele mesmo.
Raiz Digital de um número é a soma iterativa dos algarismos desse número até se ter um número de 1 só algarismo.
O presente estudo demonstra que números primos formam grupos distintos de padrões numéricos quanto a somas de seus algarismos e na geração de raízes digitais.
Em seu estudo: Uma ideia para números primos [1], o Colaborador do WebSite Os Fantásticos Numeros Primos, o Sr. Aristóteles Costa separa os números primos em 6 diferentes grupos e com as seguintes características:
19, 37, 73, 109, 127, 163, 181, 199, 271, ...
Números primos que são congruentes a módulo 3, 6, 9, 18.
| 19 ≡ 37 (mód. 3) | 19 ≡ 37 (mód. 6) |
| 37 ≡ 73 (mód. 3) | 37 ≡ 73 (mód. 6) |
| 73 ≡ 109 (mód. 3) | 73 ≡ 109 (mód. 6) |
| 109 ≡ 127 (mód. 3) | 109 ≡ 127 (mód. 6) |
| 127 ≡ 163 (mód. 3) | 127 ≡ 163 (mód. 6) |
| 163 ≡ 181 (mód. 3) | 163 ≡ 181 (mód. 6) |
| 181 ≡ 199 (mód. 3) | 181 ≡ 199 (mód. 6) |
| 199 ≡ 271 (mód. 3) | 199 ≡ 271 (mód. 6) |
| 271 ≡ 307 (mód. 3) | 271 ≡ 307 (mód. 6) |
| 307 ≡ 379 (mód. 3) | 307 ≡ 379 (mód. 6) |
| 19 ≡ 37 (mód. 9) | 19 ≡ 37 (mód. 18) |
| 37 ≡ 73 (mód. 9) | 37 ≡ 73 (mód. 18) |
| 73 ≡ 109 (mód. 9) | 73 ≡ 109 (mód. 18) |
| 109 ≡ 127 (mód. 9) | 109 ≡ 127 (mód. 18) |
| 127 ≡ 163 (mód. 9) | 127 ≡ 163 (mód. 18) |
| 163 ≡ 181 (mód. 9) | 163 ≡ 181 (mód. 18) |
| 181 ≡ 199 (mód. 9) | 181 ≡ 199 (mód. 18) |
| 199 ≡ 271 (mód. 9) | 199 ≡ 271 (mód. 18) |
| 271 ≡ 307 (mód. 9) | 271 ≡ 307 (mód. 18) |
| 307 ≡ 379 (mód. 9) | 307 ≡ 379 (mód. 18) |
11, 29, 47, 83, 101, 137, 173, 191, 227, 263, ...
Números primos que são congruentes a módulo 3, 6, 9, 18.
13, 31, 67, 103, 139, 157, 193, 211, 229, 283, ...
Números primos que são congruentes a módulo 3, 6, 9, 18.
5, 23, 41, 59, 113, 131, 149, 167, 239, 257, ...
Números primos que são congruentes a módulo 3, 6, 9, 18.
7, 43, 61, 79, 97, 151, 223, 241, 277, 313, ...
Números primos que são congruentes a módulo 3, 6, 9, 18.
17, 53, 71, 89, 107, 179, 197, 233, 251, 269, ...
Números primos que são congruentes a módulo 3, 6, 9, 18.
Progressões aritméticas cujos primeiros termos são números primos de cada grupo em que os noves foras são: (1), (2), (4), (5), (7) e (8) e razões 18, apresentam regularidades nas somas de seus algarismos e raízes digitais.
Progressão Aritmética cujo primeiro termo é 7 e razão 18 têm-se as seguintes regularidades:
a) as somas dos algarismos dos termos da P.A têm como resultados 7 e 16 de forma aleatória;
b) a raiz digital 7 é comum a todos os termos da P.A.
| Tabela 1 | ||
| Progressão Aritmética | ||
| 10 termo 7 - razão 18 | ||
| PA | soma de | raiz |
| algarismos | digital | |
| 7 | 7 | 7 |
| 25 | 7 | 7 |
| 43 | 7 | 7 |
| 61 | 7 | 7 |
| 79 | 16 | 7 |
| 97 | 16 | 7 |
| 115 | 7 | 7 |
| 133 | 7 | 7 |
| 151 | 7 | 7 |
| 169 | 16 | 7 |
| 187 | 16 | 7 |
| 205 | 7 | 7 |
| 223 | 7 | 7 |
| 241 | 7 | 7 |
| 259 | 16 | 7 |
| 277 | 16 | 7 |
| 295 | 16 | 7 |
| 313 | 7 | 7 |
| 331 | 7 | 7 |
| 349 | 16 | 7 |
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Progressão Aritmética cujo primeiro termo é 11 e razão 18 têm-se as seguintes regularidades:
a) as somas dos algarismos dos termos da P.A têm como resultados 2 e 11 de forma aleatória;
b) a raiz digital 2 é comum a todos os termos da P.A.
| Tabela 2 | ||
| Progressão Aritmética | ||
| 10 termo 11 - razão 18 | ||
| PA | soma de | raiz |
| algarismos | digital | |
| 11 | 2 | 2 |
| 29 | 11 | 2 |
| 47 | 11 | 2 |
| 65 | 11 | 2 |
| 83 | 11 | 2 |
| 101 | 2 | 2 |
| 119 | 11 | 2 |
| 137 | 11 | 2 |
| 155 | 11 | 2 |
| 173 | 11 | 2 |
| 191 | 11 | 2 |
| 209 | 11 | 2 |
| 227 | 11 | 2 |
| 245 | 11 | 2 |
| 263 | 11 | 2 |
| 281 | 11 | 2 |
| 299 | 11 | 2 |
| 317 | 11 | 2 |
| 335 | 11 | 2 |
| 353 | 11 | 2 |
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Progressão Aritmética cujo primeiro termo é 13 e razão 18 têm-se as seguintes regularidades:
a) as somas dos algarismos dos termos da P.A têm como resultados 4 e 13 de forma aleatória;
b) a raiz digital 4 é comum a todos os termos da P.A.
| Tabela 3 | ||
| Progressão Aritmética | ||
| 10 termo 13 - razão 18 | ||
| soma de | raiz | |
| PA | algarismos | digital |
| 13 | 4 | 4 |
| 31 | 4 | 4 |
| 49 | 13 | 4 |
| 67 | 13 | 4 |
| 85 | 13 | 4 |
| 103 | 4 | 4 |
| 121 | 4 | 4 |
| 139 | 13 | 4 |
| 157 | 13 | 4 |
| 175 | 13 | 4 |
| 193 | 13 | 4 |
| 211 | 4 | 4 |
| 229 | 13 | 4 |
| 247 | 13 | 4 |
| 265 | 13 | 4 |
| 283 | 13 | 4 |
| 301 | 4 | 4 |
| 319 | 13 | 4 |
| 337 | 13 | 4 |
| 355 | 13 | 4 |
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Progressão Aritmética cujo primeiro termo é 17 e razão 18 têm-se as seguintes regularidades:
a) as somas dos algarismos dos termos da P.A têm como resultados 8 e 17 de forma aleatória;
b) a raiz digital 8 é comum a todos os termos da P.A.
| Tabela 4 | ||
| Progressão Aritmética | ||
| 10 termo 17 - razão 18 | ||
| soma de | raiz | |
| PA | algarismos | digital |
| 17 | 8 | 8 |
| 35 | 8 | 8 |
| 53 | 8 | 8 |
| 71 | 8 | 8 |
| 89 | 17 | 8 |
| 107 | 8 | 8 |
| 125 | 8 | 8 |
| 143 | 8 | 8 |
| 161 | 8 | 8 |
| 179 | 17 | 8 |
| 197 | 17 | 8 |
| 215 | 8 | 8 |
| 233 | 8 | 8 |
| 251 | 8 | 8 |
| 269 | 17 | 8 |
| 287 | 17 | 8 |
| 305 | 8 | 8 |
| 323 | 8 | 8 |
| 341 | 8 | 8 |
| 359 | 17 | 8 |
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Progressão Aritmética cujo primeiro termo é 19 e razão 18 têm-se as seguintes regularidades:
a) as somas dos algarismos dos termos da P.A têm como resultados 10;
b) a raiz digital 1 é comum a todos os termos da P.A.
| Tabela 5 | ||
| Progressão Aritmética | ||
| 10 termo 19 - razão 18 | ||
| soma de | raiz | |
| PA | algarismos | digital |
| 19 | 10 | 1 |
| 37 | 10 | 1 |
| 55 | 10 | 1 |
| 73 | 10 | 1 |
| 91 | 10 | 1 |
| 109 | 10 | 1 |
| 127 | 10 | 1 |
| 145 | 10 | 1 |
| 163 | 10 | 1 |
| 181 | 10 | 1 |
| 199 | 19 | 1 |
| 217 | 10 | 1 |
| 235 | 10 | 1 |
| 253 | 10 | 1 |
| 271 | 10 | 1 |
| 289 | 19 | 1 |
| 307 | 10 | 1 |
| 325 | 10 | 1 |
| 343 | 10 | 1 |
| 361 | 10 | 1 |
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Progressão Aritmética cujo primeiro termo é 23 e razão 18 têm-se as seguintes regularidades:
a) as somas dos algarismos dos termos da P.A têm como resultados 5 e 14 de forma aleatória;
b) a raiz digital 5 é comum a todos os termos da P.A.
| Tabela 6 | ||
| Progressão Aritmética | ||
| 10 termo 23 - razão 18 | ||
| soma | raiz | |
| PA | algarismos | digital |
| 23 | 5 | 5 |
| 41 | 5 | 5 |
| 59 | 14 | 5 |
| 77 | 14 | 5 |
| 95 | 14 | 5 |
| 113 | 5 | 5 |
| 131 | 5 | 5 |
| 149 | 14 | 5 |
| 167 | 14 | 5 |
| 185 | 14 | 5 |
| 203 | 5 | 5 |
| 221 | 5 | 5 |
| 239 | 14 | 5 |
| 257 | 14 | 5 |
| 275 | 14 | 5 |
| 293 | 14 | 5 |
| 311 | 5 | 5 |
| 329 | 14 | 5 |
| 347 | 14 | 5 |
| 365 | 14 | 5 |
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Divindindo-se circunferências concêntricas em 9 partes e as númerando com números ímpares em sentido horário nos pontos de intersecções com os raios, obtêm-se progressões aritméticas de razões 18 cujos termos noves foras são respectivamente: (1), (5), (7), (2), (4) e (8), isto é, as raízes digitais ( restos de divisões por 9 ).
Múltiplos de 3 formam triângulo equilátero.
Veja estudo:
011-estudos-062-numeros-primos-circunferencia-9-partes
Tabulando-se as P.A.s, verifica-se que em cada linha, os números ímpares estão em ordem crescente, logicamente, excluídos os múltiplos de 3 e de 9.
Entre as P.A.s, há números compostos semiprimos (produto de 2 números primos distintos).
Exemplos:
a) coluna A - número 55
55 / 5 = 11 (se encontra na coluna D)
b) coluna A - número 145
145 / 5 = 29 (se encontra na coluna D)
c) coluna A - número 235
235 / 5 = 47 (se encontra na coluna D)
| Tabela 7 | |||||
| Números Primos | |||||
| e circunferências em 9 partes | |||||
| A | B | C | D | E | F |
| raiz digital (resto de divisão por 9) | |||||
| (1) | (5) | (7) | (2) | (4) | (8) |
| PA | PA | PA | PA | PA | PA |
| 1 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 |
| 19 | 23 | 25 | 29 | 31 | 35 |
| 37 | 41 | 43 | 47 | 49 | 53 |
| 55 | 59 | 61 | 65 | 67 | 71 |
| 73 | 77 | 79 | 83 | 85 | 89 |
| 91 | 95 | 97 | 101 | 103 | 107 |
| 109 | 113 | 115 | 119 | 121 | 125 |
| 127 | 131 | 133 | 137 | 139 | 143 |
| 145 | 149 | 151 | 155 | 157 | 161 |
| 163 | 167 | 169 | 173 | 175 | 179 |
| 181 | 185 | 187 | 191 | 193 | 197 |
| 199 | 203 | 205 | 209 | 211 | 215 |
| 217 | 221 | 223 | 227 | 229 | 233 |
| 235 | 239 | 241 | 245 | 247 | 251 |
| 253 | 257 | 259 | 263 | 265 | 269 |
| 271 | 275 | 277 | 281 | 283 | 287 |
| 289 | 293 | 295 | 299 | 301 | 305 |
| 307 | 311 | 313 | 317 | 319 | 323 |
| 325 | 329 | 331 | 335 | 337 | 341 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
O Engenheiro Kardi Teknomo, em seu WebSite, apresenta um interessante estudo estatístico realizado em um rol de 664.579 primos no qual faz as seguintes conjecturas:
"1. O padrão da raiz digital de um número primo é caótico (não sei como provar isso?).
2. O número 3 (cuja raiz digital também é 3) é o único número primo que tem raiz digital igual a 3 (surpresa!).
3. Não existe nenhum número primo com raiz digital igual a 6 e 9.
4. As raízes digitais dos números primos estão distribuídas quase igualmente entre (1, 2, 4, 5, 7, 8), cerca de 1/6 (comportamento limitante a longo prazo)."
| Tabela 8 | ||
| Distribuição da Raiz Digital dos Números Primos | ||
| Raiz digital | Freqüência | Percentagem |
| 1 | 110772 | 16,67% |
| 2 | 110836 | 16,68% |
| 3 | 1 | 0,00% |
| 4 | 110743 | 16,66% |
| 5 | 110760 | 16,67% |
| 6 | 0 | 0% |
| 7 | 110679 | 16,65% |
| 8 | 110788 | 16,67% |
| 9 | 0 | 0% |
| Soma | 664579 | 100,00% |
Fonte: adaptado de Teknomo, Kardi (2005). Raiz Digital.,
Interessante observar na amonstra de 664.579 números primos que as frequências de raízes digitais são praticamente nas mesmas quantidades (média de 110763) e as percentagens (16,6%) formandos por algarismos bem sugestivos e que remete ao Número Áureo 1,6.
Autor: Ricardo Silva - julho/2026
Costa, Aristóteles. Uma ideia para os números primos. Teresina-PI, 07/04/2023.
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
[2] Teknomo, Kardi (2005). Raiz Digital.,
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