Pierre de Fermat, jurista e Entusiasta Matemático francês, (1601-1665), entre várias contribuições à Matemática, em carta a Marin Mersenne (1588-1648), datada de 25 de dezembro de 1640, afirma que números da forma 4x + 1 podem ser escritos como soma de 2 quadrados enquanto números da forma 4x + 3 não podem ser escritos como soma de 2 quadrados.
Números primos da forma 4x + 1 são escritos como uma única dupla de soma de quadrados.
Números compostos da forma 4x + 1 são escritos como mais de uma dupla de soma de quadrados.
O presente estudo demonstram as seguintes regularidades entre média aritmética e números quadrados perfeitos:
a) a média aritmética entre 2 números quadrados perfeitos ímpares consecutivos da forma 4x+1 tem como resultado número da forma 4x + 1;
b) a média aritmética entre 2 números da forma 4x + 1 (consecutivos ou não) tem como resultado número da forma 4x + 3;
c) a média aritmética entre 2 números da forma 4x + 3 (consecutivos ou não) tem como resultado número da forma 4x + 1.
Interessante destacar que:
"A conjectura de Legendre, enunciada por Adrien-Marie Legendre, afirma que existe sempre um número primo entre n^2 e (n + 1)^2, para qualquer n inteiro positivo. Essa conjectura faz parte dos problemas de Landau (1912). A conjectura ainda não foi nem provada nem refutada.
Chen Jingrun demonstrou em 1965 que existe sempre um número compreendido entre n^2 e (n = 1)^2 que é primo ou semiprimo, ou seja, o produto de dois primos. Além disso, sabe-se que há sempre um número primo entre n - n^0 e n, sendo Θ 23/42 = 0,547... (demonstrado por Iwaniec e Pintz em 1984)"
Fonte: ttps://pt.wikipedia.org/
A média aritmética entre 2 números quadrados perfeitos consecutivos têm como quocientes números que são 1/2 unidade maior que um número retangular.[1]
Exemplos:
a) ( 1 + 4 ) / 2 = 2,5
b) (4 + 9 ) / 2 = 6,5
c) (9 + 16 ) / 2 = 12, 5
Número retangular é o produto de 2 números consecutivos.
Exemplos:
a) 1 x 2 = 2
b) 2 x 3 = 6
c) 3 x 4 = 12
A média aritmética entre dois números quadrados perfeitos ímpares consecutivos tem como resultado um número da forma 4x + 1.
Exemplos:
a) ( 1 + 9 ) / 2 = 5
a) ( 9 + 25 ) / 2 = 17
b) ( 25 + 49 ) / 2 = 37
Esta regularidade também se constata no dispositivo numérico Tabuada de Progressões Aritméticas de Números Ímpares da forma 4x + 1.[2]
Os números quadrados perfeitos (verde) são produtos de 4 por triangular mais 1 unidade e os quadrados perfeitos (lilás) são produtos de 4 por quadrado perfeito mais 1 unidade.
| Tabuada de | |||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Progressões Aritméticas | |||||||||||||||
| de Números Ímpares da forma 4x + 1 | |||||||||||||||
| 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | ||
| + | + | + | + | + | + | + | + | + | + | + | + | + | + | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | 21 | 23 | 25 | 27 | 29 | |
| 3 | 5 | 9 | 13 | 17 | 21 | 25 | 29 | 33 | 37 | 41 | 45 | 49 | 53 | 57 | |
| 4 | 7 | 13 | 19 | 25 | 31 | 37 | 43 | 49 | 55 | 61 | 67 | 73 | 79 | 85 | |
| 5 | 9 | 17 | 25 | 33 | 41 | 49 | 57 | 65 | 73 | 81 | 89 | 97 | 105 | 113 | |
| 6 | 11 | 21 | 31 | 41 | 51 | 61 | 71 | 81 | 91 | 101 | 111 | 121 | 131 | 141 | |
| 7 | 13 | 25 | 37 | 49 | 61 | 73 | 85 | 97 | 109 | 121 | 133 | 145 | 157 | 169 | |
| 8 | 15 | 29 | 43 | 57 | 71 | 85 | 99 | 113 | 127 | 141 | 155 | 169 | 183 | 197 | |
| 9 | 17 | 33 | 49 | 65 | 81 | 97 | 113 | 129 | 145 | 161 | 177 | 193 | 209 | 225 | |
| 10 | 19 | 37 | 55 | 73 | 91 | 109 | 127 | 145 | 163 | 181 | 199 | 217 | 235 | 253 | |
| 11 | 21 | 41 | 61 | 81 | 101 | 121 | 141 | 161 | 181 | 201 | 221 | 241 | 261 | 281 | |
| 12 | 23 | 45 | 67 | 89 | 111 | 133 | 155 | 177 | 199 | 221 | 243 | 265 | 287 | 309 | |
| 13 | 25 | 49 | 73 | 97 | 121 | 145 | 169 | 193 | 217 | 241 | 265 | 289 | 313 | 337 | |
| 14 | 27 | 53 | 79 | 105 | 131 | 157 | 183 | 209 | 235 | 261 | 287 | 313 | 339 | 365 | |
| 15 | 29 | 57 | 85 | 113 | 141 | 169 | 197 | 225 | 253 | 281 | 309 | 337 | 365 | 393 | |
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a) números da forma 4x + 1 (amarelo)
b) números da forma 4x + 3 (verde)
O Triângulo Numérico 15 possue uma interessantíssima propriedade relacionada as formas 4x + 1 e 4x + 3 que as unem e que é a Média Aritmética.
A média aritmética de 2 números da forma 4x + 1 é um número da forma 4x + 3.
Exemplos:
( 13 + 17 ) / 2 = 15 é da forma 4x + 3
( 17 + 21 ) / 2 = 19 é da forma 4x + 3
( 21 + 25 ) / 2 = 23 é da forma 4x + 3
A média aritmética de 2 números da forma 4x + 3 é um número da forma 4x + 1.
Exemplos:
( 7 + 11 ) / 2 = 9 é da forma 4x + 1
( 11 + 15 ) / 2 = 13 é da forma 4x + 1
( 15 + 19 ) / 2 = 17 é da forma 4x + 1
Interessante observar que o padrão geométrico formado é semelhante a um tabuleiro de Jogo de Xadrez.
| Números de Fermat | ||||||||||||||||
| 4x + 1 | ||||||||||||||||
| e o Triângulo Numérico 15 | ||||||||||||||||
| raízes | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| quadrados | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 |
| linha | ||||||||||||||||
| 1 | 02 | 05 | 10 | 17 | 26 | 37 | 50 | 65 | 82 | 101 | 122 | 145 | 170 | 197 | 226 | |
| 2 | 03 | 06 | 11 | 18 | 27 | 38 | 51 | 66 | 83 | 102 | 123 | 146 | 171 | 198 | 227 | |
| 3 | 07 | 12 | 19 | 28 | 39 | 52 | 67 | 84 | 103 | 124 | 147 | 172 | 199 | 228 | ||
| 4 | 08 | 13 | 20 | 29 | 40 | 53 | 68 | 85 | 104 | 125 | 148 | 173 | 200 | 229 | ||
| 5 | 14 | 21 | 30 | 41 | 54 | 69 | 86 | 105 | 126 | 149 | 174 | 201 | 230 | |||
| 6 | 15 | 22 | 31 | 42 | 55 | 70 | 87 | 106 | 127 | 150 | 175 | 202 | 231 | |||
| 7 | 23 | 32 | 43 | 56 | 71 | 88 | 107 | 128 | 151 | 176 | 203 | 232 | ||||
| 8 | 24 | 33 | 44 | 57 | 72 | 89 | 108 | 129 | 152 | 177 | 204 | 233 | ||||
| 9 | 34 | 45 | 58 | 73 | 90 | 109 | 130 | 153 | 178 | 205 | 234 | |||||
| 10 | 35 | 46 | 59 | 74 | 91 | 110 | 131 | 154 | 179 | 206 | 235 | |||||
| 11 | 47 | 60 | 75 | 92 | 111 | 132 | 155 | 180 | 207 | 236 | ||||||
| 12 | 48 | 61 | 76 | 93 | 112 | 133 | 156 | 181 | 208 | 237 | ||||||
| 13 | 62 | 77 | 94 | 113 | 134 | 157 | 182 | 209 | 238 | |||||||
| 14 | 63 | 78 | 95 | 114 | 135 | 158 | 183 | 210 | 239 | |||||||
| 15 | 79 | 96 | 115 | 136 | 159 | 184 | 211 | 240 | ||||||||
| 16 | 80 | 97 | 116 | 137 | 160 | 185 | 212 | 241 | ||||||||
| 17 | 98 | 117 | 138 | 161 | 186 | 213 | 242 | |||||||||
| 18 | 99 | 118 | 139 | 162 | 187 | 214 | 243 | |||||||||
| 19 | 119 | 140 | 163 | 188 | 215 | 244 | ||||||||||
| 20 | 120 | 141 | 164 | 189 | 216 | 245 | ||||||||||
| 21 | 142 | 165 | 190 | 217 | 246 | |||||||||||
| 22 | 143 | 166 | 191 | 218 | 247 | |||||||||||
| 23 | 167 | 192 | 219 | 248 | ||||||||||||
| 24 | 168 | 193 | 220 | 249 | ||||||||||||
| 25 | 194 | 221 | 250 | |||||||||||||
| 26 | 195 | 222 | 251 | |||||||||||||
| 27 | 223 | 252 | ||||||||||||||
| 28 | 224 | 253 | ||||||||||||||
| 29 | 254 | |||||||||||||||
| 30 | 255 | |||||||||||||||
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Fonte: triângulo adaptado de : Marques, David Dias. O Triângulo Numérico 15 e a Espiral de Ulam. em david-dias-marques-2025-009 -o-triangulo-numerico-15-e-a-espiral-de-ulam
A média aritmética entre 2 quadrados perfeitos ímpares não consecutivos têm como resultados números da forma 4x + 1.
( 1 + 25 ) / 2 = 13 é da forma 4x + 1
( 1 + 49 ) / 2 = 25 é da forma 4x + 1
( 1 + 81 ) / 2 = 41 é da forma 4x + 1
( 9 + 81 ) / 2 = 45 é da forma 4x + 1
( 9 + 121 ) / 2 = 65 é da forma 4x + 1
( 9 + 169 ) / 2 = 89 é da forma 4x + 1
( 25 + 81 ) / 2 = 53 é da forma 4x + 1
( 25 + 121 ) / 2 = 73 é da forma 4x + 1
( 25 + 169 ) / 2 = 97 é da forma 4x + 1
A média aritmética entre 2 quadrados perfeitos pares não não consecutivos e que são potências de base 2 têm como resultados números que são múltiplos de números da forma 4x + 1.
( 4 + 64 ) / 2 = 34 (dobro de 17 que é forma 4x + 1)
( 4 + 256 ) / 2 = 130 (dobro de 65 que é forma 4x + 1)
( 4 + 1024 ) / 2 = 514 (dobro de 257 que é forma 4x + 1)
( 4 + 36 ) / 2 = 20 (quádruplo de 5)
( 4 + 100 ) / 2 = 52 (quádruplo de 13)
( 4 + 144 ) / 2 = 74 (quádruplo de 37)
( 16 + 256 ) / 2 = 136 (óctuplo de 17)
( 16 + 1024 ) / 2 = 520 (óctuplo de 65)
( 16 + 4096) / 2 = 2056 (óctuplo de 257)
A média aritmética entre 2 quadrados perfeitos pares não não consecutivos e que não são potências de base 2 têm como resultados números que são múltiplos de números da forma 4x + 1.
( 36 + 100 ) / 2 = 68 (quádruplo de 17)
( 36 + 144 ) / 2 = 90 (dobro de 45)
( 36 + 256 ) / 2 = 146 (dobro de 73)
Números Figurados Quadrados Centrados são números da da forma 4x + 1.
Autor: Ricardo Silva - setembro/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
Fonte: ttps://pt.wikipedia.org/
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