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capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo
Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Tabuada de Progressões Aritméticas com Números Ímpares - 596

Há dois métodos de se gerarem sequências numéricas: uma através de progressão aritmética e outra através de progressão geométrica.

Tabuada de Progressões Aritméticas com Números Ímpares

Na progressão aritmética soma-se um número constante a partir do primeiro termo.

Na progressão geométrica multiplica-se um número constante a partir do primeiro termo.

O presente estudo demonstra a Tabuada de Progressões Aritméticas de forma sintética e com algumas progressões aritméticas com números ímpares cujos primeiros termos é o número 1 somados com constantes números pares, nas quais podem ser extraídas regularidades numéricas relacionadas a números da forma 4x + 1:

Números da forma 4x + 1 são números que podem ser escritos como soma de 2 quadrados perfeitos.

Linhas e coluna iniciais

a) linha 1 (azul) - constituída por primeiros termos o número 1;

b) linha 2 (amarela) - formada pela sequência de ímpares a partir do número 3;

c) coluna 1 (amarela) - formada pela sequência de ímpares;

Tabuada de
Progressões Aritméticas
de Números Ímpares da forma 4x + 1
                               
    2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
    + + + + + + + + + + + + + +
1   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2   3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
3   5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57
4   7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85
5   9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113
6   11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141
7   13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133 145 157 169
8   15 29 43 57 71 85 99 113 127 141 155 169 183 197
9   17 33 49 65 81 97 113 129 145 161 177 193 209 225
10   19 37 55 73 91 109 127 145 163 181 199 217 235 253
11   21 41 61 81 101 121 141 161 181 201 221 241 261 281
12   23 45 67 89 111 133 155 177 199 221 243 265 287 309
13   25 49 73 97 121 145 169 193 217 241 265 289 313 337
14   27 53 79 105 131 157 183 209 235 261 287 313 339 365
15   29 57 85 113 141 169 197 225 253 281 309 337 365 393
                               
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Diagonal Principal

A diagonal principal (amarela) é formada por sequência de números ímpares da forma 4x + 1 (excluindo o 1).

Números da forma 4x + 1 são números que podem ser escritos como soma de 2 quadrados.

Números da forma 4x + 1 são números que ao serem divididos por 4 deixam resto 1.

Exclusivamente os números da diagonal principal são gerados pelo produto de 4 por um triangular mais 1 unidade

Exemplos:

a) 4 x 1 + 1 = 5

b) 4 x 3 + 1 = 13

c) 4 x 6 + 1 = 25

Tabuada de
Progressões Aritméticas
de Números Ímpares da forma 4x + 1
                               
    2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
    + + + + + + + + + + + + + +
1   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2   3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
3   5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57
4   7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85
5   9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113
6   11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141
7   13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133 145 157 169
8   15 29 43 57 71 85 99 113 127 141 155 169 183 197
9   17 33 49 65 81 97 113 129 145 161 177 193 209 225
10   19 37 55 73 91 109 127 145 163 181 199 217 235 253
11   21 41 61 81 101 121 141 161 181 201 221 241 261 281
12   23 45 67 89 111 133 155 177 199 221 243 265 287 309
13   25 49 73 97 121 145 169 193 217 241 265 289 313 337
14   27 53 79 105 131 157 183 209 235 261 287 313 339 365
15   29 57 85 113 141 169 197 225 253 281 309 337 365 393
                               
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Diagonais Paralelas à Principal

Nas diagonais paralelas à principal (laranjas) há formações sequênciais "espelhadas" de números ímpares da forma 4x + 1, onde x é um número triangular.

Tabuada de
Progressões Aritméticas
de Números Ímpares da forma 4x + 1
                               
    2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
    + + + + + + + + + + + + + +
1   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2   3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
3   5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57
4   7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85
5   9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113
6   11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141
7   13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133 145 157 169
8   15 29 43 57 71 85 99 113 127 141 155 169 183 197
9   17 33 49 65 81 97 113 129 145 161 177 193 209 225
10   19 37 55 73 91 109 127 145 163 181 199 217 235 253
11   21 41 61 81 101 121 141 161 181 201 221 241 261 281
12   23 45 67 89 111 133 155 177 199 221 243 265 287 309
13   25 49 73 97 121 145 169 193 217 241 265 289 313 337
14   27 53 79 105 131 157 183 209 235 261 287 313 339 365
15   29 57 85 113 141 169 197 225 253 281 309 337 365 393
                               
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Diagonal Secundária Principal

A diagonal secundária principal (laranja) é formada por sequências simétricas de números ímpares da forma 4x + 1.

Interessante observar que a diagonal (azul) é o divisor da simetria das sequências numéricas.

A diagonal (azul) é formada por números em sua grande parte por múltiplos de 3: 3, 9, 33, 51, 99, 129, 201,...

Tabuada de
Progressões Aritméticas
de Números Ímpares da forma 4x + 1
                               
    2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
    + + + + + + + + + + + + + +
1   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2   3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
3   5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57
4   7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85
5   9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113
6   11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141
7   13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133 145 157 169
8   15 29 43 57 71 85 99 113 127 141 155 169 183 197
9   17 33 49 65 81 97 113 129 145 161 177 193 209 225
10   19 37 55 73 91 109 127 145 163 181 199 217 235 253
11   21 41 61 81 101 121 141 161 181 201 221 241 261 281
12   23 45 67 89 111 133 155 177 199 221 243 265 287 309
13   25 49 73 97 121 145 169 193 217 241 265 289 313 337
14   27 53 79 105 131 157 183 209 235 261 287 313 339 365
15   29 57 85 113 141 169 197 225 253 281 309 337 365 393
                               
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Diagonais Secundárias Pararelas

Em diagonais secundárias paralelas à diagonal secundária principal há formações de sequências simétricas de números ímpares da forma 4x + 1. (lilás).

Tabuada de
Progressões Aritméticas
de Números Ímpares da forma 4x + 1
                               
    2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
    + + + + + + + + + + + + + +
1   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2   3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
3   5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57
4   7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85
5   9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113
6   11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141
7   13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133 145 157 169
8   15 29 43 57 71 85 99 113 127 141 155 169 183 197
9   17 33 49 65 81 97 113 129 145 161 177 193 209 225
10   19 37 55 73 91 109 127 145 163 181 199 217 235 253
11   21 41 61 81 101 121 141 161 181 201 221 241 261 281
12   23 45 67 89 111 133 155 177 199 221 243 265 287 309
13   25 49 73 97 121 145 169 193 217 241 265 289 313 337
14   27 53 79 105 131 157 183 209 235 261 287 313 339 365
15   29 57 85 113 141 169 197 225 253 281 309 337 365 393
                               
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Números Quadrados Perfeitos Ímpares

Tendo como referência a diagonal (azul), os números quadrados perfeitos ímpares estão simetricamente espaçados em diagonais secundárias.

Interessante observar que os números quadrados vão se distanciando do ponto inicial da diagonal principal (amarela) e também da diagonal (azul).

Excluindo-se o quadrado 1, os demais números quadrados perfeitos ímpares são da forma 4x + 1.

Tabuada de
Progressões Aritméticas
de Números Ímpares da forma 4x + 1
                               
    2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
    + + + + + + + + + + + + + +
1   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2   3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
3   5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57
4   7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85
5   9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113
6   11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141
7   13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133 145 157 169
8   15 29 43 57 71 85 99 113 127 141 155 169 183 197
9   17 33 49 65 81 97 113 129 145 161 177 193 209 225
10   19 37 55 73 91 109 127 145 163 181 199 217 235 253
11   21 41 61 81 101 121 141 161 181 201 221 241 261 281
12   23 45 67 89 111 133 155 177 199 221 243 265 287 309
13   25 49 73 97 121 145 169 193 217 241 265 289 313 337
14   27 53 79 105 131 157 183 209 235 261 287 313 339 365
15   29 57 85 113 141 169 197 225 253 281 309 337 365 393
                               
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Entre dois Números Quadrados Perfeitos Ímpares

Entre dois números quadrados perfeitos ímpares (cor verde) há também números da forma 4x + 1 (lilás).

Exemplos:

a) 9 [17] 25

b) 25 [37] 49

c) 49 [65] 81

A média aritmética entre dois números quadrados perfeitos ímpares consecutivos tem como resultado um número da forma 4x + 1.

Exemplos:

a) ( 9 + 25 ) / 2 = 17

b) ( 25 + 49 ) / 2 = 37

c) ( 49 + 81 ) / 2 = 65

Tabuada de
Progressões Aritméticas
de Números Ímpares da forma 4x + 1
                               
    2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
    + + + + + + + + + + + + + +
1   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2   3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
3   5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57
4   7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85
5   9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113
6   11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141
7   13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133 145 157 169
8   15 29 43 57 71 85 99 113 127 141 155 169 183 197
9   17 33 49 65 81 97 113 129 145 161 177 193 209 225
10   19 37 55 73 91 109 127 145 163 181 199 217 235 253
11   21 41 61 81 101 121 141 161 181 201 221 241 261 281
12   23 45 67 89 111 133 155 177 199 221 243 265 287 309
13   25 49 73 97 121 145 169 193 217 241 265 289 313 337
14   27 53 79 105 131 157 183 209 235 261 287 313 339 365
15   29 57 85 113 141 169 197 225 253 281 309 337 365 393
                               
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Diagonais de números primos

Assim como a diagonal secundária principal (laranja), há outras diagonais excusivamente formada por sequências de números primos.

Nos exemplos, as sequências de primos passam tangenciando números quadrados perfeitos (verde).

Tabuada de
Progressões Aritméticas
de Números Ímpares da forma 4x + 1
                               
    2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
    + + + + + + + + + + + + + +
1   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2   3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
3   5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57
4   7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85
5   9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113
6   11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141
7   13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133 145 157 169
8   15 29 43 57 71 85 99 113 127 141 155 169 183 197
9   17 33 49 65 81 97 113 129 145 161 177 193 209 225
10   19 37 55 73 91 109 127 145 163 181 199 217 235 253
11   21 41 61 81 101 121 141 161 181 201 221 241 261 281
12   23 45 67 89 111 133 155 177 199 221 243 265 287 309
13   25 49 73 97 121 145 169 193 217 241 265 289 313 337
14   27 53 79 105 131 157 183 209 235 261 287 313 339 365
15   29 57 85 113 141 169 197 225 253 281 309 337 365 393
                               
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Observação importante: os estudos da Tabuada de Progressões Aritméticas de Números Ímpares da forma 4x + 1 tem como base o estudo:

011-estudos-158-numeros-impares-curiosidades

do ano de 2017.

Autor: Ricardo Silva - setembro/2025

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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