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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Sequência de Fibonacci e números múltiplos- 222

A sequência numérica: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,... pode ser encontrada nas formações de diversos elementos da natureza como na fauna, na flora, nos cosmos, como também, nas ciências biológicas, físicas, matemáticas, etc...

Sequência de Fibonacci e números múltiplos

Ela apareceu em um problema em que se desejava saber o crescimento de população de coelhos e foi publicada no livro Liber Abacci - Livro do Ábaco ou do Cálculo - (1202) de autoria de Leonardo de Pisa (1175-?), conhecido como Fibonacci.

Fibonacci foi quem levou para a Europa os conhecimentos de aritmética, álgebra e geometria desenvolvidos pelas civilizações indiana e árabe com a utilização do numerais indo-arábicos [2].

A sequência numérica é formada repetindo-se o número 1 duas vezes e após o terceiro elemento, somando-se dois números anteriores.

A razão entre um termo posterior e anterior a partir do termo 5 tem como resultado aproximado o número de ouro: 1,6.

5 : 3 = 1,66

8 : 5 = 1,6

13 : 8 = 1,625

21 : 13 = 1,615

François-Édouard-Anatole Lucas (1842-1891), matemático francês estudioso das obras de Leonardo de Pisa foi quem popularizou os Números de Fibonacci e que através dela criou outra sequência semelhante chamada de Sequência de Lucas: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18,...

Há várias propriedades matemáticas e numéricas embutidas na Sequência de Fibonacci, eis algumas delas [1]:

Divisores dos números de Fibonacci;

Número 89 e o 1/89;

Periodicidade da seqüência de Fibonacci;

Soma dos números da seqüência;

Somas dos números de Fibonacci de ordem ímpar;

Somas dos números de Fibonacci de ordem par;

Soma dos quadrados dos números de Fibonacci;

Fibonacci Pitagórico;

Seqüência de Lucas.

Números de Fibonacci e seus múltiplos

A tabela a seguir apresenta os 10 primeiros termos da Sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 e 55 na linha 1 e nas demais linhas e colunas números múltiplos correspondentes a estes termos.

Cada linha subsequente apresenta números da Sequência de Fibonacci de 1 a 55 multiplicado por número natural, isto é, na linha 2 temos números de Fibonacci multiplicado por 2, na linha 3 multiplicado por 3 e assim por diante.

Interessante observar que cada linha de múltiplos apresenta semelhança com a sequência original de Fibonacci, tem-se a repetição de dois primeiros termos e os demais são a soma a partir do terceiro termo.

Nota-se também que podem ser formadas sequências de Fibonacci derivadas escolhendo-se aleatoriamente um número natural.

Exemplo:

Escolhendo-se o número 2, forma-se sequência semelhante à Sequência de Fibonacci.

2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110,...

Números de Fibonacci e múltiplos
 
                     
Números de Fibonacci
Linha                    
1 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
                     
Múltiplos do Números de Fibonacci
                     
2 2 2 4 6 10 16 26 42 68 110
                     
3 3 3 6 9 15 24 39 63 102 165
                     
4 4 4 8 12 20 32 52 84 136 220
                     
5 5 5 10 15 25 40 65 105 170 275
                     
6 6 6 12 18 30 48 78 126 204 330
                     
7 7 7 14 21 35 56 91 147 238 385
                     
8 8 8 16 24 40 64 104 168 272 440
                     
9 9 9 18 27 45 72 117 189 306 495
                     
10 10 10 20 30 50 80 130 210 340 550
                     
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Números de Fibonacci multiplicados por 2

Números de Fibonacci multiplicados por 2 geram sequência derivada em que a razão entre dois termos consecutivos a partir do quinto termo tem como resultado aproximado a razão áurea 1,6.

Números de Fibonacci multiplicados 2 razão
   
1 2
1 2 1
2 4 2
3 6 1,5
5 10 1,666667
8 16 1,6
13 26 1,625
21 42 1,615385
34 68 1,619048
55 110 1,617647
     
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Fibonacci Pitagórico - múltiplos de 2

A sequência de 4 números de Fibonacci múltiplos de 2 é válida para formar terno pitagórico derivado.

Esta propriedade foi descoberta pelo matemático Charles Raine. [1]

Sequência 2, 2, 4, 6

2 x 6 = 12

2 x 2 x 4 = 16

22 x 42 = 4 + 16 = 20

Terno pitagórico derivado 12, 16, 20.

Números de Fibonacci multiplicados por 3

Números de Fibonacci multiplicados por 3 geram sequência derivada em que a razão entre dois termos consecutivos a partir do quinto termo tem como resultado aproximado a razão áurea 1,6.

Números de Fibonacci multiplicados 3 razão
   
1 3
1 3 1
2 6 2
3 9 1,5
5 15 1,666667
8 24 1,6
13 39 1,625
21 63 1,615385
34 102 1,619048
55 165 1,617647
     
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Fibonacci Pitagórico - múltiplos de 3

A sequência de 4 números de Fibonacci múltiplos de 3 é valida para formar terno pitagórico derivado.

Sequência 3, 3, 6, 9

3 x 9 = 27

2 x 3 x 6 = 36

32 x 62 = 9 + 36 = 45

Terno pitagórico derivado 27, 36, 45.

Números de Fibonacci multiplicados por 4

Números de Fibonacci multiplicados por 4 geram sequência derivada em que a razão entre dois termos consecutivos a partir do quinto termo tem como resultado aproximado a razão áurea 1,6.

Números de Fibonacci multiplicados 4 razão
   
1 4
1 4 1
2 8 2
3 12 1,5
5 20 1,666667
8 32 1,6
13 52 1,625
21 84 1,615385
34 136 1,619048
55 220 1,617647
     
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Fibonacci Pitagórico - múltiplos de 4

A sequência de 4 números de Fibonacci múltiplos de 4 é válida para formar terno pitagórico derivado.

Sequência 4, 4, 8, 12

4 x 12 = 48

2 x 4 x 8 = 64

42 x 82 = 16 + 64 = 80

Terno pitagórico derivado 48, 64, 80.

Números de Fibonacci multiplicados por 5

Números de Fibonacci multiplicados por 5 geram sequência derivada em que a razão entre dois termos consecutivos a partir do quinto termo tem como resultado aproximado a razão áurea 1,6.

Números de Fibonacci multiplicados 5 razão
   
1 5
1 5 1
2 10 2
3 15 1,5
5 25 1,666667
8 40 1,6
13 65 1,625
21 105 1,615385
34 170 1,619048
55 275 1,617647
     
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Fibonacci Pitagórico - múltiplos de 5

A sequência de 4 números de Fibonacci múltiplos de 5 é válida para formar terno pitagórico derivado.

Sequência 5, 5, 10, 15

5 x 15 = 75

2 x 5 x 10 = 250

52 x 102 = 25 + 100 = 125

Terno pitagórico derivado 75, 250, 125

Autor: Ricardo Silva - julho/2019

Fontes Bibliográficas:

[1] FERREIRA, Rogério Augusto. Sequência de Fibonacci - Trabalho apresentado à disciplina de Pesquisa em Matemática II, do Curso de Matemática Bacharelado e Licenciatura do Centro UNIFIEO, 2007

[2] ASTROLINO e SILVA, Bruno. Números de Fibonacci e números de Lucas. Dissertação (Mestrado de Pós Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) --Instituto de Ciências Matemáicas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2017.

SILVA, Ricardo José. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas - livro digital, São Paulo, 2017.

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