A sequência numérica: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,... pode ser encontrada nas formações de diversos elementos da natureza como na fauna, na flora, nos cosmos, como também, nas ciências biológicas, físicas, matemáticas, etc...
Ela apareceu em um problema em que se desejava saber o crescimento de população de coelhos e foi publicada no livro Liber Abacci - Livro do Ábaco ou do Cálculo - (1202) de autoria de Leonardo de Pisa (1175-?), conhecido como Fibonacci.
Fibonacci foi quem levou para a Europa os conhecimentos de aritmética, álgebra e geometria desenvolvidos pelas civilizações indiana e árabe com a utilização do numerais indo-arábicos [2].
A sequência numérica é formada repetindo-se o número 1 duas vezes e após o terceiro elemento, somando-se dois números anteriores.
A razão entre um termo posterior e anterior a partir do termo 5 tem como resultado aproximado o número de ouro: 1,6.
5 : 3 = 1,66
8 : 5 = 1,6
13 : 8 = 1,625
21 : 13 = 1,615
François-Édouard-Anatole Lucas (1842-1891), matemático francês estudioso das obras de Leonardo de Pisa foi quem popularizou os Números de Fibonacci e que através dela criou outra sequência semelhante chamada de Sequência de Lucas: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18,...
Há várias propriedades matemáticas e numéricas embutidas na Sequência de Fibonacci, eis algumas delas [1]:
Divisores dos números de Fibonacci;
Número 89 e o 1/89;
Periodicidade da seqüência de Fibonacci;
Soma dos números da seqüência;
Somas dos números de Fibonacci de ordem ímpar;
Somas dos números de Fibonacci de ordem par;
Soma dos quadrados dos números de Fibonacci;
Fibonacci Pitagórico;
Seqüência de Lucas.
A tabela a seguir apresenta os 10 primeiros termos da Sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 e 55 na linha 1 e nas demais linhas e colunas números múltiplos correspondentes a estes termos.
Cada linha subsequente apresenta números da Sequência de Fibonacci de 1 a 55 multiplicado por número natural, isto é, na linha 2 temos números de Fibonacci multiplicado por 2, na linha 3 multiplicado por 3 e assim por diante.
Interessante observar que cada linha de múltiplos apresenta semelhança com a sequência original de Fibonacci, tem-se a repetição de dois primeiros termos e os demais são a soma a partir do terceiro termo.
Nota-se também que podem ser formadas sequências de Fibonacci derivadas escolhendo-se aleatoriamente um número natural.
Exemplo:
Escolhendo-se o número 2, forma-se sequência semelhante à Sequência de Fibonacci.
2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110,...
Números de Fibonacci e múltiplos | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Números de Fibonacci | ||||||||||
Linha | ||||||||||
1 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 |
Múltiplos do Números de Fibonacci | ||||||||||
2 | 2 | 2 | 4 | 6 | 10 | 16 | 26 | 42 | 68 | 110 |
3 | 3 | 3 | 6 | 9 | 15 | 24 | 39 | 63 | 102 | 165 |
4 | 4 | 4 | 8 | 12 | 20 | 32 | 52 | 84 | 136 | 220 |
5 | 5 | 5 | 10 | 15 | 25 | 40 | 65 | 105 | 170 | 275 |
6 | 6 | 6 | 12 | 18 | 30 | 48 | 78 | 126 | 204 | 330 |
7 | 7 | 7 | 14 | 21 | 35 | 56 | 91 | 147 | 238 | 385 |
8 | 8 | 8 | 16 | 24 | 40 | 64 | 104 | 168 | 272 | 440 |
9 | 9 | 9 | 18 | 27 | 45 | 72 | 117 | 189 | 306 | 495 |
10 | 10 | 10 | 20 | 30 | 50 | 80 | 130 | 210 | 340 | 550 |
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Números de Fibonacci multiplicados por 2 geram sequência derivada em que a razão entre dois termos consecutivos a partir do quinto termo tem como resultado aproximado a razão áurea 1,6.
Números de Fibonacci | multiplicados 2 | razão |
---|---|---|
1 | 2 | |
1 | 2 | 1 |
2 | 4 | 2 |
3 | 6 | 1,5 |
5 | 10 | 1,666667 |
8 | 16 | 1,6 |
13 | 26 | 1,625 |
21 | 42 | 1,615385 |
34 | 68 | 1,619048 |
55 | 110 | 1,617647 |
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A sequência de 4 números de Fibonacci múltiplos de 2 é válida para formar terno pitagórico derivado.
Esta propriedade foi descoberta pelo matemático Charles Raine. [1]
Sequência 2, 2, 4, 6
2 x 6 = 12
2 x 2 x 4 = 16
22 x 42 = 4 + 16 = 20
Terno pitagórico derivado 12, 16, 20.
Números de Fibonacci multiplicados por 3 geram sequência derivada em que a razão entre dois termos consecutivos a partir do quinto termo tem como resultado aproximado a razão áurea 1,6.
Números de Fibonacci | multiplicados 3 | razão |
---|---|---|
1 | 3 | |
1 | 3 | 1 |
2 | 6 | 2 |
3 | 9 | 1,5 |
5 | 15 | 1,666667 |
8 | 24 | 1,6 |
13 | 39 | 1,625 |
21 | 63 | 1,615385 |
34 | 102 | 1,619048 |
55 | 165 | 1,617647 |
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A sequência de 4 números de Fibonacci múltiplos de 3 é valida para formar terno pitagórico derivado.
Sequência 3, 3, 6, 9
3 x 9 = 27
2 x 3 x 6 = 36
32 x 62 = 9 + 36 = 45
Terno pitagórico derivado 27, 36, 45.
Números de Fibonacci multiplicados por 4 geram sequência derivada em que a razão entre dois termos consecutivos a partir do quinto termo tem como resultado aproximado a razão áurea 1,6.
Números de Fibonacci | multiplicados 4 | razão |
---|---|---|
1 | 4 | |
1 | 4 | 1 |
2 | 8 | 2 |
3 | 12 | 1,5 |
5 | 20 | 1,666667 |
8 | 32 | 1,6 |
13 | 52 | 1,625 |
21 | 84 | 1,615385 |
34 | 136 | 1,619048 |
55 | 220 | 1,617647 |
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A sequência de 4 números de Fibonacci múltiplos de 4 é válida para formar terno pitagórico derivado.
Sequência 4, 4, 8, 12
4 x 12 = 48
2 x 4 x 8 = 64
42 x 82 = 16 + 64 = 80
Terno pitagórico derivado 48, 64, 80.
Números de Fibonacci multiplicados por 5 geram sequência derivada em que a razão entre dois termos consecutivos a partir do quinto termo tem como resultado aproximado a razão áurea 1,6.
Números de Fibonacci | multiplicados 5 | razão |
---|---|---|
1 | 5 | |
1 | 5 | 1 |
2 | 10 | 2 |
3 | 15 | 1,5 |
5 | 25 | 1,666667 |
8 | 40 | 1,6 |
13 | 65 | 1,625 |
21 | 105 | 1,615385 |
34 | 170 | 1,619048 |
55 | 275 | 1,617647 |
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A sequência de 4 números de Fibonacci múltiplos de 5 é válida para formar terno pitagórico derivado.
Sequência 5, 5, 10, 15
5 x 15 = 75
2 x 5 x 10 = 250
52 x 102 = 25 + 100 = 125
Terno pitagórico derivado 75, 250, 125
Autor: Ricardo Silva - julho/2019
[1] FERREIRA, Rogério Augusto. Sequência de Fibonacci - Trabalho apresentado à disciplina de Pesquisa em Matemática II, do Curso de Matemática Bacharelado e Licenciatura do Centro UNIFIEO, 2007
[2] ASTROLINO e SILVA, Bruno. Números de Fibonacci e números de Lucas. Dissertação (Mestrado de Pós Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) --Instituto de Ciências Matemáicas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2017.
SILVA, Ricardo José. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas - livro digital, São Paulo, 2017.
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