Números triângulares, também chamados de números figurados, números geométricos são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas de triângulos.
Os números triangulares apresentam diversas relações e propriedades numéricas com outras sequências numéricas como: sequências de números naturais, números quadrados perfeitos, números cúbicos, ternos pitagóricos, etc.
Diversos são os métodos de se gerarem números triangulares e um deles e por meio da soma de números naturais consecutivos.
Exemplos:
1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
e assim sucessivamente.
Desejando-se descobrir se um número natural é um número triangular, podemos fazer uso da seguinte fórmula:
| n2 + n | ||
| Tn | = | _____________ |
| 2 |
Exemplo:
Será que o número 28 é um número triangular?
Para descobrirmos, substituimos o 28 na fórmula...
| n2 + n | ||
| 28 | = | _____________ |
| 2 |
2 x 28 = n2 + n
56 = n2 + n
...e chegamos à uma equação completa do segundo grau.
n2 + n - 56 = 0
Observação importante: -56 é o dobro do triangular 28.
Toda Equação do Segundo Grau que se apresenta da seguinte forma é uma equação completa ou também chamada de forma geral:
| ax2 + bx + c = 0 |
e que pode ser resolvida por meio da Fórmula de Bhaskara:
| - b ± √b 2 - 4 . a .c | ||
| x | = | _____________ |
| 2.a |
A fórmula também apresenta o número Δ (Delta), denominado de Discriminante de uma equação do segundo grau, por meio dele é possível se saber quantas raízes reais possui a equação do segundo grau.
| Δ | = | b 2 - 4 . a .c |
Na Calculadora de Equação do Segundo Grau (Fórmula de Bháskara) on-line, inserindo números nos campos:
coeficiente a,
coeficiente b e
coeficiente c
têm se resultados de Equações do Segundo Grau para Δ (Delta) igual a 0 (zero) e para Δ (Delta) maior que 0 (zero).
Observação importante: para Δ (Delta) menor que 0 (zero), isto é, Δ (Delta) negativo, a Equação do Segundo Grau não tem raízes reais.
Voltando ao nosso problema, descobrir se o número 28 é ou não um número triangular, a equação assim ficou desenvolvida:
n2 + n - 56 = 0
o coeficiente a = 1
o coeficiente b= 1
o coeficiente c = -56
Observação importante: o coeficiente c = -56 é o dobro de 28.
Preenchendo os coefientes na Calculadora da Fórmula de Bháskara On-line, o resultado para:
Raiz 1 = 7
Raiz 2 = - 8
e fazendo a verificação para a Raiz 1 = 7 (positiva):
n2 + n - 56 = 0
72 + 7 - 56 = 0
49 + 7 - 56 = 0
56 - 56 = 0
ou
| n2 + n |
| _____________ |
| 2 |
| 72 + 7 |
| _____________ |
| 2 |
| 49 + 7 |
| _____________ |
| 2 |
| 56 |
| _____________ |
| 2 |
| 28 |
28 é número triangular.
28 é sétimo número triangular.
O objetivo do passatempo matemático é descobrir números triangulares por meio da Equação do Segundo Grau a partir das seguintes etapas:
1) digitando sempre 1 no campo coeficiente a;
2) digitando sempre 1 no campo coeficiente b;
3) escolhendo um número natural qualquer, dobrando o seu valor e digitando-o com sinal negativo (-) no campo coeficiente c.
4) Pressionando o botão Calcular;
5) Aparecerá uma caixa de diálogo informando o valor do número Δ (Delta);
Se o Δ (Delta) for um número quadrado perfeito, o resultado da Raiz 1 será número inteiro positivo, então o número escolhido é um número triangular.
6) pressione o botão OK.
Caso contrário, o número escolhido não é triangular.
Não há número triangular com posição negativa.
Autor: Ricardo Silva - setembro/2022
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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