Equação do Segundo Grau ou Equação Quadrática podem ser resolvidas por métodos algébricos, geométricos ou ambos, a Fórmula Resolutiva de Equação do Segundo Grau, conhecida por nós brasileiros como Fórmula de Bháskara tem aplicações em diversos ramos das Ciências como: Astronomia, Engenharia, Física, Geometria, Matemática, etc.
A essência da Equação do Segundo Grau é descobrir dois números cuja a soma e o produto são dados.
Quando se resolve Equação do Segundo Grau vários conceitos matemáticos e algébricos são utilizados como: números inteiros, números positivos, números negativos, números racionais, números irracionais, radiciação, coeficientes positivos, coeficientes negativos, etc.
Neste estudo são apresentados exemplos de Equações do Segundo formados a partir da soma e produto de dois números.
Por meio de uma só Multiplicação pode-se obter o número 2:
1 x 2 = 2
Por meio dos fatores 1 e 2 pode-se formar raízes de uma Equação do Segundo Grau.
Soma dos números (fatores) 1 e 2.
1 + 2 = 3
Produto dos números (fatores) 1 e 2.
1 x 2 = 2
Por meio da soma de dois números distintos pode-se também obter o número 3.
1 + 2 = 3
a) 1 e 2 são dois números consecutivos;
c) são dois números primos entre si;
d) um é ímpar e outro é par;
c) a diferença entre eles é de 1 unidade
Observação importante: a diferença entre dois números, isto é, entre as raízes de uma Equação do Segundo Grau é que determina a raiz quadrada do Delta (Δ)
e) a soma de 1 + 2 = 3 pode ser relacionada ao semiperímetro de um retângulo;
f) o produto 1 x 2 = 2 poder ser relacionada à área de um retângulo.
Aplicando a propriedade distributiva e reduzindo os termos semelhantes, pode-se formar equação do segundo grau a partir de equação produto com os números 1 e 2.
(x - 1) . (x - 2) = 0
x2 - 2x - 1x + 2 = 0
x2 - 3x + 2 = 0
x2 - 3x + 2 = 0
Coeficientes:
a =1,
b = -3,
c = 2
| - b ± √b 2 - 4 . a .c | ||
| x | = | _____________ |
| 2.a |
| Δ = b2 - 4 . a . c |
i)
| Δ = (-3)2 - 4 . 1 . 2 |
ii)
| Δ = 9 - 8 |
iii)
| Δ = 1 |
Observação importante: a diferença entre dois números, isto é, entre as raízes de uma Equação do Segundo Grau é que determina a raiz quadrada do Delta (Δ).
iv)
| -(-3) ± √1 | ||
| x | = | _____________ |
| 2 |
v)
Raízes da equação
| 3 + 1 | ||||
| x' | = | _____ | = | 2 |
| 2 |
| 3 - 1 | ||||
| x" | = | _____ | = | 1 |
| 2 |
Soma da raízes
O quociente entre coeficientes "-b" por "a" tem como resultado a soma das raízes.
| - b | ||||
| S | = | x' + x" | = | ___ |
| a |
| -(-3) | ||||
| S | = | 1 + 2 | = | ____ |
| 1 |
| -(-3) | ||||||
| S | = | 1 + 2 | = | ____ | = | 3 |
| 1 |
Produto da raízes
O quociente entre coeficientes "c" por "a" tem como resultado o produto das raízes.
| c | ||||
| P | = | x' . x" | = | ___ |
| a |
| 2 | ||||
| P | = | 1 . 2 | = | ___ |
| 1 |
| 2 | ||||||
| P | = | 1 . 2 | = | ___ | = | 2 |
| 1 |
Equações do Segundo Grau em que o coeficiente a = 1 pode-se resolver mentalmente, por meio das seguintes etapas:
a) quais são dois números (fatores) cujo produto é 2 positivo;
x2 - 3x + 2 = 0
(-1) x (-2) = 2
observação: na multiplicação, sinais iguais, resultado positivo.
b) quais são dois números (parcelas) cuja soma é 3 negativo.
(-1) + (-2) = 3
observação: na adição, sinais iguais, resultado positivo.
Por meio da Multiplicação pode-se obter o número 12 com 3 expressões numéricas:
1 x 12 = 12
2 x 6 = 12
3 x 4 = 12
Por meio dos fatores 3 e 4 pode-se formar raízes de Equação do Segundo Grau.
Soma dos números (fatores) 3 e 4.
3 + 4 = 7
Produto dos números (fatores) 3 e 4.
3 x 4 = 12
a) 3 e 4 são dois números consecutivos;
c) são dois números primos entre si;
d) um é ímpar e outro é par;
c) a diferença entre eles é de 1 unidade.
Observação importante: a diferença entre dois números, isto é, entre as raízes de uma Equação do Segundo Grau é que determina a raiz quadrada do Delta (Δ).
e) a soma de 3 + 4 = 7 pode ser relacionada ao semiperímetro de um retângulo;
f) o produto 3 x 4 = 12 poder ser relacionada à área de um retângulo.
Aplicando propriedade distributiva e reduzindo termos semelhantes, pode-se formar equação do segundo a partir de equação produto com os números 3 e 4.
(x - 3) . (x - 4) = 0
x2 - 4x - 3x + 12 = 0
x2 - 7x + 12 = 0
x2 - 7x + 12 = 0
Analisando uma equação do segundo grau, podemos utilizar algumas estratégias em sua resolução:
1) sendo o coeficente "a" igual a 1, a equação pode ser resolvida pelos Métodos Soma e Produto ou de Completar Quadrados;
2) Sendo o coefiente "a" negativo, múltiplique tudo por ( -1);
3) Sendo os coefientes múltiplos de um mesmo número, divida os dois membros por esse número.
Resolução
a) quais são dois números (fatores) cujo produto é 12 positivo;
x2 - 7x + 12 = 0
(-3) x (-4) = 12
observação: na multiplicação, sinais iguais, resultado positivo.
b) quais são dois números (parcelas) cuja soma é 7 negativo.
(-3) + (-4) = 7
observação: na adição, sinais iguais, resultado positivo.
i)
desloca-se o termo intependente "c" 2 para o segundo membro.
x2 - 3x = - 2
ii)
dividi-se o coeficiente 3 do termo "bx" por 2 e eleve-o ao quadrado, (3/2)2 somando-o ao primeiro e segundo membro.
| 32 | 32 | ||||||||
| x2 | - | 3x | + | ____ | = | - | 2 | + | ___ |
| 22 | 22 |
| 9 | 9 | ||||||||
| x2 | - | 3x | + | ____ | = | - | 2 | + | ___ |
| 4 | 4 |
iii)
efetua-se o Mínimo Múltiplo Comum para se obter frações equivalentes...
| x2 | 3x | 9 | 2 | 9 | |||||
| ____ | - | ____ | + | ____ | = | - | ____ | + | ___ |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
iv)
... e consequentemente também uma equação equivalente.
4x2 - 12x + 9 = - 8 + 9
v)
fatora-se o primeiro membro...
4x2 - 12x + 9 = - 8 + 9
vi)
... obtendo um quadrado da diferença (Produto Notável)
(2x - 3)2 = 1
vii)
extrai-se a raiz quadrada
2x - 3 = ± √1
Observação importante: a diferença entre dois números, isto é, entre as raízes de uma Equação do Segundo Grau é que determina a raiz quadrada do Delta (Δ).
Neste exemplo a raiz quadrada de 1 é 1.
As raízes da equação são os números (fatores) do produto 2.
| + 3 + 1 | + 4 | |||||
| x' | = | ______ | = | ___ | = | 2 |
| 2 | 2 |
| + 3 - 1 | 2 | |||||
| x' | = | ______ | = | ___ | = | 1 |
| 2 | 2 |
i)
desloca-se o termo intependente "c" 12 para o segundo membro.
x2 - 7x = - 12
ii)
dividi-se o coeficiente 7 do termo "bx" por 2 e eleve-o ao quadrado, (7/2)2 somando-o ao primeiro e segundo membro.
| 72 | 72 | ||||||||
| x2 | - | 7x | + | ____ | = | - | 12 | + | ___ |
| 22 | 22 |
| 49 | 49 | ||||||||
| x2 | - | 7x | + | ____ | = | - | 12 | + | ___ |
| 4 | 4 |
iii)
efetua-se o Mínimo Múltiplo Comum para se obter frações equivalentes...
| 4x2 | 28x | 49 | 48 | 49 | |||||
| ____ | - | ____ | + | ____ | = | - | ____ | + | ___ |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
iv)
... e consequentemente também uma equação equivalente.
4x2 - 28x + 49 = - 48 + 49
v)
fatora-se o primeiro membro...
4x2 - 28x + 49 = - 48 + 49
vi)
... obtendo um quadrado da diferença (Produto Notável)
(2x - 7)2 = 1
vii)
extrai-se a raiz quadrada
2x - 7 = ± √1
Observação importante: a diferença entre dois números, isto é, entre as raízes de uma Equação do Segundo Grau é que determina a raiz quadrada do Delta (Δ).
Neste exemplo a raiz quadrada de 1 é 1.
As raízes da equação são os números (fatores) do produto 12.
| + 7 + 1 | + 8 | |||||
| x' | = | ______ | = | ___ | = | 4 |
| 2 | 2 |
| + 7 - 1 | 6 | |||||
| x' | = | ______ | = | ___ | = | 3 |
| 2 | 2 |
Autor: Ricardo Silva - maio/2020
ANDRADE, Bernardino Carneiro de . A evolução histórica da resolução das equações do 2o grau. Departamento de Matemática Pura da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto,2000
DANTE, Luiz Roberto . Tudo é Matemática / Luiz Roberto Dante - - 3. ed. - - São Paulo: Àtica, 2009
IEZZI, Gelson. Matêmática e realidade: 90 ano / Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, Antonio Machado. - 6. ed. - São Paulo: Atual, 2009
VALE, Alberton Fagno Albino do. As diferentes Estratégias de Resolução da Equação do Segundo Grau. Dissertação apresentada à Universidade Federal Rural do Semiárido – Ufersa, Mossoró, 2013
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