Pierre de Fermat, jurista e entusiasta matemático francês, (1601-1665), entre várias contribuições à Matemática, em carta a Marin Mersenne (1588-1648), datada de 25 de dezembro de 1640, afirma que números da forma 4x + 1 podem ser escritos como a soma de 2 quadrados enquanto números da forma 4x + 3 não podem ser escritos como a soma de 2 quadrados.
O presente estudo demonstram novas relações numéricas entre números da forma 4x + 1 e números da forma 4x + 3.
Quando a soma de 2 quadrados é um número primo da forma 4x + 1, a diferença entre esses 2 números quadrados são números da forma 4x + 1 ou 4x + 3.
Números primos da forma 4x + 1 são escritos com uma única dupla como soma de 2 quadrados e os números compostos como mais de uma dupla como soma de 2 quadrados.
Números primos da forma 4x + 3 é a diferença de uma única dupla de 2 quadrados e os números compostos como mais de uma dupla 2 quadrados.
A presente tabela demonstram as 24 primeiras somas e diferenças entre 2 números quadrados perfeitos e as seguintes regularidades numéricas:
| Somas e Diferenças | ||||
| de Quadrados | ||||
| A | B | C | D | E |
| raiz | quadrado | quadrado | soma 2 | diferença 2 |
| quadrados | quadrados | |||
| ordem/ | (4x + 1) | |||
| posição | ||||
| 1 | 1 | 4 | 5 | 3 |
| 2 | 4 | 9 | 13 | 5 |
| 3 | 9 | 16 | 25 | 7 |
| 4 | 16 | 25 | 41 | 9 |
| 5 | 25 | 36 | 61 | 11 |
| 6 | 36 | 49 | 85 | 13 |
| 7 | 49 | 64 | 113 | 15 |
| 8 | 64 | 81 | 145 | 17 |
| 9 | 81 | 100 | 181 | 19 |
| 10 | 100 | 121 | 221 | 21 |
| 11 | 121 | 144 | 265 | 23 |
| 12 | 144 | 169 | 313 | 25 |
| 13 | 169 | 196 | 365 | 27 |
| 14 | 196 | 225 | 421 | 29 |
| 15 | 225 | 256 | 481 | 31 |
| 16 | 256 | 289 | 545 | 33 |
| 17 | 289 | 324 | 613 | 35 |
| 18 | 324 | 361 | 685 | 37 |
| 19 | 361 | 400 | 761 | 39 |
| 20 | 400 | 441 | 841 | 41 |
| 21 | 441 | 484 | 925 | 43 |
| 22 | 484 | 529 | 1013 | 45 |
| 23 | 529 | 576 | 1105 | 47 |
| 24 | 576 | 625 | 1201 | 49 |
| 25 | 625 | 0 | 625 | -625 |
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a) coluna D - a soma de 2 números quadrados perfeitos consecutivos têm como resultados Números de Fermat da forma 4x + 1, onde x é um número triangular;
Exemplos:
4 x 1 + 1 = 5
4 x 3 + 1 = 13
4 x 6 + 1 = 25
Os números 1, 3, 6 são números triangulares.
b) coluna E - as diferenças entre quadrados sucessores e antecessores têm como resultados números ímpares e, entre eles, números quadrados perfeitos ímpares;
c) as diferenças de quadrados são formadas por números 4x + 1 e 4x + 3 com as seguintes ocorrências;
* números da forma 4x + 3 aparecem em ordens / posições ímpares.
* números da forma 4x + 1 aparecem em ordens / posições pares.
d) as diferenças de 2 quadrados são medidas de catetos menores e as somas de 2 quadrados são as medidas das hipotenusas, isto é, são termos de ternos pitagóricos primitivos de ordem triangular;
e) interessante observar que demarcando os números da foma 4x + 1 na coluna E, os intervalos são ímpares, a começar pelo número 1;
f) a soma de número correspondente da (coluna D) com a (coluna E) tem como resultado o dobro da coluna C;
5 + 3 = 8
13 + 5 = 18
25 + 7 = 32
g) a diferença entre número correspondente da (coluna D) com a (coluna E) tem como resultado o dobro da coluna B;
5 - 3 = 2
13 - 5 = 8
25 - 7 = 18
A soma dos quadrados 1 e 4 é 5.
5 é um número da forma 4x + 1.
4 x 1 + 1 = 5
A diferença entre 4 e 1 é 3.
3 é um número primo da forma 4x + 3.
A soma das raízes quadradas 1 e 2 é 3.
√1 + √4 = 1 + 2 = 3
3 e 5 são termos do Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular 3 - 4 - 5.
A soma dos quadrados 4 e 9 é 13.
13 é um número da forma 4x + 1.
4 x 3 + 1 = 13
A diferença entre 9 e 4 é 5.
5 é um número primo da forma 4x + 1.
A soma das raízes quadradas 2 e 3 é 5.
√4 + √9 = 2 + 3 = 5
5 e 13 são termos do Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular 5 - 12 - 13.
A soma dos quadrados 9 e 16 é 25.
25 é um número da forma 4x + 1.
4 x 6 + 1 = 25
A diferença entre 16 e 9 é 7.
7 é um número primo da forma 4x + 3.
A soma das raízes quadradas 3 e 4 é 7.
√9 + √16 = 3 + 4 = 7
7 e 25 são termos do Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular 7 - 24 - 25.
A soma dos quadrados 16 e 25 é 41.
41 é um número da forma 4x + 1.
4 x 10 + 1 = 41
A diferença entre 25 e 16 é 9.
9 é um número da forma 4x + 1.
A soma das raízes quadradas 4 e 5 é 9.
√16 + √25 = 4 + 5 = 9
9 e 41 são termos do Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular 9 - 40 - 41.
Autor: Ricardo Silva - dezembro/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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