Todo número ímpar igual ou maior que 3 é a diferença entre 2 números quadrados perfeitos.
O presente estudo demonstram novas propriedades relacionadas a números ímpares:
a) primos;
b) compostos;
c) quadrados perfeitos, em relações à diferenças entre números quadrados perfeitos sucessor e sucessor, bem como, suas raízes quadradas.
Número ímpar primo é a diferença exclusiva de uma única dupla de números quadrados perfeitos.
Números ímpares compostos, entre eles, quadrados perfeitos são diferenças de mais de uma duplas de números quadrados perfeitos.
Propriedades estas com as quais se podem se saber se determinado número ímpar é um número primo ou número composto.
A Tabela a seguir demontram as 14 primeiras diferenças entre 2 números quadrados perfeitos (consecutivos) sendo um quadrado sucessor e o outro quadrado antecessor.
| Diferença entre | |||
| 2 Números Quadrados Perfeitos | |||
| quadrado | quadrado | diferença | |
| (raiz) | sucessor | antecessor | (números |
| ímpares) | |||
| 1 | 1 | ||
| 2 | 4 | 1 | 3 |
| 3 | 9 | 4 | 5 |
| 4 | 16 | 9 | 7 |
| 5 | 25 | 16 | 9 |
| 6 | 36 | 25 | 11 |
| 7 | 49 | 36 | 13 |
| 8 | 64 | 49 | 15 |
| 9 | 81 | 64 | 17 |
| 10 | 100 | 81 | 19 |
| 11 | 121 | 100 | 21 |
| 12 | 144 | 121 | 23 |
| 13 | 169 | 144 | 25 |
| 14 | 196 | 169 | 27 |
| 15 | 225 | 196 | 29 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||
Número ímpar igual ou maior que 3 pode ser decomposto / escrito como soma de 2 números consecutivos.
Exemplos:
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 4 = 7
Somando-se o número 3 (número primo) com números quadrados perfeitos até próximo de seu valor, a única soma cujo resultado é também um quadrado perfeito é a primeira soma (células laranjas).
Pode-se afirmar que o número primo 3 é a diferença exclusiva e principal entre 2 quadrados perfeitos: o quadrado 4 e quadrado 1.
| Número Primo 3 | ||
| e Soma com Quadrados | ||
| número 3 | quadrado | soma |
| 3 | 1 | 4 |
| 3 | 4 | 7 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||
Somando-se o número 5 (número primo) com números quadrados perfeitos até próximo de seu valor, a única soma cujo resultado é também um quadrado perfeito é a segunda soma (células laranjas).
Pode-se afirmar que o número primo 5 é a diferença exclusiva e principal entre 2 quadrados perfeitos: o quadrado 9 e quadrado 4.
| Número Primo 5 | ||
| e Soma com Quadrados | ||
| número 3 | quadrado | soma |
| 5 | 1 | 6 |
| 5 | 4 | 9 |
| 5 | 9 | 14 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||
Somando-se o número 7 (número primo) com números quadrados perfeitos até próximo de seu valor, a única soma cujo resultado é também um quadrado perfeito é a terceira soma (células laranjas).
Pode-se afirmar que o número primo 7 é a diferença exclusiva e principal entre 2 quadrados perfeitos, o quadrado 16 e quadrado 9.
| Número Primo 7 | ||
| e Soma com Quadrados | ||
| número 7 | quadrado | soma |
| 7 | 1 | 8 |
| 7 | 4 | 11 |
| 7 | 9 | 16 |
| 7 | 16 | 23 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||
Somando-se o número 9 (número quadrado perfeito) com números quadrados perfeitos até o quadrado do consecutivo 5, as somas cujos resultados são também quadrados perfeitos são a primeira e quinta somas (células laranjas).
Pode-se afirmar que o número quadrado 9 é a diferença entre 2 duplas de quadrados perfeitos: o quadrado 9 e quadrado 0 e o quadrado 25 e o quadrado 16.
| Número Quadrado 9 | ||
| e Soma com Quadrados | ||
| número 9 | quadrado | soma |
| 9 | 0 | 9 |
| 9 | 1 | 10 |
| 9 | 4 | 13 |
| 9 | 9 | 18 |
| 9 | 16 | 25 |
| 9 | 25 | 34 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||
Efetuando os cálculos por meio das seguintes fórmulas, onde:
Dq = Diferença entre dois quadrados perfeitos
Dr² = Diferença entre duas raízes ao quadrado
2r = Dobro da diferença entre duas raízes
podem ser comprovadas:
a) a raiz quadrada sucessora - Fórmula da Soma
| Dq + Dr² |
| ____ |
| 2 x r |
b) a raiz quadrada antecessora - Fórmula da Diferença
| Dq - Dr² |
| ____ |
| 2 x r |
Para mais informações sobre as fórmulas, veja abaixo, Matérias Relacionadas.
5 é a raiz quadrada de 25.
| 9 + 1² | 10 | |||
| ____ | = | ___ | = | 5 |
| 2 x 1 | 2 |
4 é a raiz quadrada de 16.
| 9 - 1² | 8 | |||
| ____ | = | ___ | = | 4 |
| 2 x 1 | 2 |
Nos primeiros cálculos tem-se a comprovação de que 9 pode ser escrito como soma de 2 números consecutivos.
4 + 5 = 9
3 é a raiz quadrada de 9.
| 9 + 3² | 18 | |||
| ____ | = | ___ | = | 3 |
| 2 x 3 | 6 |
0 é a raiz quadrada de 0.
| 9 - 3² | 0 | |||
| ____ | = | ___ | = | 0 |
| 2 x 3 | 6 |
Somando-se o número 15 (número composto) com números quadrados perfeitos até o quadrado do consecutivo 8, as somas cujos resultados são também quadrados perfeitos são a sengunda e oitava somas (células laranjas).
Pode-se afirmar que o número composto 15 é a diferença entre 2 duplas de quadrados perfeitos: o quadrado 16 e quadrado 1 e o quadrado 64 e o quadrado 49.
| Número Composto 15 | ||
| e Soma com Quadrados | ||
| número 15 | quadrado | soma |
| 15 | 0 | 15 |
| 15 | 1 | 16 |
| 15 | 4 | 19 |
| 15 | 9 | 24 |
| 15 | 16 | 31 |
| 15 | 25 | 40 |
| 15 | 36 | 51 |
| 15 | 49 | 64 |
| 15 | 64 | 79 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||
Efetuando os cálculos por meio das seguintes fórmulas, onde:
Dq = Diferença entre dois quadrados perfeitos
Dr² = Diferença entre duas raízes ao quadrado
2r = Dobro da diferença entre duas raízes
podem ser comprovadas:
a) a raiz quadrada sucessora - Fórmula da Soma
| Dq + Dr² |
| ____ |
| 2 x r |
b) a raiz quadrada antecessora - Fórmula da Diferença
| Dq - Dr² |
| ____ |
| 2 x r |
8 é a raiz quadrada de 64.
| 15 + 1² | 16 | |||
| ____ | = | ___ | = | 8 |
| 2 x 1 | 2 |
7 é a raiz quadrada de 49.
| 15 - 1² | 14 | |||
| ____ | = | ___ | = | 7 |
| 2 x 1 | 2 |
Nos primeiros cálculos tem-se a comprovação de que 15 pode ser escrito como soma de 2 números consecutivos.
7 + 8 = 15
4 é a raiz quadrada de 16.
| 15 + 3² | 24 | |||
| ____ | = | ___ | = | 4 |
| 2 x 3 | 6 |
1 á a raiz quadrada de 1.
| 15 - 3² | 6 | |||
| ____ | = | ___ | = | 1 |
| 2 x 3 | 6 |
O número primo 997 é o maior primo de 3 algarismos.
Ele é naturalmente a diferença entre os quadrados consecutivos 249001 e 248004.
499 é a raiz quadrada de 249001.
| 997 + 1² | 998 | |||
| ____ | = | ___ | = | 499 |
| 2 x 1 | 2 |
498 é a raiz quadrada de 248004.
| 997 - 1² | 996 | |||
| ____ | = | ___ | = | 498 |
| 2 x 1 | 2 |
Nos primeiros cálculos tem-se a comprovação de que 997 pode ser escrito como soma de 2 números consecutivos.
498 + 499 = 997
Efetuando cálculos com as fórmulas acima descritas e variando-se raízes quadradas sequencialmente e as tabulando, verifica-se que somente o primeiro cálculo têm como resultados número inteiros e que são os consecutivos que somados resultam no primo 997.
498 + 499 = 997
Observação: os cálculos foram realizados com raízes quadradas, bem como, com seus quadrados sequencialmente até um quadrado próximo do número primo 997. A tabela com os cálculos podem ser realizados somente com raizes quadradas primas, bem como, seus quadrados.
| Número Primo 997 | ||||
| Diferença de Quadrados e | ||||
| Diferença de Raízes | ||||
| número | raiz | quadrado | consecutivos | |
| primo | quadrada | |||
| 997 | 1 | 1 | 498 | 499 |
| 997 | 2 | 4 | 248,25 | 250,25 |
| 997 | 3 | 9 | 164,6667 | 167,6667 |
| 997 | 4 | 16 | 122,625 | 126,625 |
| 997 | 5 | 25 | 97,2 | 102,2 |
| 997 | 6 | 36 | 80,08333 | 86,08333 |
| 997 | 7 | 49 | 67,71429 | 74,71429 |
| 997 | 8 | 64 | 58,3125 | 66,3125 |
| 997 | 9 | 81 | 50,88889 | 59,88889 |
| 997 | 10 | 100 | 44,85 | 54,85 |
| 997 | 11 | 121 | 39,81818 | 50,81818 |
| 997 | 12 | 144 | 35,54167 | 47,54167 |
| 997 | 13 | 169 | 31,84615 | 44,84615 |
| 997 | 14 | 196 | 28,60714 | 42,60714 |
| 997 | 15 | 225 | 25,73333 | 40,73333 |
| 997 | 16 | 256 | 23,15625 | 39,15625 |
| 997 | 17 | 289 | 20,82353 | 37,82353 |
| 997 | 18 | 324 | 18,69444 | 36,69444 |
| 997 | 19 | 361 | 16,73684 | 35,73684 |
| 997 | 20 | 400 | 14,925 | 34,925 |
| 997 | 21 | 441 | 13,2381 | 34,2381 |
| 997 | 22 | 484 | 11,65909 | 33,65909 |
| 997 | 23 | 529 | 10,17391 | 33,17391 |
| 997 | 24 | 576 | 8,770833 | 32,77083 |
| 997 | 25 | 625 | 7,44 | 32,44 |
| 997 | 26 | 676 | 6,173077 | 32,17308 |
| 997 | 27 | 729 | 4,962963 | 31,96296 |
| 997 | 28 | 784 | 3,803571 | 31,80357 |
| 997 | 29 | 841 | 2,689655 | 31,68966 |
| 997 | 30 | 900 | 1,616667 | 31,61667 |
| 997 | 31 | 961 | 0,580645 | 31,58065 |
| 997 | 32 | 1024 | -0,421875 | 31,57813 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||
Autor: Ricardo Silva - dezembro/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Senhores Professores de Matemática,
Profissionais de Exatas e
Entusiastas Matemáticos
FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO
AGORA MESMO ATRAVÉS
DO E-MAIL:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Prezado visitante, o conteúdo do
WebSite Os Fantásticos Números Primos
está protegido por direitos autorais.
O uso acadêmico e escolar está liberado,
desde que informando ao autor o local e
o meio em que será utilizado e divulgado,
através do e-mail:
contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br
O uso comercial é proibido.
Assessoria Gráfica e de Comunicação para
Escritores Independentes
que desejam lançar obras literárias,
técnicas ou artísticas.
Projeto Gráfico, Diagramação
e Editoração Eletrônica de livros (e-books).
Desenvolvimento de WebSite.
Contato
