logotipo os fantasticos numeros primos
capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo
Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Sequência de Lucas e Ternos Pitagóricos - 224

François-Édouard-Anatole Lucas (1842-1891), matemático francês e estudioso das obras de Leonardo de Pisa foi quem popularizou os Números de Fibonacci em sua obra Recherches Sur Plusierurs Ouvrages de Léonard de Pisa (1877) e que através dela criou outra sequência semelhante chamada de Sequência de Lucas: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18,...

Sequência de Lucas e Ternos Pitagóricos

Foi um dos precursores da Matemática Recreativa com a publicação da obra Récréations mathématiques (4 Bände), Gauthier-Villars, Paris, 1882–1894 e também criador do Jogo Torre de Hanoi.

Outro feito, foi ter descoberto o 120 número primo de Mersenne com 39 dígitos:

M127 = 2127-1

= 17.141.183.404.692.317.316.873.037.158.844.105.727

e que permanece como recorde (75 anos) tal descoberta sem uso de computador.[2]

A Sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,... é formada com a repetição do número 1 duas vezes e a partir do terceiro termo soma-se com o antecessor, ela apareceu em um problema em que se desejava saber o crescimento de população de coelhos e foi publicada no livro Liber Abacci - Livro do Ábaco ou do Cálculo - (1202) de autoria de Leonardo de Pisa (1175-?), conhecido como Fibonacci.

Terno Pitagórico é uma sequência de três números inteiros que satisfazem ao Teorema de Pitágoras, onde: (a2 = b2 + c2) - O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

Fórmulas de Euclides para se gerar terno pitagórico:

a = m2 -n2

b = 2mn

c = m2+n2

onde:

m > n (m tem que ser maior que n)

m e n (tem que ser primos entre si, into é, o mdc é igual a 1)

Observação: dois números consecutivos são primos entre si.

Exemplo 1)

2 e 1

a = 22 - 12 = 4 - 1 = 3

b = 2 . 2 . 1 = 4 . 1 = 4

c = 22 + 12 = 4 + 1 = 5

3, 4 e 5 é um Terno Pitagórico Primitivo.

Exemplo 2)

3 e 2

a = 32 - 22 = 9 - 4 = 5

b = 2 . 3 . 2 = 6 . 2 = 12

c = 32 + 22 = 9 + 4 = 13

5, 12 e 13 é um Terno Pitagórico Primitivo.

Sequência de Lucas

Primeiros 54 termos da Sequência de Lucas.

Sequência de Lucas
   
posição/ordem números de Lucas
   
1 2
2 1
3 3
4 4
5 7
6 11
7 18
8 29
9 47
10 76
11 123
12 199
13 322
14 521
15 843
16 1.364
17 2.207
18 3.571
19 5.778
20 9.349
21 15.127
22 24.476
23 39.603
24 64.079
25 103.682
26 167.761
27 271.443
28 439.204
29 710.647
30 1.149.851
31 1.860.498
32 3.010.349
33 4.870.847
34 7.881.196
35 12.752.043
36 20.633.239
37 33.385.282
38 54.018.521
39 87.403.803
40 141.422.324
41 228.826.127
42 370.248.451
43 599.074.578
44 969.323.029
45 156.839.7607
46 2.537.720.636
47 4.106.118.243
48 6.643.838.879
49 10.749.957.122
50 17.393.796.001
51 28.143.753.123
52 45.537.549.124
53 73.681.302.247
54 11.921.885.1371
 
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br

Números de Lucas e Números de Fibonacci

Eis algumas relações numéricas, dentre outras, entre Números de Lucas e Números de Fibonacci.

Escolhendo-se 3 termos de Fibonacci e somando-se os extremos, tem-se como resultado um número de Lucas.

Exemplos:

0 + 1 = 1

1 + 2 = 3

1 + 3 = 4

Posiçao
                   
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
                   
Números de Fibonacci
                   
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34
 
Número de Lucas
                   
2 1 3 4 7 11 18 29 47 76

Escolhendo-se 3 termos de Lucas e somando-se o extremos, tem-se como resultado um múltiplo de 5 e consequentemente número divisor de Lucas.

Exemplos:

2 + 3 = 5 (divisor de 1 e 5 )

1 + 4 = 5 (divisor de 1 e de 5)

3 + 7 = 10 (divisor de 2 e de 5)

4 + 11 = 15 (divisor de 3 e de 5)

7 + 18 = 25 (divsor de 5)

Números de Lucas e ternos pitagóricos

Esta propriedade foi descoberta pelo matemático Charles Raine, a qual foi utilizada para encontrar ternos pitagóricos na Sequência de Fibonacci (ver matérias relacionadas). [1]

Baseia-se no mesmo princípio, escolhe-se 4 termos consecutivos, neste caso, da Sequência de Lucas e executam-se as seguintes etapas:

Números de Lucas: 2, 1, 3 e 4

Produto dos extremos

2 x 4 = 8

O dobro do produto dos meios

2 x 1 x 3 = 6

Soma do quadrados dos meios

12 + 32 = 1 + 9 = 10

Terno pitagórico derivado: 8, 6 e 10.

Números de Lucas: 1, 3, 4 e 7

Produto dos extremos

1 x 7 = 7

O dobro do produto dos meios

2 x 3 x 4 = 24

Soma do quadrados dos meios

32 + 42 = 9 + 16 = 25

Terno pitagórico primitivo: 7, 24 e 25.

Números de Lucas: 3, 4, 7, 11

Produto dos extremos

3 x 11 = 33

O dobro do produto dos meios

2 x 4 x 7 = 56

Soma do quadrados dos meios

42 + 72 = 16 + 49 = 65

Terno pitagórico primitivo: 33, 56 e 65

Números de Lucas: 4, 7, 11 e 18

Produto dos extremos

4 x 18 = 72

O dobro do produto dos meios

2 x 7 x 11 = 154

Soma do quadrados dos meios

72 + 112 = 49 + 121 = 170

Terno pitagórico derivado: 72, 154 e 170

Números de Lucas: 7, 11, 18, 29

Produto dos extremos

7 x 29 = 203

O dobro do produto dos meios

2 x 11 x 18 = 396

Soma do quadrados dos meios

112 + 182 = 121 + 324 = 445

Terno pitagórico primitivo: 203, 396 e 445.

Conclusão:

A partir de quatro números consecutivos da Sequência de Lucas é possível formar terno pitagórico.

Diferentemente dos ternos pitagóricos gerados por números de Fibonacci em que nos ternos pitagóricos aparecem números de Fibonacci sequencialmente, nos ternos pitagóricos gerados por números de Lucas não há esta regularidade.

Interessante observar que nos estudos publicados no Livro Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas, em um rol com mais de 200.000 números naturais, encontrou-se somente 5 ternos pitagóricos primitivos utilizando progressão aritmética (sequência em que são gerados números a partir do número 1, somado-se sempre o número 1). As Fórmulas de Euclides geram ternos pitagóricos primitivos sequencialmente, mas não ternos pitagóricos derivados [3]

Aqui nos exemplos expostos, em um rol com 54 termos, da Sequência de Lucas em que os números são gerados sempre somando dois números anteriores, foram gerados 5 ternos pitagóricos sequenciais.

A Sequência de Lucas não é um progressão aritmética e nem geométrica e mesmo assim possui diversas propriedades numéricas e matemáticas.

 

Autor: Ricardo Silva - julho/2019

Fontes Bibliográficas:

[1] FERREIRA, Rogério Augusto. Sequência de Fibonacci - Trabalho apresentado à disciplina de Pesquisa em Matemática II, do Curso de Matemática Bacharelado e Licenciatura do Centro UNIFIEO, 2007

[2] ASTROLINO e SILVA, Bruno. Números de Fibonacci e números de Lucas. Dissertação (Mestrado de Pós Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) --Instituto de Ciências Matemáicas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2017.

[3] SILVA, Ricardo José. Ternos Pitagóricos e sequências numéricas - livro digital, São Paulo, 2017.

Matérias relacionadas:

011-estudos-058-sequencia-fibonacci-numeros-quadrados-parte-1
011-estudos-069-ternos-pitagoricos
011-estudos-082-sequencia-fibonacci-numeros-quadrados-parte-2
011-estudos-083-sequencia-fibonacci-numeros-quadrados-parte-3
011-estudos-064-sequencia-fibonacci-figuras-geometricas-o-triangulo
011-estudos-065-sequencia-fibonacci-figuras-geometricas-o-quadrado
011-estudos-221-sequencia-fibonacci-e-regularidades-numericas
011-estudos-223-sequencia-fibonacci-e-ternos-pitagoricos
Livro Ternos Pitagóricos e sequências numéricas
livro Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Senhores Professores de Matemática,

Profissionais de Exatas e

Entusiastas Matemáticos

RECEBAM GRATUITAMENTE
O E-BOOK
TRIÂNGULO RETÂNGULO:

 

livro Triângulo Retângulo

FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO

AGORA MESMO ATRAVÉS

DO E-MAIL:

contato@osfantasticos numerosprimos.com.br


Prezado visitante, o conteúdo do

WebSite Os Fantásticos Números Primos

está protegido por direitos autorais.

O uso acadêmico e escolar está liberado,

desde que informando ao autor o local e

o meio em que será utilizado e divulgado,

através do e-mail:

contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br

O uso comercial é proibido.

curta  fantasticos numeros primos no facebook
anúncio dominó tri-minox anúncio dominó quadriminox
logotipo Ric Desing

Assessoria Gráfica e de Comunicação para
Escritores Independentes
que desejam lançar obras literárias,
técnicas ou artísticas.


Projeto Gráfico, Diagramação
e Editoração Eletrônica de livros (e-books).


Desenvolvimento de WebSite.


Contato

ric@osfantasticosnumerosprimos.com.br

fapage dos fantasticos numeros primos
Canal youtube dos fantasticos numeros primos