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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Potenciação e números quadrados perfeitos (base 2) - 088

Neste estudo são apresentados relações numéricas entre potências de um número (base) e números quadrados perfeitos.

Escolhendo-se determinado número, podemos determinar:

a) o seu dobro, multiplicando este número por ele mesmo;

2 x 2 = 4

b) o dobro do dobro, multiplicando este número por ele mesmo três vezes;

2 x 2 x 2 = 8

Através da multiplicação em que todos os fatores são iguais, pode-se determinar o triplo, o quádruplo, o quíntuplo, etc. de determinado número.

Outra forma de sintetizar esta operação é utilizar a Potenciação para indicar uma multiplicação de fatores iguais:

2 x 2 = 2² = 4

2 x 2 x 2 = 2³ = 8

Os termos de uma potenciação são:

2³ = 8

2: base

3: expoente

8: potência

Potências de base 2 e regularidades numéricas

Na tabela abaixo, estão as primeiras 50 potências de base 2, de forma que na coluna Expoente se refere ao expoente que deve ser elevado a base quanto a própria ordem numérica da potência, para sabermos quanto é 2¹, vá até a linha de ordem 1 e no cruzamento com a coluna Potência está o resultado da potênciação, neste caso a potência é 2, e assim para todas as demais potências de base 2.

As potências de base 2 tem uma particularidade, efetuando-se o dobro de 2 e posteriormente dobrando-se os resultados, cada número é uma potência de base 2.

As potências de base 2, de forma alternada, isto é, uma sim e outra não, uma é um quadrado perfeito e outra não é um quadrado perfeito, podendo ser verificado na coluna Raiz Quadrada, onde há resultados com números inteiros e números decimais.

Exemplo:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256...

Potências de base 2 de expoente ímpar

As potências de base 2 de expoente ímpar (as que estão em linhas ímpares) não são números quadrados perfeitos.

a) linha 1, a potência 2 não é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada não é um número inteiro.

b) linha 3, a potência 8 não é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada não é um número inteiro.

Tabela das potências de base 2

Base Expoente Potência Raiz Quadrada

ORDEM

2 1 2 1,414213562

2 2 4 2

2 3 8 2,828427125

2 4 16 4

Tabela das potências de base 2
Base	Expoente	Potência	Raiz Quadrada
	ORDEM
2	1	2	1,414213562
2	2	4	2
2	3	8	2,828427125
2	4	16	4

Potências de base 2 de expoente par

As potências de base 2 de expoente par (as que estão em linhas pares) são números quadrados perfeitos.

a) linha 2, a potência 4 é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada é um número inteiro.

b) linha 4, a potência 16 é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada é um número inteiro.

Tabela das potências de base 2

Base Expoente Potência Raiz Quadrada

ORDEM

2 1 2 1,414213562

2 2 4 2

2 3 8 2,828427125

2 4 16 4

Tabela das potências de base 2
Base	Expoente	Potência	Raiz Quadrada
	ORDEM
2	1	2	1,414213562
2	2	4	2
2	3	8	2,828427125
2	4	16	4

Potências de outras bases

Na Tabela das Potências de Base 2, também se encontram outras potências de outras bases.

Potências de base 4

Na linha 2 há a potência 4 de base 2, a própria potência 4 pode ser "transformada" em base 4, cada linha múltiplo de 2, a partir da linha 2, as potências são de base 4:

linha 2 - potência 4 = 4¹

linha 4 - potência 16 = 4²

linha 6 - potência 64 = 4³

E assim, sucessivamente.

Potências de base 8

Na linha 3 há a potência 8 de base 2, a própria potência 8 pode ser "transformada" em base 8, cada linha múltiplo de 3, a partir da linha 3, as potências são de base 8:

linha 3 - potência 8 = 8¹

linha 6 - potência 64 = 8²

linha 9 - potência 512 = 8³

E assim, sucessivamente.

Potências de base 16

Na linha 4 há a potência 16 de base 2, a própria potência 16 pode ser "transformada" em base 16, cada linhamúltiplo de 4, a partir da linha 4, as potências são de base 16:

linha 4 - potência 16 = 16¹

linha 8 - potência 256 = 16²

linha 12 - potência 4096 = 16³

E assim, sucessivamente.

Tabela de Potências de base 2

A tabela apresenta as 50 primeiras potências de base 2 e as respectivas raízes quadradas.

Tabela das potências de base 2

Base	Expoente	Potência	Raiz
	ORDEM		Quadrada

2	1	2	1,414213562
2	2	4	2
2	3	8	2,828427125
2	4	16	4
2	5	32	5,656854249
2	6	64	8
2	7	128	11,3137085
2	8	256	16
2	9	512	22,627417
2	10	1.024	32
2	11	2.048	45,254834
2	12	4.096	64
2	13	8.192	90,50966799
2	14	16.384	128
2	15	32.768	181,019336
2	16	65.536	256
2	17	131.072	362,038672
2	18	262.144	512
2	19	524.288	724,0773439
2	20	1.048.576	1024
2	21	2.097.152	1448,154688
2	22	4.194.304	2048
2	23	8.388.608	2896,309376
2	24	16.777.216	4096
2	25	33.554.432	5792,618751
2	26	67.108.864	8192
2	27	134.217.728	11585,2375
2	28	268.435.456	16384
2	29	536.870.912	23170,47501
2	30	1.073.741.824	32768
2	31	2.147.483.648	46340,95001
2	32	4.294.967.296	65536
2	33	8.589.934.592	92681,90002
2	34	17.179.869.184	131072
2	35	34.359.738.368	185363,8
2	36	68.719.476.736	262144
2	37	137.438.953.472	370727,6001
2	38	274.877.906.944	524288
2	39	549.755.813.888	741455,2002
2	40	1.099.511.627.776	1048576
2	41	2.199.023.255.552	1482910,4
2	42	4.398.046.511.104	2097152
2	43	8.796.093.022.208	2965820,801
2	44	17.592.186.044.416	4194304
2	45	35.184.372.088.832	5931641,602
2	46	70.368.744.177.664	8388608
2	47	140.737.488.355.328	11863283,2
2	48	281.474.976.710.656	16777216
2	49	562.949.953.421.312	23726566,41
2	50	1.125.899.906.842.624	33554432

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sobre construções de triângulos.

Autor: Ricardo Silva - novembro/2014