"Conta-se que para obter ângulo reto, que eram usados para medir as terras após as enchentes do rio Nilo, os " esticadores de corda", utilizavam uma corda de 12 nós, a igual distância um do outro, e com ela construíam um triângulo com vértices em três desses nós, como na figura abaixo.
O triângulo assim obtido possui lados com 3, 4 e 5 unidades de medida de comprimento e é um triângulo retângulo, pois um de seus ângulos internos mede 900.
O procedimento para se obter cantos retos já era conhecido pelos antigos "esticadores de corda" há aproximamento 5 mil anos!" [1]
O grifo é nosso!
Interessante destacar que no Papiro de Rhind, com vários problemas matemáticos egípicios, (também conhecido como Papiro de Ahmes), datado de 1650 a.C., não faz menção alguma de figura geométrica em formato de elipse.
Interessante destacar também que foi na civilização grega que surgiram os Filósofos, estudiosos que procuravam encontrar respostas do porquê e de como as coisas, isto é, os fenômenos naturais aconteciam.
Tentando solucionar o probrema de duplicação do cubo, Menaecmus (380 - 320 a.C.) foi o primeiro matemático a utilizar a parábola e hipérbole dando início aos estudos das cônicas. Euclides de Alexandria (325 - 265 a.C) também escreveu trabalho sobre cônicas composto de quatro volumes, porém muitos de seus trabalhos foram perdidos. Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.) estudando cônicas, descobriu como calcular a área da elipse. Foi com Apolônio de Perga (262 - 190 a.C.) que os estudos das cônicas tiveram grande relevância, pois descobriu-se que as propriedades matemáticas e geométricas eram válidas para qualquer tipo de cone, seja reto, curvo ou oblíquo, bastando mudar a inclinação do plano ao se seccionar um cone. [2]
Por muito tempo a visão aristotélica e ptolomaíca de que a terra era o centro do universo e que os planetas giravam em torno dela faziam parte dos dogmas da Santa Igreja Católica Apostólica Romana. Quem pensasse ao contrário era queimado vivo, era a Santa Inquisição em seu período nefasto à sociedade.
Entre os gregos, Aristarco de Samo (310 a.C), em seus estudos, afirmara que o Sol era o centro do universo, ideias estas, posteriormente abraçadas por Nicolau Kopernico (1473-1543) e também defendidas por Galileu Galilei (1564-1642).
Os estudos dos movimentos de planetas, corpos celestes e a própria representação de desenhos tinham como base estudos de circunferências (movimentos circulares) e Johannes Kepler (1571 - 1630), foi mais além, em seus estudos, observara que a órbita do Planeta Marte tinha movimento elíptico, movimento este, porteriormente demonstrados para todos os demais planetas e corpos celestes.
O presente estudo demonstra construções de elipses e as relações algébricas, geométricas, numéricas e trigonométicas com Triângulo Retângulo Pitagórico 3-4-5.
Há vários métodos de construções de elipse, métodos aproximados e métodos exatos.
O presente Método 4 Retângulos (método exato), tem por base o dobro do cateto menor 3 e o dobro da hipotenusa 5, perfazendo um retângulo de altura 6 e comprimento 10.
a) dividi-se o retângulo em 4 partes;
b) em uma das partes, dividi-se a altura e comprimento em partes iguais (quadradinhos azuis);
c) traçam-se linhas oblíquas (linhas coloridas), partindo-se do topo e da base pelo eixo vertical;
f) na intersecção de linhas de mesma cor e ligando-se os pontos, tem-se uma parte da elipse;
g) repetindo-se as etapas anteriores para os demais pequenos retângulos, forma-se a "estrutura" e consequemente uma elipse exata.
Com o advento e popularização do computador, muitos softwares (programas aplicativos para execuções de tarefas específicas) e principalmente, programas de desenho, programas de edição de imagem, programas edição de vídeo, trazem como FERRAMENTAS diversas figuras geométricas "prontas" bastando dimensioná-las conforme o desejado, sem falar de programas de desenho direcionados à áreas de engenharia e programas de geometria dinâmica.
Observação: as elipses na cor vermelha, neste estudo, são exemplos feitos em software de desenho vetorial.
Nesta figura 702-04, tem-se ao fundo elipse desenhada com lapiseira, duas tachinas (F1 e F2) e linha de costura, tendo como base o triângulo retângulo pitagórico 3-4-5 duplicado.
A elipse vermelha feita em software de desenho vetorial sobreposta ao desenho se encaixa perfeitamente ao desenho feito manualmente com lapiseira.
A1 a A2 - eixo maior (duas vezes a medida da hipotenusa = 2a) medida 10.
B1 a B2 - eixo menor (duas vezes a medida do cateto menor = 2b) medida 6.
c e c - distância focal (duas vezes a medida do cateto maior = 2c) medida 8.
F1 a F2 são os focos da elipse (duas vezes a medida do cateto maior = 2c) medida 8.
C é o centro da elipse ( ponto médio de: entre A1 e A2; entre B1 e B2; entre F1 e F2).
No triângulo retângulo B1 F2 C, temos;
B1 a F2 = a (hipotenusa)
B1 a C = b (cateto menor)
F2 a C = c (cateto maior)
Na elipse, está intrínseco o Teorema de Pitágoras.
| a2 = b2 + c2 |
Tendo como base o triângulo retângulo pitagórico 3-4-5 (sem duplicá-lo), constrói-se uma elipse "arredondada", "próximo" a uma circunferência.
Quando o vértice superior do triângulo toca o topo do eixo menor, o triângulo retângulo pitagórico 3-4-5 se transforma em um triângulo equilátero de lados 4.
Tendo como base o triângulo retângulo pitagórico 3-4-5 (sem duplicá-lo) em que a hipotenusa é a base, quando o vértice superior do triângulo toca o topo do eixo menor, o triângulo retângulo pitagórico 3-4-5 se transforma em um triângulo isóceles de lados 3,5 - 3,5 - 5.
Iberê Tenório e sua equipe do Canal Manual do Mundo construiram uma mesa de sinuca elíptica cujo vídeo se encontra no YouTube, no seguinte link:
https://www.youtube.com/watch?v=6P9N-MGk3wc [3]
e demonstraram a propriedade de reflexão da elipse.
Colocando a bola de bilhar em um dos focos da elipse e qualquer seja o ângulo da tacada (posição), a bola sempre cairá no outro foco, que neste caso é a caçapa.
Aqui uma mera coincidência, sobrepondo o desenho da elipse pontilhada branca sobre a imagem da mesa de sinuca, as elipses tem os "mesmos formatos", isto é são congruentes, o que podemos concluir que a mesa de sinuca do Manual do Mundo foi construída a partir de triângulo retângulo pitagórico.
"(Cesgranrio-RJ) Para delimitar um gramado, um jardineiro traçou uma elipse inscrita num terreno retangular de 20m por 16m. Para isso usou um fio esticado preso por suas extreminadades M e N, como monstra a figura. Qual a distância entre os pontos M e N?"
a) a área retângular têm 16m de largura por 20m de comprimento;
b) marque os eixos da elipse e marque as metades da largura e do comprimento, 8m e 10 respectivamente;
c) construa um triângulo retângulo e marque:
a=10 (hipotenusa)
b=8 (cateto maior)
c=? (cateto menor)
Aplicando o Teorema de Pitágoras
| a2 = b2 + c2 |
102 = 82 + c2
100 = 64 + c2
c2 = 100 - 64
c2 = 36
c = √ 36
c = 6 (cateto menor)
d) 2 x 6 = 12
Resposta: A distância entre os focos M e N da elipse é de 12m
(Tudo é Matemática - 8 ano [1]) "A área de uma superfície cujo contorno é uma elipse é dada pela expressão:
| Π.a.b |
sendo 2a e 2b os comprimentos de seus eixos.
O marceneiro José colocou um espelho elíptico em uma região retangular de madeira na qual x=60cm e y=0,36m. Responda (use [Pi] Π = 3,14):
a) Qual é a área do espelho?
3,14 x 30 x 18 = 1.695,60 cm2
b) Qual é área da parte visível da madeira?
área da região retangular 60 x 36 = 2.160 cm2
área visível da madeira 2.160 - 1.696,60 = 464,40 cm2 "
Autor: Ricardo Silva - outubro/2026
[1] DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática / Luiz Roberto Dante -- 3 -- são Paulo : Ática, 2009
[2] RODRIGUES, Francisco Bezerra. Elipse: Propriedade Refletora e Aplicações. Matemática do Instituto Federal da Paraíba, Cajazeiras-PB, 2021
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
[3] https://www.youtube.com/watch?v=6P9N-MGk3wc
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