Número Quadrado Perfeito é um número que produto de um número por ele mesmo.
Números Quadrados Perfeitos possuem diversas propriedades algébricas e ariméticas relacionadas a eles próprios, como também, à sequências numéricas famosas.
O presente estudo demonstra relações aritméticas relacionadas a 2 números quadrados perfeitos com suas respectivas raízes quadradas, como também, de 2 números quadrados de 2 termos consecutivos de progressão aritmética de múltiplos de um número natural com MDC (Máximo Divisor Comum) e com MMC (Mínimo Múltiplo Comum).
Escolhendo-se 2 números naturais e elevando-os ao quadrado, obtêm-se as seguintes propriedades numéricas:
O quociente da diferença de 2 quadrados perfeitos com a soma de suas raízes tem como resultado a diferença de suas raízes.
O quociente 4 é a diferença entre as raízes 3 e 7.
| Números 3 e 7 | ||||
| números / | quadrados | |||
| raízes | ||||
| 3 | 9 | |||
| 7 | 49 | |||
| soma raízes | 10 | 40 | diferença quadrados | |
| diferença | soma | quociente | ||
| quadrados | raízes | |||
| divisão | 40 | 10 | 4 | |
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Interessante observar que:
i) 3 x 4 = 12
ii) 7 x 4 = 28
iii) 12 + 28 = 40
iv) 40 é a diferença dos quadrados 9 e 49
O quociente da diferença de 2 quadrados perfeitos com a diferença de suas raízes tem como resultado a soma de suas raízes.
O quociente 10 é a soma das raízes 3 e 7.
| Números 3 e 7 | ||||
| números / | quadrados | |||
| raízes | ||||
| 3 | 9 | |||
| 7 | 49 | |||
| diferença | ||||
| raízes | 4 | 40 | diferença quadrados | |
| diferença | diferença | quociente | ||
| quadrados | raízes | |||
| divisão | 40 | 4 | 10 | |
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Escolhendo-se 2 termos consecutivos de uma progressão aritmética formada por múltiplos de um número natural e elevando-os ao quadrado, obtêm-se a:
O quociente da diferença dos quadrados com a soma de suas raízes (2 termos consecutivos) tem como resultado a diferença entre essas raízes, diferença esta que támbem é o MDC (Máximo Divisor Comum).
Esta propriedade está estritamente relacionada à progressões aritméticas formadas por múltiplos de um número natural, isto é, o primeiro termo é também a razão da P.A.
O quociente 3 é diferença entre as raízes 3 e 6.
3 é também o MDC de 3 e 6.
| Números 3 e 6 | ||||
| números / | quadrados | |||
| raízes | ||||
| 3 | 9 | |||
| 6 | 36 | |||
| soma raízes | 9 | 27 | diferença quadrados | |
| diferença | soma | quociente | ||
| quadrados | raízes | |||
| divisão | 27 | 9 | 3 | |
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Algumas propriedades matemáticas
1) dois números consecutivos são primos entre si;
2) o MDC de dois números consecutivos é 1,
3) o produto de 2 números é igual o produto do MDC com o MMC;
4) o produto de 2 números dividido pelo MDC tem como quociente o MMC;
5) o produto de 2 números dividido pelo MMC tem como quociente o MDC;
Interessante observar que:
i) 3 x 6 = 18 (produto de 2 números)
ii) 18 : 3 (MDC) = 6 (MMC - Mínino Múltiplo Comum)
iii) 3 (MDC) x 6 (MMC) = 18
O quociente da soma de 2 quadrados perfeitos com a diferença de suas raízes (2 ímpares consecutivos) tem como resultado um Número de Fermat da forma 4x + 1.
A soma de quadrados 10 dividida pela diferença 2 tem como quociente 5.
O quociente 5 é a metade da soma 10 dos quadrados 1 e 9.
O quociente 5 é um Número de Fermat da forma 4x + 1
5 é 1 unidade maior que o quadrado 4 perfeito de potência de base 2.
| Ímpares Consecutivos | ||||
| 1 e 3 | ||||
| ímpares | quadrados | |||
| 1 | 1 | |||
| 3 | 9 | |||
| diferença ímpares | 2 | 10 | soma quadrados | |
| soma | diferença | quociente | ||
| quadrados | termos | |||
| divisão | 10 | 2 | 5 | |
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Interessante observar que SOMA um número ímpar, seu quadrado perfeito e um número ímpar sucessor tem como resultado um Número de Fermat da forma 4x + 1 e que corresponde a um número quadrado perfeito de potência de base 2 mais 1 unidade, vejamos:
a) 1 + 1 + 3 = 5
b) 5 = ( 4 + 1 )
Aqui se tem um novíssimo método de se gerar determinado Número de Fermat da forma 4x + 1.
Para mais informações veja estudo:
011-estudos-590-algoritmo-da-soma-de-dois-numeros-quadrados-perfeitos
Autores: Aristóteles Costa e Ricardo Silva - julho/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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