Progressão Aritmética, ou simplesmente P.A., é uma sequência numérica em que cada um dos seus termos, exceto o primeiro, é igual ao termo antecessor somado com um número constante chamado de razão.
O presente estudo demonstra novas propriedades relacionadas à progressões aritméticas quanto a 2 termos consecutivos ou não e seus respectivos quadrados perfeitos com a razão da PA, bem como, com MDC (Máximo Divisor Comum), como também, com o MMC (Mínimo Múltiplo Comum).
a) primeira propriedade: o quociente da diferença dos quadrados com a soma de suas raízes (2 termos consecutivos ou não) tem como resultado a diferença d essas raízes (2 termos consecutivos ou não);
b) segunda propriedade: o quociente da diferença dos quadrados com a diferença de suas raízes (2 termos consecutivos ou não) tem como resultado a soma dessas raízes (2 termos consecutivos ou não);
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30,...
A diferença de quadrados 27 dividida pela soma 9 tem como quociente 3.
O quociente 3 é a diferença entre os termos 3 e 6.
| Termos da Progressão Aritmética | ||||
| 3, 6, 9, 12, 15 18, 21, 24, 27, 30,... | ||||
| termos | quadrados | |||
| 3 | 9 | |||
| 6 | 36 | |||
| soma termos | 9 | 27 | diferença quadrados | |
| diferença | soma | quociente | ||
| quadrados | termos | |||
| divisão | 27 | 9 | 3 | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||
A diferença de quadrados 27 dividida pela diferença 3 tem como quociente 9.
O quociente 9 é a soma dos termos 3 e 6.
| Termos da Progressão Aritmética | ||||
| 3, 6, 9, 12, 15 18, 21, 24, 27, 30,... | ||||
| termos | quadrados | |||
| 3 | 9 | |||
| 6 | 36 | |||
| diferença termos | 3 | 27 | diferença quadrados | |
| diferença | diferença | quociente | ||
| quadrados | termos | |||
| divisão | 27 | 3 | 9 | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||
A diferença de quadrados 432 dividida pela soma 24 tem como quociente 18.
O quociente 18 é a diferença entre os termos 3 e 21.
| Termos da Progressão Aritmética | ||||
| 3, 6, 9, 12, 15 18, 21, 24, 27, 30,... | ||||
| termos | quadrados | |||
| 3 | 9 | |||
| 21 | 441 | |||
| soma termos | 24 | 432 | diferença quadrados | |
| diferença | soma | quociente | ||
| quadrados | termos | |||
| divisão | 432 | 24 | 18 | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||
A diferença de quadrados 432 dividida pela diferença 18 tem como quociente 24.
O quociente 24 é a soma dos termos 3 e 21.
| Termos da Progressão Aritmética | ||||
| 3, 6, 9, 12, 15 18, 21, 24, 27, 30,... | ||||
| termos | quadrados | |||
| 3 | 9 | |||
| 21 | 441 | |||
| diferença termos | 18 | 432 | diferença quadrados | |
| diferença | diferença | quociente | ||
| quadrados | termos | |||
| divisão | 432 | 18 | 24 | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||
c) terceira propriedade: o quociente da diferença dos quadrados com a soma de suas raízes (2 termos consecutivos ) tem como resultado a diferença entre essas raízes (2 termos consecutivos), diferença esta que também é MDC (Máximo Divisor Comum).
Esta propriedade está relacionada estritamente à progressões aritméticas formadas por múltiplos de um número, isto é, o primeiro termo é também a razão da P.A.
Algumas propriedades matemáticas
1) dois números consecutivos são primos entre si;
2) o MDC de dois números consecutivos é 1,
3) o produto de 2 números é igual o produto do MDC com o MMC;
4) o produto de 2 números dividido pelo MDC tem como quociente o MMC;
5) o produto de 2 números dividido pelo MMC tem como quociente o MDC;
Na progressão aritmética: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30,... formada por múltiplos de 3, os termos são divisíveis tanto pelo 10 termo quanto pela razão.
Já nas progressões aritméticas de razão 3:
4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31,... e
5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32,...., os termos não são divisíveis simultaneamente pelo 10 termo e pela razão.
A diferença de quadrados 27 dividida pela soma 9 tem como quociente 3.
O quociente 3 é a diferença entre os termos 3 e 6.
O quociente 3 é o MDC (Máximo Divisor Comum) de 3 e 6.
| Termos da Progressão Aritmética | ||||
| 3, 6, 9, 12, 15 18, 21, 24, 27, 30,... | ||||
| termos | quadrados | |||
| 3 | 9 | |||
| 6 | 36 | |||
| soma termos | 9 | 27 | diferença quadrados | |
| diferença | soma | quociente | ||
| quadrados | termos | |||
| divisão | 27 | 9 | 3 (mdc) | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||
Produto dos termos 3 x 6 = 18
18 : 3 (mdc) = 6 (mmc)
A diferença de quadrados 45 dividida pela soma 15 tem como quociente 3.
O quociente 3 é a diferença entre os termos 6 e 9.
O quociente 3 é o MDC (Máximo Divisor Comum) de 6 e 9.
| Termos da Progressão Aritmética | ||||
| 3, 6, 9, 12, 15 18, 21, 24, 27, 30,... | ||||
| termos | quadrados | |||
| 6 | 36 | |||
| 9 | 81 | |||
| soma termos | 15 | 45 | diferença quadrados | |
| diferença | soma | quociente | ||
| quadrados | termos | |||
| divisão | 45 | 15 | 3 | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||
Produto dos termos 6 x 9 = 54
54 : 3 (mdc) = 18 (mmc)
A diferença de quadrados 45 dividida pela soma 15 tem como quociente 3.
O quociente 3 é a diferença entre os termos 6 e 9.
O quociente 3 é o MDC (Máximo Divisor Comum) de 6 e 9.
| Termos da Progressão Aritmética | ||||
| 3, 6, 9, 12, 15 18, 21, 24, 27, 30,... | ||||
| termos | quadrados | |||
| 9 | 81 | |||
| 12 | 144 | |||
| soma termos | 21 | 63 | diferença quadrados | |
| diferença | soma | quociente | ||
| quadrados | termos | |||
| divisão | 63 | 21 | 3 | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||
Produto dos termos 9 x 12 = 108
108 : 3 (mdc) = 36 (mmc)
Pierre de Fermat, jurista e Entusiasta Matemático francês, (1601-1665), entre várias contribuições à Matemática, em carta a Marin Mersenne (1588-1648), datada de 25 de dezembro de 1640, afirma que números da forma 4x + 1 podem ser escritos como soma de 2 quadrados enquanto números da forma 4x + 3 não podem ser escritos como soma de 2 quadrados.[1]
Para mais informações veja estudo:
011-estudos-590-algoritmo-da-soma-de-dois-numeros-quadrados-perfeitos
d) quarta propriedade: o quociente da soma de 2 quadrados com a diferença de suas raízes (2 ímpares consecutivos) tem como resultado um Número de Fermat da forma 4x + 1.
A soma de quadrados 10 dividida pela diferença 2 tem como quociente 5.
O quociente 5 é a metade da soma 10 dos quadrados 1 e 9.
O quociente 5 é um Número de Fermat da forma 4x + 1
5 é 1 unidade maior que o quadrado 4 de base 2.
| Ímpares Consecutivos | ||||
| 1 e 3 | ||||
| ímpares | quadrados | |||
| 1 | 1 | |||
| 3 | 9 | |||
| diferença ímpares | 2 | 10 | soma quadrados | |
| soma | diferença | quociente | ||
| quadrados | termos | |||
| divisão | 10 | 2 | 5 | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||
Interessante observar que SOMA um número ímpar, seu quadrado perfeito e um número ímpar sucessor tem como resultado um Número de Fermat da forma 4x + 1 e que corresponde a um número quadrado perfeito de potência de base 2 mais 1 unidade, vejamos:
a) 1 + 1 + 3 = 5
b) 5 = ( 4 + 1 )
Aqui se tem um novíssimo método de se gerar determinado Número de Fermat da forma 4x + 1.
A soma de quadrados 34 dividida pela diferença 2 tem como quociente 17.
O quociente 17 é a metade da soma 34 dos quadrados 9 e 25.
O quociente 17 é um Número de Fermat da forma 4x + 1.
17 é 1 unidade maior que o quadrado 16 de base 2.
| Ímpares Consecutivos | ||||
| 1 e 3 | ||||
| ímpares | quadrados | |||
| 3 | 9 | |||
| 5 | 25 | |||
| diferença ímpares | 2 | 34 | soma quadrados | |
| soma | diferença | quociente | ||
| quadrados | termos | |||
| divisão | 34 | 2 | 17 | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||
Interessante observar que SOMA um número ímpar, seu quadrado perfeito e um número ímpar sucessor tem como resultado um Número de Fermat da forma 4x + 1 e que corresponde a um número quadrado perfeito de potência de base 2 mais 1 unidade, vejamos:
a) 3 + 9 + 5 = 17
b) 17 = ( 16 + 1 )
Aqui se tem um novíssimo método de se gerar determinado Número de Fermat da forma 4x + 1.
1) a diferença de 2 quadrados é múltiplo da diferença entre suas raízes;
2) a diferença entre 2 raízes quadradas é divisor da diferença de seus quadrados perfeitos.
3) a soma de 2 quadrados ímpares consecutivos é o dobro de um Número de Fermat da forma 4x + 1
Autores: Aristóteles Costa e Ricardo Silva - julho/2026
[1]NETO, Angelo Papa. Soma de 2 quadrados. IFCE
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Senhores Professores de Matemática,
Profissionais de Exatas e
Entusiastas Matemáticos
FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO
AGORA MESMO ATRAVÉS
DO E-MAIL:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Prezado visitante, o conteúdo do
WebSite Os Fantásticos Números Primos
está protegido por direitos autorais.
O uso acadêmico e escolar está liberado,
desde que informando ao autor o local e
o meio em que será utilizado e divulgado,
através do e-mail:
contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br
O uso comercial é proibido.
Assessoria Gráfica e de Comunicação para
Escritores Independentes
que desejam lançar obras literárias,
técnicas ou artísticas.
Projeto Gráfico, Diagramação
e Editoração Eletrônica de livros (e-books).
Desenvolvimento de WebSite.
Contato
