1) escolha qualquer número natural inteiro, se for par divida por 2;
2) se for ímpar, multiplique por 3 e some 1 unidade (3x + 1).
A Conjectura de Collatz afirma que aplicando as 2 regras acima, os resultados finais serão sempre as potências de base 2: ( 4, 2, 1 ) e estas se repetindo infinitamente aplicando-se as 2 regras.
A Conjectura de Collatz é um problema matemático não resolvido, idealizado pelo Matemático alemão Lothar Collatz, em 1937.
O presente estudo demonstra que variando a expressão algébrica 3x+1 da Conjectura de Collatz para outras expressões como: 5x+1, 7x+1, 9x+1, 11x+1, etc., chega-se também às potências de base 2: ( 32, 16, 8, 4, 2, 1 ), como também, se constatam outras interessantes regularidades numéricas entre termos extendidos da Conjectura de Colltaz com restos de divisões por potências de base 2.
Potências de base 2 é uma sequência numérica especial, pois efetuando-se divisões por 2, chega-se sempre ao número 1.
Os expoentes são as próprias quantidades de etapas (iterações) até chegar ao número 1, neste caso utilizamos somente a expressão (x / 2) da Conjectura de Collatz.
As potências de base 2 formam o 10 nível hierárquico de sequência numérica da Conjectura de Collatz.
| Tabela 1 | ||
| Potência de Base 2 | ||
| Base 2 | Expoente | Potências |
| de Base 2 | ||
| 10 nível | ||
| hierárquico | ||
| 2 | 15 | 32768 |
| 2 | 14 | 16384 |
| 2 | 13 | 8192 |
| 2 | 12 | 4096 |
| 2 | 11 | 2048 |
| 2 | 10 | 1024 |
| 2 | 9 | 512 |
| 2 | 8 | 256 |
| 2 | 7 | 128 |
| 2 | 6 | 64 |
| 2 | 5 | 32 |
| 2 | 4 | 16 |
| 2 | 3 | 8 |
| 2 | 2 | 4 |
| 2 | 1 | 2 |
| 2 | 0 | 1 |
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Potências de base 2 quadrados perfeitos menos 1 unidade e divididas por 3 têm como quocientes números inteiros, números estes que formam a seguinte sequência numérica de 2 0 nível hierárquico da Conjectura de Collatz: ( 1, 5, 21, 85, 341, 1365, 5461,...) que aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos e denominada de Números de Collatz / Fermat (A).
Base 2 cujos expoentes são pares, (excetuando-se o expoente 0 (zero), as potências deixam resto 1 quando divididas por 3.
| Tabela 2 | |||||
| Potências de Base 2 menos 1 unidade | |||||
| e divisões por 3 | |||||
| Base | Expoente | Potências | menos | Divisor | Quociente |
| 2 | 1 | ||||
| 2 | 0 | 1 | 1 | 3 | 0 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 3 | 0,333333333 |
| 2 | 2 | 4 | 1 | 3 | 1 |
| 2 | 3 | 8 | 1 | 3 | 2,333333333 |
| 2 | 4 | 16 | 1 | 3 | 5 |
| 2 | 5 | 32 | 1 | 3 | 10,33333333 |
| 2 | 6 | 64 | 1 | 3 | 21 |
| 2 | 7 | 128 | 1 | 3 | 42,33333333 |
| 2 | 8 | 256 | 1 | 3 | 85 |
| 2 | 9 | 512 | 1 | 3 | 170,3333333 |
| 2 | 10 | 1024 | 1 | 3 | 341 |
| 2 | 11 | 2048 | 1 | 3 | 682,3333333 |
| 2 | 12 | 4096 | 1 | 3 | 1365 |
| 2 | 13 | 8192 | 1 | 3 | 2730,333333 |
| 2 | 14 | 16384 | 1 | 3 | 5461 |
| 2 | 15 | 32768 | 1 | 3 | 10922,33333 |
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Aplicando a regra ( 3x + 1 ) a Número de Collatz / Fermat (A) de 20 nível hierárquico, chega-se a Potência de Base 2 de 10 nível hierárquico, logicamente a partir de uma determinada potência de base 2, tantas divisões serão necessárias para chegar ao número 1.
| Tabela 3 | |||||
| Números de Collatz / Fermat (A) | |||||
| e Potências de Base 2 | |||||
| A | B | C | D | E | |
| ordem / | Números | Potências | |||
| posição | Collatz / Fermat (A) | base 2 | |||
| 20 nível | 10 nível | ||||
| hierárquico | hierárquico | ||||
| . | |||||
| 30 | 3 | x | 357913941 | + 1 | 1073741824 |
| 29 | 536870912 | ||||
| 28 | 3 | x | 89478485 | + 1 | 268435456 |
| 27 | 134217728 | ||||
| 26 | 3 | x | 22369621 | + 1 | 67108864 |
| 25 | 33554432 | ||||
| 24 | 3 | x | 5592405 | + 1 | 16777216 |
| 23 | 8388608 | ||||
| 22 | 3 | x | 1398101 | + 1 | 4194304 |
| 21 | 2097152 | ||||
| 20 | 3 | x | 349525 | + 1 | 1048576 |
| 19 | 524288 | ||||
| 18 | 3 | x | 87381 | + 1 | 262144 |
| 17 | 131072 | ||||
| 16 | 3 | x | 21845 | + 1 | 65536 |
| 15 | 32768 | ||||
| 14 | 3 | x | 5461 | + 1 | 16384 |
| 13 | 8192 | ||||
| 12 | 3 | x | 1365 | + 1 | 4096 |
| 11 | 2048 | ||||
| 10 | 3 | x | 341 | + 1 | 1024 |
| 9 | 512 | ||||
| 8 | 3 | x | 85 | + 1 | 256 |
| 7 | 128 | ||||
| 6 | 3 | x | 21 | + 1 | 64 |
| 5 | 32 | ||||
| 4 | 3 | x | 5 | + 1 | 16 |
| 3 | 8 | ||||
| 2 | 3 | x | 1 | + 1 | 4 |
| 1 | 2 | ||||
| 0 | 1 | ||||
| . | |||||
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Assim como os Números de Collatz / Fermat (A) são de 20 nível hierárquico, os termos de progressões geométricas de cada Número de Collatz / Fermat (A), também são sequências de 20 nível hierárquico.
Observaçôes importantes:
a) potência de base 2 menos 1 unidade tem como resultado um Número de Mersenne;
b) 4 - 1 = 3 (Número de Mersenne)
c) então: 3 x 1 + 1 = 4;
d) a variável 1 é potência de base 2 e aparece na regra da Conjectura de Collatz ( 3x + 1 ), bem como, nas regras extendidas como: 5x+1, 7x+1, 9x+1, 11x+1, etc., como veremos a seguir;
e) ( 3x + 1 ), é especial, isto é, é original e criação de Lothar Collatz;
Exemplos:
P.G. - 10 termo 5 e razão 2
( 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, 2560,... )
P.G. - 10 termo 21 e razão 2
( 21, 42, 84, 168, 336, 672, 1344, 2688, 5376, 10752,... )
P.G. - 10 termo 85 e razão 2
( 85, 170, 340, 680, 1360, 2720, 5440, 10880, 21760, 43520,... )
Potências de base 2 quadrados perfeitos menos 1 unidade e divididas por 5 têm como quocientes números inteiros, números estes que formam a seguinte sequência ( 3, 51, 819, 13107,... ) que aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos é denominada de Números de Collatz Extendidos (C5).
Base 2 cujos expoentes são múltiplos de 4, (excetuando-se o expoente 0 (zero), as potências deixam resto 1 quando divididas por 5.
| Tabela 4 | |||||
| Potências de Base 2 menos 1 unidade | |||||
| e divisões por 5 | |||||
| Base | Expoente | Potências | menos | Divisor | Quociente |
| 2 | 0 | 1 | 1 | 5 | 0 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 5 | 0,2 |
| 2 | 2 | 4 | 1 | 5 | 0,6 |
| 2 | 3 | 8 | 1 | 5 | 1,4 |
| 2 | 4 | 16 | 1 | 5 | 3 |
| 2 | 5 | 32 | 1 | 5 | 6,2 |
| 2 | 6 | 64 | 1 | 5 | 12,6 |
| 2 | 7 | 128 | 1 | 5 | 25,4 |
| 2 | 8 | 256 | 1 | 5 | 51 |
| 2 | 9 | 512 | 1 | 5 | 102,2 |
| 2 | 10 | 1024 | 1 | 5 | 204,6 |
| 2 | 11 | 2048 | 1 | 5 | 409,4 |
| 2 | 12 | 4096 | 1 | 5 | 819 |
| 2 | 13 | 8192 | 1 | 5 | 1638,2 |
| 2 | 14 | 16384 | 1 | 5 | 3276,6 |
| 2 | 15 | 32768 | 1 | 5 | 6553,4 |
| 2 | 16 | 65536 | 1 | 5 | 13107 |
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Aplicando a regra ( 5x + 1 ) extendida a Número de Collatz (C5), chega-se a Potências de Base 2 de 10 nível hierárquico, logicamente a partir de uma determinada potência de base 2, tantas divisões serão necessárias para chegar ao número 1.
| Tabela 5 | |||||
| Números de Collatz / Fermat (C5) | |||||
| e Potências de Base 2 | |||||
| A | B | C | D | E | |
| ordem / | Números | Potências | |||
| posição | Collatz (C5) | base 2 | |||
| 10 nível | |||||
| hierárquico | |||||
| . | |||||
| 16 | 5 | x | 13107 | + 1 | 65536 |
| 15 | 32768 | ||||
| 14 | 16384 | ||||
| 13 | 8192 | ||||
| 12 | 5 | x | 819 | + 1 | 4096 |
| 11 | 2048 | ||||
| 10 | 1024 | ||||
| 9 | 512 | ||||
| 8 | 5 | x | 51 | + 1 | 256 |
| 7 | 128 | ||||
| 6 | 64 | ||||
| 5 | 32 | ||||
| 4 | 5 | x | 3 | + 1 | 16 |
| 3 | 8 | ||||
| 2 | 4 | ||||
| 1 | 2 | ||||
| 0 | 1 | ||||
| . | |||||
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Os demais termos de progressões geométricas de cada Número de Collatz Extendidos (C5) se encontram nos mesmos níveis de seus primeiros termos.
Exemplos:
P.G. - 10 termo 3 e razão 2
( 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1536,... )
P.G. - 10 termo 51 e razão 2
( 51, 102, 204, 408, 816, 1632, 3264, 6528, 13056, 26112,... )
P.G. - 10 termo 919 e razão 2
( 919, 1838, 3676, 7352, 14704, 29408, 58816, 117632, 235264, 470528,... )
Aplicando a regra ( 5x + 1 ) extendida a termos da progressão geométrica ( 5, 10, 20, 40, 80, 160,... ) obtêm Números Retornáveis.
Para mais informações, veja o estudo:
011-estudos-663-conjectura-extendida-collatz-e-numeros-retornaveis
Potências de base 2 quadrados perfeitos menos 1 unidade e divididas por 7 têm como quocientes números inteiros, números estes que formam a seguinte sequência ( 1, 9, 73, 585, 4681, 37449,... ) que aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos e denominada de Números de Collatz Extendidos (C7).
Base 2 cujos expoentes são múltiplos de 3, (excetuando-se o expoente 0 (zero), as potências deixam resto 1 quando divididas por 7.
| Tabela 6 | |||||
| Potências de Base 2 menos 1 unidade | |||||
| e divisões por 7 | |||||
| Base | Expoente | Potências | menos | Divisor | Quociente |
| 2 | 0 | 1 | 1 | 7 | 0 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 7 | 0,142857143 |
| 2 | 2 | 4 | 1 | 7 | 0,428571429 |
| 2 | 3 | 8 | 1 | 7 | 1 |
| 2 | 4 | 16 | 1 | 7 | 2,142857143 |
| 2 | 5 | 32 | 1 | 7 | 4,428571429 |
| 2 | 6 | 64 | 1 | 7 | 9 |
| 2 | 7 | 128 | 1 | 7 | 18,14285714 |
| 2 | 8 | 256 | 1 | 7 | 36,42857143 |
| 2 | 9 | 512 | 1 | 7 | 73 |
| 2 | 10 | 1024 | 1 | 7 | 146,1428571 |
| 2 | 11 | 2048 | 1 | 7 | 292,4285714 |
| 2 | 12 | 4096 | 1 | 7 | 585 |
| 2 | 13 | 8192 | 1 | 7 | 1170,142857 |
| 2 | 14 | 16384 | 1 | 7 | 2340,428571 |
| 2 | 15 | 32768 | 1 | 7 | 4681 |
| 2 | 16 | 65536 | 1 | 7 | 9362,142857 |
| 2 | 17 | 131072 | 1 | 7 | 18724,42857 |
| 2 | 18 | 262144 | 1 | 7 | 37449 |
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Aplicando a regra ( 7x + 1 ) extendida a Número de Collatz (C7), chega-se a Potência de Base 2 de 10 nível hierárquico, logicamente a partir de uma determinada potência de base, tantas divisões serão necessárias para chegar ao número 1.
| Tabela 7 | |||||
| Números de Collatz (C7) | |||||
| e Potências de Base 2 | |||||
| A | B | C | D | E | |
| ordem / | Números | Potências | |||
| posição | Collatz (C7) | base 2 | |||
| 10 nível | |||||
| hierárquico | |||||
| . | |||||
| 16 | 65536 | ||||
| 15 | 7 | x | 4681 | + 1 | 32768 |
| 14 | 16384 | ||||
| 13 | 8192 | ||||
| 12 | 7 | x | 585 | + 1 | 4096 |
| 11 | 2048 | ||||
| 10 | 1024 | ||||
| 9 | 7 | x | 73 | + 1 | 512 |
| 8 | 256 | ||||
| 7 | 128 | ||||
| 6 | 7 | x | 9 | + 1 | 64 |
| 5 | 32 | ||||
| 4 | 16 | ||||
| 3 | 7 | x | 1 | + 1 | 8 |
| 2 | 4 | ||||
| 1 | 2 | ||||
| 0 | 1 | ||||
| . | |||||
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Os demais termos de progressões geométricas de cada Número de Collatz (c7) se encontram nos mesmos níveis de seus primeiros termos.
Observaçôes importantes:
a) potência de base 2 menos 1 unidade tem como resultado um Número de Mersenne;
b) 8 - 1 = 7 (Número de Mersenne)
c) então: 7 x 1 + 1 = 8;
d) a variável 1 é potência de base 2 e aparece na regra da Conjectura de Collatz ( 3x + 1 ), bem como, nas regras extendidas como: 5x+1, 7x+1, 9x+1, 11x+1, etc.;
e) no caso do ( 3x + 1 ), é especial, isto é, é original e criação de Lothar Collatz e que 3 x 1 + 1 = 4;
Exemplos:
P.G. - 10 termo 9 e razão 2
( 9, 18, 36, 72 144,... )
P.G. - 10 termo 51 e razão 2
( 73, 146, 292, 584, ... )
P.G. - 10 termo 919 e razão 2
( 585, 1170, 2340, 4680, ... )
Autores: Aristóteles Costa e Ricardo Silva - maio /2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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