A Conjectura de Collatz é um problema matemático não resolvido, idealizado pelo Matemático alemão Lothar Collatz (1910-1990), em 1937.
A conjectura ficou também conhecida como problema 3x+1, Conjectura de Ulam, Problema de Kakutani, Algoritmo de Hass, Números de Granizo, Números Maravilhosos e Problema de Siracusa e que consiste em 2 simples regras:
1) escolha qualquer número natural inteiro, se for par divida por 2;
2) se for ímpar, multiplique por 3 e some 1 unidade (3x + 1).
Aplicando a conjectura a qualquer número, o resultado final sempre será o número 1 e se continuarmos aplicando as 2 regras, os resultados serão os números 4, 2, 1 infinitamente.
O Professor Claudio Possani do Instituto de Matemática e Estatística da USP - Universidade de São Paulo, em seu vídeo: Conjectura de Collatz [1], publicado no YouTube em 14 de dezembro de 2025 relata que:
a) testes foram realizados com números até 2^71, provando que a Conjectura de Collatz é verdadeira;
b) o Matemático Terence Tao, premiado com a Medalha Fields-2006, em 2019, provou que 99,9% dos números aplicados à Conjectura de Collatz são verdadeiros;
c) em média, nas etapas de cálculos (iterações), números pares são o dobro de números ímpares.
O presente estudo demonstra que a Conjectura de Collatz se encontra estruturada em 3 níveis hierárquicos de sequências numéricas, sendo:
a) a de 10 nível, as potências de base 2;
b) a de 20 nível, os Números de Collatz / Fermat (A);
c) a de 30 nível, os Números de Collatz / Fermat (B).
Na sequência de 10 nível que são as próprias potências de base 2 é aplicada somente a regra ( x/2 ), tantas vezes o necessário, para se chegar ao número 1.
Na sequência de 20 nível que são números impares, são aplicadas as duas regras: ( 3x+1 ) para se chegar a potência de base 2 e ( x/2 ) a partir de potência de base 2, tantas vezes o necessário, para se chegar ao 1.
Na sequência de 30 nível que são números impares, são aplicadas duas vezes a regra 3x+1, da sequência de 30 nível para se chegar a sequência 20 nível, da sequência de 20 nível chegar a a sequência 10 nível e partir do 10 nível, a regra ( x/2 ) , tantas vezes o necessário, para se chegar ao 1.
Aplicando-se a Conjectura de Collatz a números que não fazem partes das sequências numéricas de 10, 20 ou 30 níveis, em algum momento das etapas cálculos (iterações), algum dos termos das respectivas sequências numéricas de 30 e 20 níveis deverão aparecer para se chegar a sequência de 10 nível e, partir daí, iniciar a finalização da da Conjectura de Collatz.
Lembrando que dependendo do número escolhido, as etapas de cálculos podem ser curtas, longas ou extremamente longas.
A Tabela 1 apresenta as 14 primeiras multiplicações de 3 por Números de Collatz / Fermat (A) somado 1 unidade cujos produtos são potências de base 2 quadrados perfeitos.
Números de Collatz / Fermat (A) é uma denominação utilizada aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos para uma melhor clareza dos textos.
Obtêm-se Números de Collatz / Fermat (A) por meio da seguinte expressão:
| 4^n - 1 |
| --------------- |
| 3 |
e por outros métodos divulgados aqui no WebSite.
Para mais informações veja o estudo:
011-estudos-668-conjectura-collatz-e-os-numeros-de-collatz-fermat
| Tabela 1 | |||||
| Números de Collatz / Fermat (A) | |||||
| e Potências de Base 2 | |||||
| A | B | C | D | E | |
| ordem / | Números | Potências | |||
| posição | Collatz / Fermat (A) | base 2 | |||
| 20 nível | 10 nível | ||||
| hierárquico | hierárquico | ||||
| . | |||||
| 30 | 3 | x | 357913941 | + 1 | 1073741824 |
| 29 | 536870912 | ||||
| 28 | 3 | x | 89478485 | + 1 | 268435456 |
| 27 | 134217728 | ||||
| 26 | 3 | x | 22369621 | + 1 | 67108864 |
| 25 | 33554432 | ||||
| 24 | 3 | x | 5592405 | + 1 | 16777216 |
| 23 | 8388608 | ||||
| 22 | 3 | x | 1398101 | + 1 | 4194304 |
| 21 | 2097152 | ||||
| 20 | 3 | x | 349525 | + 1 | 1048576 |
| 19 | 524288 | ||||
| 18 | 3 | x | 87381 | + 1 | 262144 |
| 17 | 131072 | ||||
| 16 | 3 | x | 21845 | + 1 | 65536 |
| 15 | 32768 | ||||
| 14 | 3 | x | 5461 | + 1 | 16384 |
| 13 | 8192 | ||||
| 12 | 3 | x | 1365 | + 1 | 4096 |
| 11 | 2048 | ||||
| 10 | 3 | x | 341 | + 1 | 1024 |
| 9 | 512 | ||||
| 8 | 3 | x | 85 | + 1 | 256 |
| 7 | 128 | ||||
| 6 | 3 | x | 21 | + 1 | 64 |
| 5 | 32 | ||||
| 4 | 3 | x | 5 | + 1 | 16 |
| 3 | 8 | ||||
| 2 | 3 | x | 1 | + 1 | 4 |
| 1 | 2 | ||||
| 0 | 1 | ||||
| . | |||||
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
Potências de Base 2 é um sequência numérica especial, aplicando a Conjectura de Collatz, só haverá divisões por 2 até se chegar ao número 1, qualquer que seja o termo, logicamente, excluindo a potência 1.
Pode-se dizer que potências de base 2 pares chegará diretamente ao número 1, sem outras sequências numéricas intermediárias, o que se constata na coluna E da Tabela 1.
Pode-se dizer também que potências de base 2 formam um 10 nível hierárquico na Conjectura de Collatz.
Os expoentes da base 2 determinam as etapas (iterações) de cálculos aritméticos até se chegar ao número 1.
Exemplo:
2^2 = 4 (dois elevado ao expoente 2 é quatro)
Duas etapas para se chegar ao número 1.
4 : 2 = 2 (primeiro cálculo)
2 : 2 = 1 (segundo cálculo)
A multiplicação de 3 por um Número de Collatz / Fermat (A) somado 1 unidade tem como produto potência de base 2 quadrado perfeito.
Os Números de Collatz / Fermat (A) formam o 20 nível hierárquico na Conjectura de Collatz.
Sendo os Números de Collatz / Fermat (A) de 20 nível hierárquico, qualquer termo de progressão geométrica de razão 2 e primeiro termo um próprio Número de Collatz / Fermat (A), esses termos também são de 20 nível hierárquico.
Como se observa, há ocorrências de 2 níveis de sequências numéricas distintas até se chegar ao número 1.
Exemplo:
Número escolhido 160 que é um termo da progressão geométrica - P.G.: ( 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640,...) cujo primeiro termo 5 é um Número de Collatz / Fermat (A).
20 nível
160 : 2 = 80
80 : 2 = 40
40 : 2 = 20
20 : 10 = 5 ( Número de Collatz / Fermat (A)
10 nível
3 x 5 + 1 = 16 ( potência de base 2)
16 : 2 = 8
8 : 2 = 4
4 : 2 = 2
2 : 2 = 1
Números de Collatz / Fermat (B) é uma denominação utilizada aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos para uma melhor clareza dos textos.
Números de Collatz / Fermat (B) podem ser gerados dos seguintes métodos:
a) de termos da P.G. cujo primeiro é 5 e razão 2, menos 1 unidade e dividido por 2;
| Tabela 2 | ||||
| Progressão Geométrica | ||||
| 10 termo 5, razão 2 | ||||
| A | B | C | D | E |
| ordem / | PG | menos | divisão por | |
| posição | 10 termo 5 | 1 | 3 | |
| razão 2 | unidade | |||
| Números de | ||||
| Collatz / Fermat (B) | ||||
| 1 | 5 | 4 | 1,333 | |
| 2 | 10 | 9 | 3 | Primo |
| 3 | 20 | 19 | 6,333 | |
| 4 | 40 | 39 | 13 | Primo |
| 5 | 80 | 79 | 26,333 | |
| 6 | 160 | 159 | 53 | Primo |
| 7 | 320 | 319 | 106,333 | |
| 8 | 640 | 639 | 213 | - |
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Fonte:
011-estudos-668-conjectura-collatz-e-os-numeros-de-collatz-fermat
b) por meio do termo geral da sequência: (3, 13, 53, 213, 853, 3413, 13653,...), fórmula esta, elaborada pelo Professor Fernando Manso (Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR-CM).
"Sequências que tem estrutura D1PG tem termo geral:
| an = [ D ( R^n-1 - 1 ) + a1 (R-1) ] / ( R-1 ) |
Na sua sequência,
D = 10; ( a2 - a1 = 13-3 );
R = 4; razão da PG;
a1 = 3.
Vamos calcular o sexto termo:
n=6:
[10 (4^5-1) + 3(4-1)] / (4-1) = (10230 + 9) / 3 = 3413."
Os 3 termos: 53, 13 e 3 dos Números de Collatz / Fermat (B), até o presente momento, são os que mais apareceram em cálculos efetuados com os primeiros 100 naturais.
O produto de 3 por cada termo: 53, 13 e 3, somado 1 unidade, resulta respectivamente nos termos: 160, 40 e 10 da progressão geométrica variável decrescente: ( 160, 80, 40, 20, 10, 5 ), conforme pode ser observado a seguir.
| Tabela 3 | ||||||
| Números de Collatz / Fermat (B) | ||||||
| e P.G - primeiro termo 5 - razão 2 | ||||||
| A | B | C | D | |||
| ordem / | Números | Números | Potências | |||
| posição | Collatz / Fermat (B) | Collatz / Fermat (A) | base 2 | |||
| 30 nível | 20 nível | 10 nível | ||||
| hierárquico | hierárquico | hierárquico | ||||
| . | ||||||
| 30 | ||||||
| 29 | ||||||
| 28 | ||||||
| 27 | ||||||
| 26 | ||||||
| 25 | 3 | x | 3413 | +1 | 10240 | |
| 24 | ||||||
| 23 | ||||||
| 22 | 3 | x | 853 | +1 | 2560 | |
| 21 | ||||||
| 20 | 1280 | |||||
| 19 | ||||||
| 18 | 3 | x | 213 | +1 | 640 | |
| 17 | ||||||
| 16 | 320 | |||||
| 15 | ||||||
| 14 | 3 | x | 53 | +1 | 160 | |
| 13 | ||||||
| 12 | 80 | |||||
| 11 | ||||||
| 10 | 3 | x | 13 | +1 | 40 | |
| 9 | ||||||
| 8 | 20 | |||||
| 7 | ||||||
| 6 | 3 | x | 3 | +1 | 10 | |
| 5 | 5 | |||||
| 4 | 3 x 5 + 1 | 16 | ||||
| 3 | 8 | |||||
| 2 | 4 | |||||
| 1 | 2 | |||||
| 0 | 1 | |||||
| . | ||||||
| .www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||||
Sendo os Números de Collatz / Fermat (B) de nível hierárquico 3, qualquer termo de progressão geométrica de razão 2 e primeiro termo um próprio Número de Collatz / Fermat (B), esses termos também são de 30 nível hierárquico.
Como se observa, há ocorrências de 3 níveis de sequências numéricas distintas até se chegar ao número 1.
Exemplo:
Número escolhido 48 que é um termo da progressão geométrica - P.G.: ( 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384,...) cujo primeiro termo 3 é um Número de Collatz / Fermat (B).
30 nível
48 : 2 = 24
24 : 2 = 12
12 : 2 = 6
6 : 2 = 3 ( Número de Collatz / Fermat (B) )
20 nível
3 x 3 + 1 = 10
10 : 2 = 5 ( Número de Collatz / Fermat (A) )
10 nível
3 x 5 + 1 = 16 ( potência de base 2 )
16 : 2 = 8
8 : 2 = 4
4 : 2 = 2
2 : 2 = 1
O número primo 11 é um número que não é termo de Números de Collatz / Fermat (A), Números de Collatz / Fermat (B) e potências de base 2.
Números que não são termos de Números de Collatz / Fermat (A), Números de Collatz / Fermat (B) e potências de base 2 têm as estruturas de suas tabelas formadas por 3 blocos de cálculos distintos:
a) Bloco 1 com potências de base 2;
b) Bloco 2 com termo de Números de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha);
c) Bloco 3 com termo de Números de Collatz / Fermat (B) (célula lilás);
Como se constata, os blocos com cálculos seguem a hierarquia das sequências numéricas de 10, 20 e 30 níveis.
Para mais informações veja estudo:
011-estudos-671-conjectura-de-collatz-e-sequencias-numericas
| Tabela 4 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número primo 11 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 3 | |||||
| . | |||||
| 1 | 3 | 11 | 1 | = | 34 |
| . | |||||
| 2 | 34 | 2 | = | 17 | |
| . | |||||
| 3 | 3 | 17 | 1 | = | 52 |
| . | |||||
| 4 | 52 | 2 | = | 26 | |
| . | |||||
| 5 | 26 | 2 | = | 13 | |
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 6 | 3 | 13 | 1 | = | 40 |
| . | |||||
| 7 | 40 | 2 | = | 20 | |
| . | |||||
| 8 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 9 | 10 | 2 | = | 5 | |
| . | |||||
| Bloco 1 | |||||
| 10 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 11 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 12 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 13 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 14 | 2 | 2 | = | 1 | |
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O tipo de número utilizado na Conjectura de Collatz determinam as quantidades de blocos nas estruturas das tabelas, bem como, o nível hierárquico da sequência numérica a qual esse número pertence.
Blocos são as partes da tabela onde se encontram determinados termos de sequências numéricas padrão, bem como, as etapas de cálculos aritméticos.
| Tipo de | Quantidades | Nível |
| número | de Blocos | Hieráquico |
| da Tabela | da Sequência | |
| Numérica | ||
| Potências de base 2 | 1 | 10 |
| ( 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...) | ||
| Números de Collatz / Fermat (A) | 1 | 20 |
| ( 1, 5, 21, 85, 341, ... ) | ||
| P.G. ( 5, 10, 20, 40, 80, ... ) | 2 | 20 |
| Números de Collatz / Fermat (B) | 2 | 30 |
| ( 3, 13, 53, 213, 853, 3413,...) | ||
| Progressões Geométricas de razão 2 | 3 | |
| Números de Mersenne | 3 | |
| Números Quadrados Perfeitos | 3 | |
| Números Primos | 3 | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||
Autor: Ricardo Silva - maio/2026
AMUI, Sandoval. Unveiling The Mystery of The Collatz Conjecture. GSJ: Volume 13, Issue 1, January 2025.
ISSN 2320-9186. disponível em:
CHULTES, Laudiceia Silva Chultes; MERCURIO, Bruno Barreiro. Aplicação da Conjectura de Collatz no Excel.
Rev. ESFERA ACADÊMICA TECNOLOGIA (ISSN 2526-4141), v. 4, n. 1, 2019
LORIS Audemir. Considerações sobre a Conjectura de Collatz.
Centro Universitário Armando Alvares Penteado - FAAP. 30/01/2024.
disponível em:
MORAES, Prof. Dr. Fabíolo Amaral, SANTOS, Prof. ME Olindo de Oliveira. Mini-Curso: Bases Numéricas e Conjectura de Collatz. Departamento de Matemática - XI Bienal de Matemática. Universidade Federal de São Carlos. São Carlos - SP. 2024
ONODY, Prof. Roberto N. A Conjectura de Collatz - Portal IFSC. 03/08/2021. disponível em:
PEREIRA, Viviane; LOPES, Leandro V.L. Um Estudo sobre a Conjectura de Collatz. 8° Congresso de Inovação, Ciência e Tecnologia do IFSP.06 a 09 de novembro de 2017 - Cubatão-SP, Brasil
[1] POSSANI, Claudio. Conjectura de Collatz em: https://www.youtube.com/
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
SOUZA, Jucélio de Barros. Conjecturas dem Teoria dos Números e Suas Histórias. Dissertação de Mestrado. UFPB/CCEN. João Pessoa, 2019
Conjectura de Collatz. disponível em: https://
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