A Conjectura de Collatz é um problema matemático não resolvido, idealizado pelo Matemático alemão Lothar Collatz (1910-1990), em 1937 e que consiste em 2 simples regras:
1) escolha qualquer número natural inteiro, se for par divida por 2;
2) se for ímpar, multiplique por 3 e some 1 unidade (3x + 1).
Números de Fermat da forma 4x + 1 são números que podem ser escritos como soma de 2 quadrados.
Número primo da forma 4x + 1 tem uma única dupla de soma de 2 quadrados enquanto números compostos têm mais de 1 dupla de soma de 2 quadrados.
Números de Fermat da forma 4x + 3 não podem ser escritos como soma de 2 quadrados.
O presente estudo demonstra sequência numérica formada por números primos e compostos que aplicada na Conjectura de Collatz geram quantidades de cálculos ímpares (etapas) que formam termos de uma progressão aritmética de razão 2: ( 7, 9, 11, 13, 15,... )
A sequência: ( 3, 13, 53, 213,... ), está sendo carinhosamente batizada de Números de Collatz / Fermat (B), em homenagem a esses dois grandes matemáticos.
As regularidades numéricas constatadas nos Números de Collatz / Fermat (B) são semelhantes as que ocorrem em progressões geométricas de razão 2, bem como, nos números de Mersenne e que se encontram publicadas nos seguintes estudos:
011-estudos-664-conjectura-collatz-e-numeros-de-mersenne
011-estudos-667-conjectura-collatz-e-progressao-geometrica-primeiro-termo3-razao-2
Observação importante: as estruturas de cálculos das tabelas com Números de Collatz / Fermat (B) são constituídas por 2 blocos, diferentemente, das progressões geométricas de razão 2 que são constituídas por 3 blocos e das potências de base 2 cujas estruturas de cálculos são constituídas por 1 bloco.
A Tabela 1 apresenta as primeiras 10 potências de base 2 multiplicadas por 5.
Na coluna D, os produtos formam progressão geométrica (P.G) cujo primeiro termo é 5 e razão 2: ( 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, ... )
Os termos em ordem decrescente variáveis ( 160, 80, 40, 20, 10, 5) aparecem nos cálculos da Conjectura de Collatz antes de potências de base 2.
| Tabela 1 | ||||
| Potências de base 2 | ||||
| multiplicadas por 5 | ||||
| A | B | C | D | |
| ordem / | potências | produto | ||
| posição | base 2 | (P.G) | ||
| 1 | 1 | 5 | = | 5 |
| 2 | 2 | 5 | = | 10 |
| 3 | 4 | 5 | = | 20 |
| 4 | 8 | 5 | = | 40 |
| 5 | 16 | 5 | = | 80 |
| 6 | 32 | 5 | = | 160 |
| 7 | 64 | 5 | = | 320 |
| 8 | 128 | 5 | = | 640 |
| 9 | 256 | 5 | = | 1280 |
| 10 | 512 | 5 | = | 2560 |
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A Tabela 2 apresenta a progressão geométrica (P.G.) - 10 termo 5, razão 2 menos 1 unidade e dividida por 3.
Os números inteiros da coluna D, terminados em 3, são números que antececedem os cálculos de termos da P.G. decrescente variável: ( 160, 80, 40, 20, 10, 5 ) no Bloco 2 e consequentemente potências de base 2 em ordem decrescente: (16, 8, 4, 2, 1) no Bloco 1 das tabelas.
Os termos da sequência: ( 3, 13, 53, 213, 853,... ), a partir deste estudo, são denominados de Números de Collatz / Fermat (B) (células verdes).
| Tabela 2 | ||||
| Progressão Geométrica | ||||
| 10 termo 5, razão 2 | ||||
| A | B | C | D | E |
| ordem / | PG | menos 1 | divisão por | |
| posição | 10 termo 5 | 3 | ||
| razão 2 | ||||
| Números de | ||||
| Collatz / Fermat (B) | ||||
| 1 | 5 | 4 | 1,333 | |
| 2 | 10 | 9 | 3 | Primo |
| 3 | 20 | 19 | 6,333 | |
| 4 | 40 | 39 | 13 | Primo |
| 5 | 80 | 79 | 26,333 | |
| 6 | 160 | 159 | 53 | Primo |
| 7 | 320 | 319 | 106,333 | |
| 8 | 640 | 639 | 213 | - |
| 9 | 1280 | 1279 | 426,333 | |
| 10 | 2560 | 2559 | 853 | Primo |
| 11 | 5120 | 5119 | 1706,333 | |
| 12 | 10240 | 10239 | 3413 | Primo |
| 13 | 20480 | 20479 | 6826,333333 | |
| 14 | 40960 | 40959 | 13653 | - |
| 15 | 81920 | 81919 | 27306,333 | |
| 16 | 163840 | 163839 | 54613 | - |
| 17 | 327680 | 327679 | 109226,333 | |
| 18 | 655360 | 655359 | 218453 | Primo |
| 19 | 1310720 | 1310719 | 436906,333 | |
| 20 | 2621440 | 2621439 | 873813 | - |
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Um fato interessante a destacar é que a soma de um termo da P.G. de ordem par correspondente com Número de Collatz / Fermat (B) têm como resultado também um Número de Collatz / Fermat (B).
10 + 3 = 13
40 + 13 = 53
160 + 53 = 213
640 + 213 = 853
Por meio da fórmula do termo geral da sequência: (3, 13, 53, 213, 853, 3413, 13653,...), elaborada pelo Professor Fernando Manso (Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR-CM) podemos obter termos dos Números de Collatz / Fermat (B).
"Sequências que tem estrutura D1PG tem termo geral:
| an = [ D ( R^n-1 - 1 ) + a1 (R-1) ] / ( R-1 ) |
Na sua sequência,
D = 10; ( a2 - a1 = 13-3 );
R = 4; razão da PG;
a1 = 3.
Vamos calcular o sexto termo:
n=6:
[10 (4^5-1) + 3(4-1)] / (4-1) = (10230 + 9) / 3 = 3413."
3 é um número de Fermat da forma 4x+3.
Iniciando com o número 3 com a Conjectura de Collatz, como se observa, os cálculos se iniciam no Bloco 2, resultando termos da progressão geométrica descrescente variável: ( 10, 5 ) e, logo a seguir, com termos da potência de base 2 decrescente: ( 16, 8, 4, 2, 1 ) no Bloco 1.
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha), antecede as potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
Quantidade de cálculos (etapas): 7.
| Tabela 3 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número primo 3 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 1 | 3 | 3 | 1 | = | 10 |
| . | |||||
| 2 | 10 | 2 | = | 5 | |
| . | |||||
| Bloco 1 | |||||
| 3 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 4 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 5 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 6 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 7 | 2 | 2 | = | 1 | |
| . | |||||
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13 é um número primo de Fermat da forma 4x+1.
Iniciando com o número 13 na Conjectura de Collatz, como se observa, os cálculos se iniciam na Bloco 2, resultando termos da progressão geométrica descrescente variável: ( 40, 20, 10, 5 ) e, logo a seguir, com termos da potência de base 2 decrescente: ( 16, 8, 4, 2, 1 ) na Bloco 1.
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha) antecede as potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
Quantidade de cálculos (etapas): 9.
| Tabela 4 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número primo 13 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 1 | 3 | 13 | 1 | = | 40 |
| . | |||||
| 2 | 40 | 2 | = | 20 | |
| . | |||||
| 3 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 4 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 5 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 6 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 7 | 8 | 2 | = | 4 | |
| 8 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 9 | 2 | 2 | = | 1 | |
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53 é um número primo de Fermat da forma 4x+1.
Iniciando com o número 53 na Conjectura de Collatz, como se observa, os cálculos se iniciam no Bloco 2, resultando termos da progressão geométrica descrescente variável: ( 160, 80, 40, 20, 10, 5 ) e, logo a seguir, com termos da potência de base 2 decrescente: ( 16, 8, 4, 2, 1 ) no Bloco 1.
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha) antecede as potências de base 2: (16, 8, 4, 2, 1).
Quantidade de cálculos (etapas): 11.
| Tabela 5 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número primo 53 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 2 | |||||
| 0 | |||||
| 1 | 3 | 53 | 1 | = | 160 |
| . | |||||
| 2 | 160 | 2 | = | 80 | |
| . | |||||
| 3 | 80 | 2 | = | 40 | |
| . | |||||
| 4 | 40 | 2 | = | 20 | |
| . | |||||
| 5 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 6 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 7 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 8 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 9 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 10 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 11 | 2 | 2 | = | 1 | |
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213 é um número composto de Fermat da forma 4x+1.
Utilizando o número 213 composto na Conjectura de Collatz, como se observa, os cálculos se iniciam no Bloco 2, resultando termos da progressão geométrica descrescente variável: ( 640, 320, 160, 80, 40, 20, 10, 5 ) e, logo a seguir, com termos da potência de base 2 decrescente: ( 16, 8, 4, 2, 1 ) no Bloco 1.
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha), antecede as potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
Quantidade de cálculos (etapas): 13
| Tabela 6 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número composto 213 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 1 | 3 | 213 | 1 | = | 640 |
| . | |||||
| 2 | 640 | 2 | = | 320 | |
| . | |||||
| 3 | 320 | 2 | = | 160 | |
| . | |||||
| 4 | 160 | 2 | = | 80 | |
| . | |||||
| 5 | 80 | 2 | = | 40 | |
| . | |||||
| 6 | 40 | 2 | = | 20 | |
| . | |||||
| 7 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 8 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 9 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 10 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 11 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 12 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 13 | 2 | 2 | = | 1 | |
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853 é uma número de Fermat da forma 4x+1
Quantidade de cálculos (etapas): 15
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha), antecede as potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
| Tabela 7 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número primo 853 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 1 | 3 | 853 | 1 | = | 2560 |
| . | |||||
| 2 | 2560 | 2 | = | 1280 | |
| . | |||||
| 3 | 1280 | 2 | = | 640 | |
| . | |||||
| 4 | 640 | 2 | = | 320 | |
| . | |||||
| 5 | 320 | 2 | = | 160 | |
| . | |||||
| 6 | 160 | 2 | = | 80 | |
| . | |||||
| 7 | 80 | 2 | = | 40 | |
| . | |||||
| 8 | 40 | 2 | = | 20 | |
| . | |||||
| 9 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 10 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 11 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 12 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 13 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 14 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 15 | 2 | 2 | = | 1 | |
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3413 é uma número de Fermat da forma 4x+1.
Quantidade de cálculos (etapas): 17
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha), antecede as potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
| Tabela 8 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número primo 3413 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 1 | 3 | 3413 | 1 | = | 10240 |
| . | |||||
| 2 | 10240 | 2 | = | 5120 | |
| . | |||||
| 3 | 5120 | 2 | = | 2560 | |
| . | |||||
| 4 | 2560 | 2 | = | 1280 | |
| . | |||||
| 5 | 1280 | 2 | = | 640 | |
| . | |||||
| 6 | 640 | 2 | = | 320 | |
| . | |||||
| 7 | 320 | 2 | = | 160 | |
| . | |||||
| 8 | 160 | 2 | = | 80 | |
| . | |||||
| 9 | 80 | 2 | = | 40 | |
| . | |||||
| 10 | 40 | 2 | = | 20 | |
| . | |||||
| 11 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 12 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 13 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 14 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 15 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 16 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 17 | 2 | 2 | = | 1 | |
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Partindo-se do número 3, que possui 7 quantidades de cálculos aritméticos (etapas) e aplicando-se a Conjectura de Collatz aos demais termos de Números de Collatz / Fermat (B), constata-se que as quantidades de cálculos formam progressão aritmética (P.A.) cujo primeiro termo é 7 e razão 2.
| Tabela 6 | ||
| ordem / | Números | quantidade |
| posição | de Collatz / Fermat (B) | de cálculos |
| aritméticos | ||
| (etapas) | ||
| 1 | 3 | 7 |
| 2 | 13 | 9 |
| 3 | 53 | 11 |
| 4 | 213 | 13 |
| 5 | 853 | 15 |
| 6 | 3413 | 17 |
| 7 | 13653 | 19 |
| 8 | 54613 | 21 |
| 9 | 218453 | 23 |
| 10 | 873813 | 25 |
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O tipo de número utilizado na Conjectura de Collatz determinam as quantidades de blocos nas estruturas das tabelas, bem como, o nível hierárquico da sequência numérica a qual esse número pertence.
Blocos são as partes da tabela onde se encontram determinados termos de sequências numéricas padrão, bem como, as etapas de cálculos aritméticos.
Para mais informações, veja estudo:
011-estudos-672-conjectura-de-collatz-e-hieraquia-de-sequencias-numericas
| Tipo de | Quantidades | Nível |
| número | de Blocos | Hieráquico |
| da Tabela | da Sequência | |
| Numérica | ||
| Potências de base 2 | 1 | 10 |
| ( 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...) | ||
| Números de Collatz / Fermat (A) | 1 | 20 |
| ( 1, 5, 21, 85, 341, ... ) | ||
| P.G. ( 5, 10, 20, 40, 80, ... ) | 2 | 20 |
| Números de Collatz / Fermat (B) | 2 | 30 |
| ( 3, 13, 53, 213, 853, 3413,...) | ||
| Progressões Geométricas de razão 2 | 3 | |
| Números de Mersenne | 3 | |
| Números Quadrados Perfeitos | 3 | |
| Números Primos | 3 | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||
Autor: Ricardo Silva - maio/2026
AMUI, Sandoval. Unveiling The Mystery of The Collatz Conjecture. GSJ: Volume 13, Issue 1, January 2025.
ISSN 2320-9186. disponível em:
CHULTES, Laudiceia Silva Chultes; MERCURIO, Bruno Barreiro. Aplicação da Conjectura de Collatz no Excel.
Rev. ESFERA ACADÊMICA TECNOLOGIA (ISSN 2526-4141), v. 4, n. 1, 2019
LORIS Audemir. Considerações sobre a Conjectura de Collatz.
Centro Universitário Armando Alvares Penteado - FAAP. 30/01/2024.
disponível em:
MORAES, Prof. Dr. Fabíolo Amaral, SANTOS, Prof. ME Olindo de Oliveira. Mini-Curso: Bases Numéricas e Conjectura de Collatz. Departamento de Matemática - XI Bienal de Matemática. Universidade Federal de São Carlos. São Carlos - SP. 2024
ONODY, Prof. Roberto N. A Conjectura de Collatz - Portal IFSC. 03/08/2021. disponível em:
PEREIRA, Viviane; LOPES, Leandro V.L. Um Estudo sobre a Conjectura de Collatz. 8° Congresso de Inovação, Ciência e Tecnologia do IFSP.06 a 09 de novembro de 2017 - Cubatão-SP, Brasil
[1] POSSANI, Claudio. Conjectura de Collatz em: https://www.youtube.com/
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
SOUZA, Jucélio de Barros. Conjecturas dem Teoria dos Números e Suas Histórias. Dissertação de Mestrado. UFPB/CCEN. João Pessoa, 2019
Conjectura de Collatz. disponível em: https://
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